2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение08.12.2017, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24456
Уфа
wrest в сообщении #1273205 писал(а):
Ну то есть. Если мы берем угол направления на финиш $\alpha_2=30^o$, то биссектриса между ним и вертикалью будет $\beta = 60^o$, уравнение этой биссектрисы будет соответственно $y_2=x_2\cdot \tg 60^o=x_2 \sqrt{3}$
Уравнение исходной биссектрисы $y_1=x_1$ (угол наклона $45^o$). Тогда при $x_2=\cos 30^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$ получится $y_2=x \sqrt{3}=\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=1.5$ и это действительно равно $1+\sin\alpha_2=1+\sin 30^o=1,5$
Вот и прекрасно. (Только для градусов лучше брать ^\circ, а не ^o.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение08.12.2017, 19:49 


05/09/16
5843
arseniiv в сообщении #1273209 писал(а):
Вот и прекрасно.

А чего прекрасно? Я-то думал, возникнет магическое решение вопроса о биссектрисе, да и остальных вещей тут. :mrgreen:

Собственно, я предполагал что задачу свободного падения надо рассмотреть в системе координат, где ось $Ox$ направлена от старта к финишу (то есть - наклонена к горизонтали), и соответственно сила тяжести не вертикальна. Но совершенно запутался в синусах, косинусах, их производных и т.д. и т.п..

(Картинка)

Изображение

Но теперь мы знаем, что всех случаях получается так, что для оптимального полета (т.е. минимальной стартовой скорости) кидать надо по диагонали ромба, одна сторона которого это старт-финиш, а вторая - выходит из старта и идет параллельно силе тяжести.
Ну в обычном случае этот ромб - квадрат, и диагональ направлена под 45 градусов. Квадрат начальной скорости пропорционален проекции этой диагонали на прямую старт-финиш.

Так вот возвращаясь к аффинным преобразованиям -- мне сразу показалось, что оптимальная траектория трансформируется вот так:

(Оффтоп)

Изображение

и что это какой-то самоочевидный, ну или на крайний случай широкоизвестный факт, а пришлось тут исписать две страницы...

Кстати в обратную сторону тоже надо кидать по диагонали ромба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение09.01.2019, 23:52 


27/08/16
5107
Кидаем кирпич вдоль горы с углом склона относительно горизонтали $\theta$ со скоростью $V$.
Пусть $\varphi$ - угол, под которым мы кидаем кирпич относительно склона. Т. е. относительно горизонтали угол $\varphi + \theta$. Время полёта кирпича равно: $$t=\frac{2V\sin\varphi}{g\cos\theta}$$Расстояние, на которое улетит кирпич вдоль склона: $$L=V \cos\varphi\,t - \frac{g\sin\theta\, t^2}{2}=\frac{2V^2\sin\varphi\cos\varphi}{g \cos\theta}-\frac{g\sin\theta}{2}\frac{4V^2\sin^2\varphi}{g^2\cos^2\theta}$$Мы ищем угол, при котором это расстояние максимально: $$\varphi_{\max} =\underset{\varphi}{\arg\max}L$$Выкидывая походу из выражения аддитивные и мультипликативные константы, легко получаем: $$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\left(\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta-\sin^2\varphi\sin\theta\right)$$ $$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\left(\sin 2\varphi\cos\theta+\cos 2\varphi\sin\theta\right)$$$$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\sin\left(2\varphi +\theta\right)$$ $$2\varphi_{\max}+\theta=\pi/2$$$$\varphi_{\max}=\frac{\pi/2-\theta}{2}$$То есть, как и требовалось, направление броска совпадает с биссектрисой угла между вертикалью и склоном горы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 00:09 


05/09/16
5843
realeugene в сообщении #1367328 писал(а):
легко получаем:

Да... читать-то побученное легко. А вот получать... Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 01:48 


27/08/16
5107
После этих же тригонометрических преобразований в исходной формуле получаем $$L=\frac{V^2}{g\cos^2\theta}\left\{\sin\left(2\varphi+\theta\right)-\sin\theta\right\}$$Откуда: $$R=L_{\max}=\frac{V^2}{g(1+\sin\theta)}$$или$$V^2=g(R+h),\quad h=R\sin\theta$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 08:23 


05/09/16
5843
Ну вот и вопрос: как, не вдаваясь в синусы и конкретные уравнения движения, прийти к выводу о том, что
realeugene в сообщении #1266019 писал(а):
тогда на оптимальной траектории за время полёта вертикальная компонента скорости должна измениться на удвоенную величину горизонтальной компоненты.
из каких-то энергетических соображений (законов сохранения и т.п.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 09:40 


27/08/16
5107
Не помню, как я сделал этот вывод, но в пределе вертикального склона это очевидно неверно. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 09:51 


05/09/16
5843
realeugene в сообщении #1367371 писал(а):
Не помню, как я сделал этот вывод, но в пределе вертикального склона это очевидно неверно.
Ну я ж писал об этом:
wrest в сообщении #1266046 писал(а):
Проблема только с нулем, поскольку делить на него нельзя, то при чисто вертикальном броске равенство $0=-2\cdot 0$ выполняется, но сказать во сколько раз изменилась вертикальная компонента по отношению к горизонтальной, нельзя :mrgreen:
Так что все там хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Парджеттер, Pphantom, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group