2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Висящая массивная пружина
Сообщение08.01.2019, 19:00 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Изображение
Сегодня на дне открытых дверей в МФТИ студенты ФОПФ раздавали листочки с условиями задач. Там была задача с висящей пружиной. Данная задача сводилась к следующей вспомогательной: Пусть дана вертикально висящая пружина с жесткостью $\[k = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\]$, и равномерно распределенной массой $m$. Необходимо найти удлинение пружины под действием силы тяжести.
Мое решение, как по мне, является весьма громоздким, и воспроизводить подобное на олимпиадах не самый лучший вариант - время ограничено. Прошу форумчан посоветовать, что можно изменить в моем решении, чтобы как можно быстрее прийти к тому же результату. Буду рад и другим вариантам решения.

Для начала ввожу коэффициент массы $\[\alpha \]$ для параметризации пружины: он отчитывает часть массы пружины, рассматриваемой от самой низшей точки пружины до точки, определяемой данным параметром.Если $\[\alpha  = 0\]$, то рассматриваемая часть пружины вырождается в низшую точку всей пружины, если $\[\alpha  = 1\]$, то имеем дело со всей пружиной, таким образом, $\[\alpha  \in \left[ {0;1} \right]\]$.
Рассмотрим малую часть пружины длиной $\[\Delta {l_0}(\alpha )\]$ в недеформированном состоянии, находящуюся выше части пружины массой $\[\alpha mg\]$. Пусть $\[\Delta l(\alpha )\]$ - удлинение малой части пружины вследствие действия силы тяжести. Введем коэффициент удлинения $\[t(\alpha ) = \frac{{\Delta l(\alpha ) + \Delta {l_0}(\alpha )}}{{\Delta l(\alpha )}}\]$. Во второму закону Ньютона и закону Гука имеем:
$$\[\alpha mg = ES\frac{{\Delta {l_0}(\alpha )}}{{\Delta l(\alpha )}} = ES\left( {t - 1} \right) \Rightarrow t(\alpha ) = \alpha \frac{{mg}}{{ES}} + 1\]$$
Элементарное длина малой части пружины в деформированном состоянии равна $\[t(\alpha )\Delta {l_0}(\alpha )\]$, тогда общая длина равна:
$$\[l = \sum {t(\alpha )\Delta {l_0}(\alpha ) = } \sum {\left( {\alpha \frac{{mg}}{{ES}} + 1} \right)\Delta {l_0}(\alpha ) = } \sum {\Delta {l_0}(\alpha ) + \sum {\alpha \Delta {l_0}(\alpha )\frac{{mg}}{{ES}}} }  = {l_0} + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{{ES}} \cdot {l_0} = {l_0} + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{k}\]$$
Последние выкладки опираются на тот факт, что $$\[\sum {\alpha \Delta {l_0}(\alpha ) = \frac{{{l_0}}}{2}} \]$$, я понятия не имею, как это доказать.

Хотелось бы для начала посоветоваться по поводу того,во-первых ,почему $$\[\sum {\alpha \Delta {l_0}(\alpha ) = \frac{{{l_0}}}{2}} \]$$
дабы разобраться с моим решением и, во-вторых, интересно было бы услышать предложения по поводу альтернативных решений.

-- 08.01.2019, 19:12 --

Похоже с суммой разобрался:
$$\[\int\limits_0^1 {\alpha d{l_0} = } \int\limits_0^1 {\alpha {l_0}d\alpha  = {l_0}} \int\limits_0^1 {\alpha d\alpha  = } \frac{{{l_0}}}{2}\]$$

Вопрос с альтернативным решением остается открытый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение08.01.2019, 19:52 


27/08/16
5029
Rusit8800 в сообщении #1366922 писал(а):
$\[k = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\]$
Что обозначают эти буквы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение08.01.2019, 21:16 


05/09/16
5605
Ну, альтернативное решение есть и вовсе без формул :mrgreen: :roll:
Можно заметить следующее. Самый нижний виток не растянут (т.к. на него ничего не подвешено). Следующий (второй снизу) виток растянут весом первого. Третий виток растянут суммой веса первого и веса второго витков то есть растянут в два раза больше чем второй виток. Четвертый виток растянут в три раза больше второго витка и так далее. Так что величина растяжения витков представляет из себя арифметическую прогрессию, а сумма арифметической прогрессии, при нулевом первом члене, равна половине последнего члена умноженной на количество членов.
Отсюда немедленно следует, что растянутая под своим весом гуковская пружина удлинняется аккурат в два раза меньше чем такая же по жесткости невесомая пружина, на конец которой подвешен груз равный массе "весомой" пружины, т.е. искомая величина $\Delta l=\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac{mg}{k}$ (здесь $\Delta l$ - удлиннение пружины в единицах длины; $m$ - масса пружины; $g$ - ускорение свободного падения; $k$ - коэффициент жесткости пружины).
Ну и да, со стержнем та же история: он удлинняется тоже в два раза меньше под собственным весом чем ежели его бы положить горизонтально, закрепить один конец и приложить ко второму концу усилие равное весу стержня.

-- 08.01.2019, 22:06 --

Rusit8800 в сообщении #1366922 писал(а):
Во второму закону Ньютона

Второй закон Ньютона -- это про движение вообще-то, а у вас тут все неподвижно. Перепутали с законом всемирного тяготения? :wink:
Там, где говорится, что сила действия равна силе противодействия, но обратна по направлению - это третий закон Ньютона, есличо 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 07:20 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
Ну можно еще уравнение Ламе написать:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 11:52 


05/09/16
5605
Rusit8800 в сообщении #1366922 писал(а):
Мое решение, как по мне, является весьма громоздким, и воспроизводить подобное на олимпиадах не самый лучший вариант - время ограничено.

Лично мне кажется, что у вашего решения следующие недостатки.
1. Неаккуратная запись: вы записываете какие-то суммы но неясно что суммируется, т.е. нет индекса по которому идёт суммирование, неясно что меняется вместе с индексом в процессе суммирования и т.п. Далее вы записываете какой-то интеграл, для которого как будто ранее записанная сумма является интегральной, и в этом месте как бы совершаете предельный переход. Но это надо показать.
2. В задаче просят найти удлиннение, а вы ищете полную длину. Легче было бы, на мой взгляд, записать только удлиннение (если хотите - относительное, как у вас). И назвать его не "коэффициент удлиннения" а "относительное удлиннение малого участка пружины" (их вам надо просуммировать\проинтегрировать - и тогда получится относительное удлиннение всей пружины).
3. Сперва вы представляете стержень пружиной и записываете что у такой пружины будет коэффициент жесткости определяемый модулем Юнга, площадью сечения стержня и длиной каким-то образом. Но далее вы зачем-то опять используете модуль Юнга и т.п. - зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 13:49 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
wrest в сообщении #1367093 писал(а):
1. Неаккуратная запись: вы записываете какие-то суммы но неясно что суммируется, т.е. нет индекса по которому идёт суммирование, неясно что меняется вместе с индексом в процессе суммирования и т.п. Далее вы записываете какой-то интеграл, для которого как будто ранее записанная сумма является интегральной, и в этом месте как бы совершаете предельный переход. Но это надо показать.

Согласен, просто сам сначала не представлял, что надо интегрировать и оставил запись в виде непонятной суммы. Только потом я понял, что интегрируется.
wrest в сообщении #1367093 писал(а):
И назвать его не "коэффициент удлиннения" а "относительное удлиннение малого участка пружины" (их вам надо просуммировать\проинтегрировать - и тогда получится относительное удлиннение всей пружины).

Мне в голову не пришло, как это сделать. Намного понятнее мне показался мой подход, поскольку понятно, что если проинтегрировать произведение бесконечно малых недеформированных участков пружины и коэффициента удлинения на этих участках, то мы сразу получим общую длину деформированной пружины.
wrest в сообщении #1367093 писал(а):
Сперва вы представляете стержень пружиной и записываете что у такой пружины будет коэффициент жесткости определяемый модулем Юнга, площадью сечения стержня и длиной каким-то образом. Но далее вы зачем-то опять используете модуль Юнга и т.п. - зачем?

В задаче дан только коэффициент жесткости. Использовать закон Гука с модулем Юнга предпочтительней потому, что для выкладок нужна величина $\[\Delta {l_0}(\alpha )\]$, которая в "обычном" законе Гука "спрячется" под коэффициент жесткости.
wrest в сообщении #1366967 писал(а):
Там, где говорится, что сила действия равна силе противодействия, но обратна по направлению - это третий закон Ньютона, есличо 8-)

А вот это я не понимаю. 3 закон Ньютона используется для описания пар внутренних сил системы, например силы реакции опоры со стороны автомобиля и сила давления на сиденье авто в системе человек + жигуль. Но сила тяжести - внешняя сила.
Тут я определенно что-то не понимаю, прошу разъяснить.

-- 09.01.2019, 13:50 --

realeugene в сообщении #1366933 писал(а):
Что обозначают эти буквы?

Коэффициент жесткости равен произведению модуля Юнга и площади поперечного сечения пружины, деленную на его длину в недеформированном состоянии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 14:05 


27/08/16
5029
Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):
Коэффициент жесткости равен произведению модуля Юнга и площади поперечного сечения пружины, деленную на его длину в недеформированном состоянии.
Это верно для сплошного куска материала, но не для пружины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 14:08 


05/09/16
5605
Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):
Мне в голову не пришло, как это сделать. Намного понятнее мне показался мой подход, поскольку понятно, что если проинтегрировать произведение бесконечно малых недеформированных участков пружины и коэффициента удлинения на этих участках, то мы сразу получим общую длину деформированной пружины.

Да, но в задаче-то спрашивают не длину деформированной пружины, а только её удлиннение (насколько растянулась). Ну это мелочи, наверное. Получили длину растянутой, вычли длину нерастянутой, получили удлиннение.
Просто, в ваших обозначениях, можно было записать не $t(\alpha ) =1+ \frac{\Delta {l_0}(\alpha )}{\Delta l(\alpha )}$ а без единицы, $t(\alpha ) =\frac{\Delta {l_0}(\alpha )}{\Delta l(\alpha )}$

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):
А вот это я не понимаю. 3 закон Ньютона используется для описания пар внутренних сил системы, например силы реакции опоры со стороны автомобиля и сила давления на сиденье авто в системе человек + жигуль. Но сила тяжести - внешняя сила.
Тут я определенно что-то не понимаю, прошу разъяснить.

Так это вы разъясните, вы же написали про второй закон, что вы имели там в виду? Как вы из второго закона Ньютона и закона Гука что-то там получили? То, что вес $P=mg$ следует из 1) закона всемирного тяготения (Земля, на поверхности Земли, притягивает груз массой $m$ с силой $mg$) и 2) третьего закона Ньютона (сила притяжения уравновешена силой реакции опоры), куда вы там второй закон Ньютона приспособили?

-- 09.01.2019, 14:13 --

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):
В задаче дан только коэффициент жесткости. Использовать закон Гука с модулем Юнга предпочтительней потому, что для выкладок нужна величина $\[\Delta {l_0}(\alpha )\]$, которая в "обычном" законе Гука "спрячется" под коэффициент жесткости.

Так задача все-таки про стержень или пружину? Потому что помнится оригинальный ваш текст был вроде "задача про стержень, но в решении предлагается заменить стержень пружиной, а коэффициент жесткости эквивалентной стержню пружины посчитать так-то".

-- 09.01.2019, 14:27 --

Rusit8800 в сообщении #1367118 писал(а):
Согласен, просто сам сначала не представлял, что надо интегрировать и оставил запись в виде непонятной суммы. Только потом я понял, что интегрируется.
Ну тогда самое время ясно расписать что и как, с чувством толком и расстановкой :) Потому что интегралы у вас тоже странно записаны. Вот например: вы меняете переменную интегрирования но не меняете пределы интегрирования - а почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68359
Rusit8800
По сути, придирка realeugene состоит в том, что вам для этой задачи полезно было бы как-то ввести "удельную жёсткость в расчёте на единицу длины", но просто не стоит это делать через формулу с модулем Юнга. Вам стоит взять формулу $k=\dfrac{ES}{l},$ и переписать её в виде $k=\dfrac{K}{l},$ не уточняя связь величины $K$ с модулем Юнга материала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение09.01.2019, 17:46 


27/08/16
5029

(Оффтоп)

По сути, моя придирка связана с тем, что мне лень копать выкладки, смысл которых не понимает их автор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение10.01.2019, 21:39 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
wrest в сообщении #1367123 писал(а):
Так это вы разъясните, вы же написали про второй закон, что вы имели там в виду? Как вы из второго закона Ньютона и закона Гука что-то там получили? То, что вес $P=mg$ следует из 1) закона всемирного тяготения (Земля, на поверхности Земли, притягивает груз массой $m$ с силой $mg$) и 2) третьего закона Ньютона (сила притяжения уравновешена силой реакции опоры), куда вы там второй закон Ньютона приспособили?

Сам теперь запутался. Я изначально предполагал, что вектора силы тяжести и силы упругости направлены противоположно, а из неподвижности пружины и 2 закона Ньютона следует, что их векторная сумма равна нуль-вектору, поэтому данные вектора к тому же и одинаковы по модулю.
wrest в сообщении #1367123 писал(а):
Так задача все-таки про стержень или пружину?

А есть ли большая разница даже для нулевого приближения?
wrest в сообщении #1367123 писал(а):
Вот например: вы меняете переменную интегрирования но не меняете пределы интегрирования - а почему?

Я, видимо, где-то в голове это представляю, но не записываю. А может даже и не представляю и делаю ошибки. Вообще, мне не всегда очевидно, как сводить задачи механики к формализму высшей математики, потому как приходится всегда догадываться, малые приращения чего нужно рассматривать. Так, я не сразу додумался, что в качестве такого приращение надо брать коэффициент массы $\[\alpha \]$ части пружины.
Munin в сообщении #1367171 писал(а):
Вам стоит взять формулу $k=\dfrac{ES}{l},$ и переписать её в виде $k=\dfrac{K}{l},$ не уточняя связь величины $K$ с модулем Юнга материала.

Все больше и больше становится интересно, как можно записать аналог закона Гука для пружины. Ведь в формуле с коэффициентом $K$ маловато информации - не понятно, откуда берется $K$, от чего зависит, как его выразить через модуль Юнга и зная геометрическую форму деформируемого объекта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение10.01.2019, 22:39 


05/09/16
5605
Rusit8800 в сообщении #1367531 писал(а):
Вообще, мне не всегда очевидно, как сводить задачи механики к формализму высшей математики, потому как приходится всегда догадываться, малые приращения чего нужно рассматривать.

Поэтому можно было разделить одну массивную пружину на много маленьких невесомых пружинок и грузиков между ними. То есть отделить массу (вес) от упругости. Или разделить пружину на витки. Тогда номер маленькой пружинки или номер витка и был бы вашим "коэффициентом массы" (если хотите чтобы он был от нуля до единицы -- делите номер пружинки\витка на общее их количество). И тогда можно по-человечески суммировать отдельные пружинки\витки и даже увидеть что там происхожит при росте количества витков.
Просто вот ваше "решение" это вообще не решение, вы не показываете в нём то, что понимаете, что делаете. Вам же нужен не ответ (он и так известен), а именно решение, не так ли?
Почему бы вам не решать теми средствами, которыми вы владеете? А уж эта конкретная задача... Ну я там написал выше словами всё решение, надеюсь что понятно и очевидно, вот и изложите хотя бы от начала до конца, со всеми пояснениями что, как и откуда.

Я еще вижу, по вашему поведению на форуме, что вы быстро теряете интерес, не доводите задачи до конца до наступления полной ясности для вас самого, так чтобы вы могли объяснить в вашем рещении каждый шаг, каждую букву. Лично мне это не кажется правильной привычкой, но навязывать это мнение не буду - вот один раз пишу, и всё.

В этой задаче, кстати, вы могли бы например как-то обобщить: а вот если дан не стержень, а конус, как он удлиннится если его повесить за вершину? За основание? Ну и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение10.01.2019, 23:00 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
Ну, конечно, к предложению wrest
решать задачу с висящим конусом ,серьезно относиться не стоит. Судя по тому, что данный персонаж предлагает ее школьнику, он сам не отдает себе отчета в ее сложности. Он очевидно полагает, что вся теория упругости сводится к тривиальным рассуждеиям типа тех, что в этой ветке

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение10.01.2019, 23:13 


05/09/16
5605
Причем тут теория упругости? Идеальных гуковских пружин тоже ведь не бывает. А задачи с ними - бывают.

Rusit8800
Ну может с конусом и не надо, спорить с персонажем pogulyat_vyshel не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Висящая массивная пружина
Сообщение10.01.2019, 23:15 


27/08/16
5029
Rusit8800 в сообщении #1367531 писал(а):
Ведь в формуле с коэффициентом $K$ маловато информации - не понятно, откуда берется $K$, от чего зависит, как его выразить через модуль Юнга и зная геометрическую форму деформируемого объекта.
Это сложная задача, решаемая сопроматом. Вам туда лезть чрезвычайно рано. Но в случае обычных пружин часто сила в достаточно хорошем приближении оказывается пропорциональной удлинению. И этого знания в большинстве не слишком мудрёных случаев оказывается достаточно для решения задач с пружинами и практического использования пружин. Ничего не зная про модуль Юнга стали и размеры витков.

Допустим, у вас есть обычная спиральная линейная пружина с жесткостью $k$. Решите такую задачу. Разрежем эту пружину на несколько кусков различной длины. Какая будет жесткость этих кусков? Для ответа на этот вопрос достаточно знания о симметрии витков пружины, если, конечно, куски не слишком короткие, чтобы на их жесткость начали влиять особенности закрепления концов кусков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Парджеттер, Pphantom, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group