Туда и обратно - 2

[arseniiv]

wrest в сообщении #1273205 писал(а):

Ну то есть. Если мы берем угол направления на финиш $\alpha_2=30^o$, то биссектриса между ним и вертикалью будет $\beta = 60^o$, уравнение этой биссектрисы будет соответственно $y_2=x_2\cdot \tg 60^o=x_2 \sqrt{3}$
Уравнение исходной биссектрисы $y_1=x_1$ (угол наклона $45^o$). Тогда при $x_2=\cos 30^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$ получится $y_2=x \sqrt{3}=\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=1.5$ и это действительно равно $1+\sin\alpha_2=1+\sin 30^o=1,5$

Вот и прекрасно. (Только для градусов лучше брать ^\circ, а не ^o.)

[wrest]

arseniiv в сообщении #1273209 писал(а):

Вот и прекрасно.

А чего прекрасно? Я-то думал, возникнет магическое решение вопроса о биссектрисе, да и остальных вещей тут.

Собственно, я предполагал что задачу свободного падения надо рассмотреть в системе координат, где ось $Ox$ направлена от старта к финишу (то есть - наклонена к горизонтали), и соответственно сила тяжести не вертикальна. Но совершенно запутался в синусах, косинусах, их производных и т.д. и т.п..

(Картинка)

Но теперь мы знаем, что всех случаях получается так, что для оптимального полета (т.е. минимальной стартовой скорости) кидать надо по диагонали ромба, одна сторона которого это старт-финиш, а вторая - выходит из старта и идет параллельно силе тяжести.
Ну в обычном случае этот ромб - квадрат, и диагональ направлена под 45 градусов. Квадрат начальной скорости пропорционален проекции этой диагонали на прямую старт-финиш.

Так вот возвращаясь к аффинным преобразованиям -- мне сразу показалось, что оптимальная траектория трансформируется вот так:

(Оффтоп)

и что это какой-то самоочевидный, ну или на крайний случай широкоизвестный факт, а пришлось тут исписать две страницы...

Кстати в обратную сторону тоже надо кидать по диагонали ромба.

[realeugene]

Кидаем кирпич вдоль горы с углом склона относительно горизонтали $\theta$ со скоростью $V$.
Пусть $\varphi$ - угол, под которым мы кидаем кирпич относительно склона. Т. е. относительно горизонтали угол $\varphi + \theta$. Время полёта кирпича равно:

$$t=\frac{2V\sin\varphi}{g\cos\theta}$$

Расстояние, на которое улетит кирпич вдоль склона:

$$L=V \cos\varphi\,t - \frac{g\sin\theta\, t^2}{2}=\frac{2V^2\sin\varphi\cos\varphi}{g \cos\theta}-\frac{g\sin\theta}{2}\frac{4V^2\sin^2\varphi}{g^2\cos^2\theta}$$

Мы ищем угол, при котором это расстояние максимально:

$$\varphi_{\max} =\underset{\varphi}{\arg\max}L$$

Выкидывая походу из выражения аддитивные и мультипликативные константы, легко получаем:

$$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\left(\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta-\sin^2\varphi\sin\theta\right)$$

$$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\left(\sin 2\varphi\cos\theta+\cos 2\varphi\sin\theta\right)$$

$$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\sin\left(2\varphi +\theta\right)$$

$$2\varphi_{\max}+\theta=\pi/2$$

$$\varphi_{\max}=\frac{\pi/2-\theta}{2}$$

То есть, как и требовалось, направление броска совпадает с биссектрисой угла между вертикалью и склоном горы.

[wrest]

realeugene в сообщении #1367328 писал(а):

легко получаем:

Да... читать-то побученное легко. А вот получать... Спасибо!

[realeugene]

После этих же тригонометрических преобразований в исходной формуле получаем

$$L=\frac{V^2}{g\cos^2\theta}\left\{\sin\left(2\varphi+\theta\right)-\sin\theta\right\}$$

Откуда:

$$R=L_{\max}=\frac{V^2}{g(1+\sin\theta)}$$

или

$$V^2=g(R+h),\quad h=R\sin\theta$$

[wrest]

Ну вот и вопрос: как, не вдаваясь в синусы и конкретные уравнения движения, прийти к выводу о том, что

realeugene в сообщении #1266019 писал(а):

тогда на оптимальной траектории за время полёта вертикальная компонента скорости должна измениться на удвоенную величину горизонтальной компоненты.

из каких-то энергетических соображений (законов сохранения и т.п.)

[realeugene]

Не помню, как я сделал этот вывод, но в пределе вертикального склона это очевидно неверно.

[wrest]

realeugene в сообщении #1367371 писал(а):

Не помню, как я сделал этот вывод, но в пределе вертикального склона это очевидно неверно.

Ну я ж писал об этом:

wrest в сообщении #1266046 писал(а):

Проблема только с нулем, поскольку делить на него нельзя, то при чисто вертикальном броске равенство $0=-2\cdot 0$ выполняется, но сказать во сколько раз изменилась вертикальная компонента по отношению к горизонтальной, нельзя

Так что все там хорошо.