2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение08.12.2017, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23988
Уфа
wrest в сообщении #1273205 писал(а):
Ну то есть. Если мы берем угол направления на финиш $\alpha_2=30^o$, то биссектриса между ним и вертикалью будет $\beta = 60^o$, уравнение этой биссектрисы будет соответственно $y_2=x_2\cdot \tg 60^o=x_2 \sqrt{3}$
Уравнение исходной биссектрисы $y_1=x_1$ (угол наклона $45^o$). Тогда при $x_2=\cos 30^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$ получится $y_2=x \sqrt{3}=\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=1.5$ и это действительно равно $1+\sin\alpha_2=1+\sin 30^o=1,5$
Вот и прекрасно. (Только для градусов лучше брать ^\circ, а не ^o.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение08.12.2017, 19:49 


05/09/16
5167
arseniiv в сообщении #1273209 писал(а):
Вот и прекрасно.

А чего прекрасно? Я-то думал, возникнет магическое решение вопроса о биссектрисе, да и остальных вещей тут. :mrgreen:

Собственно, я предполагал что задачу свободного падения надо рассмотреть в системе координат, где ось $Ox$ направлена от старта к финишу (то есть - наклонена к горизонтали), и соответственно сила тяжести не вертикальна. Но совершенно запутался в синусах, косинусах, их производных и т.д. и т.п..

(Картинка)

Изображение

Но теперь мы знаем, что всех случаях получается так, что для оптимального полета (т.е. минимальной стартовой скорости) кидать надо по диагонали ромба, одна сторона которого это старт-финиш, а вторая - выходит из старта и идет параллельно силе тяжести.
Ну в обычном случае этот ромб - квадрат, и диагональ направлена под 45 градусов. Квадрат начальной скорости пропорционален проекции этой диагонали на прямую старт-финиш.

Так вот возвращаясь к аффинным преобразованиям -- мне сразу показалось, что оптимальная траектория трансформируется вот так:

(Оффтоп)

Изображение

и что это какой-то самоочевидный, ну или на крайний случай широкоизвестный факт, а пришлось тут исписать две страницы...

Кстати в обратную сторону тоже надо кидать по диагонали ромба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение09.01.2019, 23:52 


27/08/16
4782
Кидаем кирпич вдоль горы с углом склона относительно горизонтали $\theta$ со скоростью $V$.
Пусть $\varphi$ - угол, под которым мы кидаем кирпич относительно склона. Т. е. относительно горизонтали угол $\varphi + \theta$. Время полёта кирпича равно: $$t=\frac{2V\sin\varphi}{g\cos\theta}$$Расстояние, на которое улетит кирпич вдоль склона: $$L=V \cos\varphi\,t - \frac{g\sin\theta\, t^2}{2}=\frac{2V^2\sin\varphi\cos\varphi}{g \cos\theta}-\frac{g\sin\theta}{2}\frac{4V^2\sin^2\varphi}{g^2\cos^2\theta}$$Мы ищем угол, при котором это расстояние максимально: $$\varphi_{\max} =\underset{\varphi}{\arg\max}L$$Выкидывая походу из выражения аддитивные и мультипликативные константы, легко получаем: $$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\left(\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta-\sin^2\varphi\sin\theta\right)$$ $$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\left(\sin 2\varphi\cos\theta+\cos 2\varphi\sin\theta\right)$$$$\varphi_{\max}=\underset{\varphi}{\arg\max}\sin\left(2\varphi +\theta\right)$$ $$2\varphi_{\max}+\theta=\pi/2$$$$\varphi_{\max}=\frac{\pi/2-\theta}{2}$$То есть, как и требовалось, направление броска совпадает с биссектрисой угла между вертикалью и склоном горы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 00:09 


05/09/16
5167
realeugene в сообщении #1367328 писал(а):
легко получаем:

Да... читать-то побученное легко. А вот получать... Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 01:48 


27/08/16
4782
После этих же тригонометрических преобразований в исходной формуле получаем $$L=\frac{V^2}{g\cos^2\theta}\left\{\sin\left(2\varphi+\theta\right)-\sin\theta\right\}$$Откуда: $$R=L_{\max}=\frac{V^2}{g(1+\sin\theta)}$$или$$V^2=g(R+h),\quad h=R\sin\theta$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 08:23 


05/09/16
5167
Ну вот и вопрос: как, не вдаваясь в синусы и конкретные уравнения движения, прийти к выводу о том, что
realeugene в сообщении #1266019 писал(а):
тогда на оптимальной траектории за время полёта вертикальная компонента скорости должна измениться на удвоенную величину горизонтальной компоненты.
из каких-то энергетических соображений (законов сохранения и т.п.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 09:40 


27/08/16
4782
Не помню, как я сделал этот вывод, но в пределе вертикального склона это очевидно неверно. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно - 2
Сообщение10.01.2019, 09:51 


05/09/16
5167
realeugene в сообщении #1367371 писал(а):
Не помню, как я сделал этот вывод, но в пределе вертикального склона это очевидно неверно.
Ну я ж писал об этом:
wrest в сообщении #1266046 писал(а):
Проблема только с нулем, поскольку делить на него нельзя, то при чисто вертикальном броске равенство $0=-2\cdot 0$ выполняется, но сказать во сколько раз изменилась вертикальная компонента по отношению к горизонтальной, нельзя :mrgreen:
Так что все там хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DimaM


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group