О механике твердого деформируемого тела

[Zhenia]

Друзья,

Слезно прошу о вашем мудром совете.

Давайте поговорим об уравнениях для описания движения сплошной среды. Это уравнение неразрыности (в индексных обозначениях):

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho v_i}{\partial x_i} = 0$$

,
уравнение переноса импульса

$$\frac{\partial \rho v_k}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x_i}\left( \rho v_i v_k - \sigma_{ik} \right) = 0$$

,
и переноса энергии

$$\frac{\partial \rho E}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x_i}\left( \rho v_i E - \sigma_{ik}v_k \right) = 0$$

.
Здесь $\rho$ - плотность среды, v - поле скорости среды, $\sigma_{ik}$ - симметричный тензор напряжений, E - удельная полная энергия.

Пока все понятно. Далее. Надо как-то раскрыть, что такое E и что такое тензор напряжений. Если мы имеем дело с обычной жидкостью, то проблем нет:

$$\sigma_{ik} = -p(\rho, \epsilon) \delta_{ik} + \lambda \frac{\partial v_j}{\partial x_j} \delta_{ik} + \mu \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right), \quad E = \frac{u_j^2}{2} + \epsilon$$

,
где p - термодинамическое давление, $\lambda,\,\mu$ - коэффициенты вязкости, $\epsilon$ - удельная внутренняя энергия. Таким образом получаем систему уравнений Навье-Стокса.

Далее, если среда проявляет линейно-упругие для простоты свойства, то тензор напряжений будет иметь вид

$$\sigma_{ik} = \lambda \frac{\partial u_j}{\partial x_j} \delta_{ik} + \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_k} + \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \right), \quad \lambda, \mu $$

здесь константы Ляме.
Это очень похоже на жидкость, но проблема в том, что тензор упругих напряжений, в отличие от тензора вязких напряжений, выражается через производные от поля смещения u, но не скорости v. То есть, если я хочу решать систему динамических уравнений для упругой среды, мне нужны дополнительные уравнения, связывающее u и v:

$$\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \mathbf{v}(\mathbf{r}, t), \quad \mathbf{r}(0) = \mathbf{r}_0, \quad \mathbf{u} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 $$

(что эквивалентно переходу от Эйлеровых координат к Лагранжевым, непростая задачка).
Другая альтернатива, продифференцировать по времени тензор упругих напряжений и получить для него дифференциальное уравнение в частных производных, но уже включающее производные от скорости, а не от смещения. ВОПРОС: как его правильно продифференцировать??? Кзалось бы, продифференцируем тензор вдоль траектории частицы (т.е возьмем субстанциональную производную) и все будет хорошо. Однако некоторые авторы настаивают, что надо брать производную, учитывающую какие-то вращения (некая производная Яуманна)... Так как правильно? Какой тип движения я потеряю/приобрету, если буду/не буду учитывать эти замысловатые вращения?...

Дальше больше. Тензор напряжений принято разделять на шаровую и девиаторную части: $\sigma_{ik} = \sigma \delta_{ik} + s_{ik}, \, \sigma = \frac{1}{3} \sigma_{jj}$. При этом для шарового напряжения в упругом случае справедливо $\sigma = -K \ln \frac{\rho}{\rho_0}$, K - модуль всестороннего сжатия. Ладно, тут все едины. А вот с удельной энергией беда: одни авторы предлагают ее в обычном виде $E = 0.5\mathbf{u}^2 + \epsilon$, а другие еще добавляют слагаемое вида $s_{ik}s_{ki}/(4\mu\rho)$, отвечающее за энергию сдвига... Так как же правильно? Одно "маленькое" слагаемое в нелинейном уравнении может радикально поменять всю картину движения!

Ну и, наконец, тема, которая заставляет меня глубоко задуматься о смысле жизни - это упруго-пластические среды. Понятно, что когда нагрузка на твердое тело мала, оно, скорее всего, будет вести себя упруго. Но вот нагрузка растет, и достигает величины, называемой "пределом текучести", и среда потекла... Все. На этом мое понимание заканчивается.
Что значит потекла? Значит ли это, что пока она еще не "потекла", скорость среды была нулем? Уже неверно: изначально среда была недеформирована, поле смещения равно нулю, приложили маленькую нагрузку, среда упруго прогнулась, поле смещения стало не ноль. Значит был период, когда среда двигалась, и у нее и поле скоростей и поле ускорений не было нулем. Т.е. было упругое движение. Тогда чем пластическое движение принципиально отличается от упругого?
Едем дальше. В мат. модели простейших упруго-пластических сред считается, что для девиатора напряжений справедливо $s_{ik}s_{ki} \leq Y^2$, где Y - тот самый предел текучести. Т.е. как бы я среду ни "двигал", сдвиговое напряжение никогда не превзойдет некоторую наперед заданну величину. Но если среда течет, то слои движущегося вещества трутся друг от друга, и чем они быстрее трутся, тем болшье сила трения, т.е. сдвиговое напряжение. Неувязочка какая-то получается!!!
Также в одной книге нашел фразу, что тензор напряжений при пластическом течении аналогичен тензору вязкой жидкости. Положим, при начале нагружения среда ведет себя упруго, т.е. обладает тензором упругих напряжений, грузим её сильнее и сильнее, среда потекла... И что, тензор упругих напряжений скачком превращается в тензор вязких напряжений? Фазовый переход второго рода? Условия сшивки? Так как же должен в общем случае выглядеть тензор напряжений упруго-пластической среды? И действительно ли он разный при платстическом и при упругом движении, и как один вид переходит в другой? Или он один и тот же?

Вы скажете: "Товарищ нахватался по верхам и сошел с ума ". Я действительно изначально не специалист в данной области, но жизнь заставляет. Пока мое понимание далеко от ясного. Не судите строго, если видете в моих рассуждениях грубые ошибки. Укажите на них - это дело я проработую.
Пока я не нашел книги, в которой было бы исчерпывающее описание различных математических моделей сплошных сред. Многие авторы ограничиваются хорошо известными случаями, общими словами или дают какие-то формулы без объяснений, особенно, когда дело касается механики твердого деформируемого тела. Многие другие сразу уходят в стационар и о производной по времени более не вспоминают. Понимаю, наука сложная и развивающаяся, но должны же быть какие-то основы и принципы. Поделитесь ссылками. Может быть, и на ваши работы. Продолжаю разбираться.

Спасибо всем!

[Zai]

Цитата:

Какой тип движения я потеряю/приобрету, если буду/не буду учитывать эти замысловатые вращения?...

В большинстве практических задач Яумановская производная не нужна, если абсолютные углы поворота невелики. Примером, где необходимо учитывать добавки от Яумана, является следующая задача. Прямолинейную прямоугольную пластину от пружинных часов сматывают в кольцо. По Вашим уравнениям в каждой точке пластины приращения в тензоре напряжений вычисляются в глобальной декартовой системе координат. Но старый тензор напряжений хотя и был определен в глобальной системе координат, но за интервал времени прокрутился на некоторые углы в пространстве за счет угловых скоростей. Чтобы его пересчитать назад в глобальную систему координат используется производная Яумана.

Цитата:

Одно "маленькое" слагаемое в нелинейном уравнении может радикально поменять всю картину движения!

Если Вы рассматриваете Эйлерову постановку задачи, то обязательно нужно учитывать переток сдвиговой энергии через границы ячейки. Сдвиговая энергия в твердом теле привязана лагранжевым способом к точкам среды.

Цитата:

Но вот нагрузка растет, и достигает величины, называемой "пределом текучести", и среда потекла..

Эта фраза идет из позапрошлого века, когда расчеты пластического деформирования проводились какими-то удивительными методами. Переход от упругого состояния к упругопластическому состоянию в точке сплошной среды не связан с макросмещениями. Пусть в цилиндре с абсолютно жесткими стенками находится плотно подогнаный столб мрамора. Вы давите на столб поршнем и замеряете давление на поршне и давление на боковой поверхности цилиндра. В этом случае компонента тензора деформаций только одна – вдоль оси цилиндра. В упругой области, боковое давление меньше осевого. Вы приходите к пластике, смещения точек среды и в пластике только осевые. Давление на боковую стенку будет расти больше, по сравнению с упругим случаем. Появятся копоненты пластической деформации в перпендикулярном к оси цилиндра направлении.

Аналогом пластического течения в точке твердого тела является шайба на льду. Чтобы ее стронуть в линейном направлении силой, нужна сила трения покоя. Чтобы привести во вращение, нужен момент трения покоя. Если Вы одновременно страгиваете и вращаете, то значение силы будет меньше силы трения покоя, а момент меньше момента покоя. У Вас будет зависимость типа окружности в безразмерных координатах сила-момент. Шайба, закрученная и пущенная игроком клюшкой, движется по этой кривой, когда угловая скорость и линейная скорость изменяются, например шайба сначала перестает вращаться, а после двигаться. Закрученная шайба проходит больший путь, по сравнению с незакрученной.

[MOPO3OB]

Цитата:

Ну и, наконец, тема, которая заставляет меня глубоко задуматься о смысле жизни - это упруго-пластические среды. Понятно, что когда нагрузка на твердое тело мала, оно, скорее всего, будет вести себя упруго. Но вот нагрузка растет, и достигает величины, называемой "пределом текучести", и среда потекла... Все. На этом мое понимание заканчивается.

я наблюдал упругость заведомо пластичного тела - пластилина..
я крепил зеркальце на пластилин и когда пытался юстировать систему поворачивая зеркало пластилин медленно возвращался на место....

кстати... перенос импульса в упругих средах не происходит ..такое без переноса массы невозможно.

надеюсь смысл жизни теперь стал еще более осмысленен

[Шимпанзе]

Zhenia

Цитата:

Тогда чем пластическое движение принципиально отличается от упругого?

Видимо, ни чем. Кроме одного. После снятия нагрузки движение прекращается при пластических деформациях и меняет направление на обратное при упругих деформациях. Либо при наличии нагрузки движение рано или поздно прекращается или переходит в колебания при упругих деформациях, и не прекращается при пластических деформациях.

[Zhenia]

MOPO3OB писал(а):

кстати... перенос импульса в упругих средах не происходит ..такое без переноса массы невозможно.

Позволю с Вами не согласиться. Импульс малого элемента среды есть

$$\mathbf{v}\rho\,dV$$

,
если скорость данного элемента среды меняется, то меняется и импульс, т.е импульс как-то переносится. Пример: ударили молотком по массивной упругой балке (массивная - это чтобы она не сдвинулась как единое целое). До удара у молотка был импульс (масса молотка на скорость молотка), после удара импульс стал, например, ноль. Куда делся импульс? Правильно, он перешел в малые упругие изэнтропические колебания среды, т.е. в звук. А звуковые волны переносят импульс - это известный факт.

Добавлено спустя 59 минут 47 секунд:

Балгодаря посту Zai разобрались с производной Яуманна и со сдвиговой энергией. Но остается вопрос, как должен выражаться тензор напряжений упруго-пластической среды через тензор деформаций или скоростей деформаций, в том числе в случае, когда деформации не малы.

И вопрос, который интересует меня больше всего, - это аморфные среды. т.е. состоящия из вещества, не имеющего четкого фазового перехода из твердой фазы в жидкую. Когда аморфная среда холодная, можно считать ее упругой, но вот температура растет, среда размягчается. Т.е. её упругие и пластические свойства проявляются все меньше, а на первый план выходят свойства жидкости. Можно ли для такой среды записать некий "широкодиапазонный" тензор напряжений? Который учитывал бы свойства и твердого тела и жидкости? Понимаю, подобный вопрос может быть передним краем науки, но все же...

[Eugeen1948]

Цитата:

Пока я не нашел книги, в которой было бы исчерпывающее описание различных математических моделей сплошных сред.

Поищите в этом списке:
http://www.ocean.ru/content/view/261/

[Zhenia]

Eugeen1948, не вы ли автор данных публикаций?
Тематика сфокусирована на механике гетерогенных жидкостей и газов. Не совсем то, что нужно мне. Но посмотрю ваш список повнимательнее.

[Eugeen1948]

Zhenia писал(а):

Eugeen1948, не вы ли автор данных публикаций?
Тематика сфокусирована на механике гетерогенных жидкостей и газов. Не совсем то, что нужно мне. Но посмотрю ваш список повнимательнее.

Автор не я. Просто знаю братьев Нигматулиных, как великолепных теоретиков и практиков многофазной, НЕРАВНОВЕСНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ.

[Zai]

Zhenia писал(а):

Но остается вопрос, как должен выражаться тензор напряжений упруго-пластической среды через тензор деформаций или скоростей деформаций, в том числе в случае, когда деформации не малы.

Явные схемы значительно упрощают учет упруго пластического течения. Есть численная процедура приведения к кругу пластичности. Она описана в Уилкинсе. Для данного материала в данной точек тензора напряжений, рассчитывается модуль сдвига из кривой напряжение - деформация. После упругой добавки в тензор-дэвиатор напряжений, вычисляется напряжение Мизеса. Если напряжение Мизеса больше допустимого для данной деформации Мизеса и скорости деформации Мизеса, то он нормируется. Посмотрите тексты программ по интегрированию уравнений в смешанной постановке задач - они значительно проще текстов статей.

[Zhenia]

Zai писал(а):

Посмотрите тексты программ по интегрированию уравнений

Не могли бы Вы дать какую-нибудь ссылочку на литературный или вэб источник?

Zai писал(а):

Явные схемы значительно упрощают учет упруго пластического течения.

Перед тем, как начинать что-то считать, мне хотелось бы все-таки поставить адекватную задачу, разобраться что к чему.

А в задаче будет присутствовать аморфное тело в широком интервале температур: от комнатной до нескольких тысяч градусов. И рязмягчения до жидкого состояния мне никак не избежать.

Общая структура основных уравнений движения сплошной среды одинакова вне зависимости от среды. Среда будет определять напряжения и внутреннюю энергию. В аморфном теле нет четкого фазового перехода твердое тело-жидкость. С ростом температуры оно размягчается, теряет свои упругие свойства, и становится больше похожим на жидкость. С учетом сказанного, могу ли я тензор напряжений аморфного тела представить как

$$\sigma_{ik} = \sigma_{ik}^{\text{elastoplastic}} + \sigma_{ik}^{\text{viscous}}$$

т.е. как сумму упругопластической и вязкой частей. Возможно, правильней было бы даже написать

$$\sigma_{ik} = \alpha(T) \sigma_{ik}^{\text{elastoplastic}} + \beta(T) \sigma_{ik}^{\text{viscous}}$$

,
где альфа и бета - функции (подгоночные), принимающие значения от нуля до единицы и зависящие от температуры.
Или, может быть, для тензора напряжений есть какое-то общее разложение по степеням тензора деформаций и скоростей деформаций?
Реально ли вообще будет решить задачу с таким тензором напряжений и есть ли какие-либо сформировавщиеся подходы для описания сплошных аморфных сред?

З.Ы. Посмотрел еще раз Уилкинса. Вроде, статейка то небольшая, но опять что-то новое для себя открыл.

[Zai]

Zhenia писал(а):

вэб источник?

http://tochnog.sourceforge.net/

[Zhenia]

При расчете течения в упругой области для вычисления напряжений используется закон Гука (линейная связь между тензором напряжений и тензором малых деформаций). Правильно ли я понимаю, что предел текучести достигается еще при малых деформациях? Для всех ли твердых веществ (или для большинства) это справедливо?

[Zai]

Zhenia писал(а):

Правильно ли я понимаю, что предел текучести достигается еще при малых деформациях?

В конструкционных сталях существует т.н. предел пропорциональности(его величина 0.2%). Сталь в стержнях деформируется до 20%, в пластинах до 4% до разрушения на растяжение при обычных температурах. Если Вы возьмете даже 20% то значение конечной деформации будет несильно отличаться от значения из выражения для малой деформации.

Zhenia писал(а):

Для всех ли твердых веществ (или для большинства) это справедливо?

На повышенных температурах предельные деформации могут быть очень большими, например из полосы делают тонкую металлическую фольгу.
Свинец при комнатной температуре может течь на сжатие до значительных деформаций. Полимеры типа резины деформируются вначале до конечных деформаций в упругой области, далее упругопластической с необратимым изменением формы.
При очень высоких давлениях некоторые вещества, имеющие конечные величины модуля сдвига могут превратиться в жидкость, также как некоторые жидкости могут превратиться в твердое тело (гипотеза о металлическом водороде).

[Zhenia]

Мой вопрос, наверное, лучше переформулимровать так: насколько адекватно использовать закон Гука (т.е. линейную связь между тензором наряжений и деформаций) при расчете упругопластических течений?
Т.е. сдвиговые напряжения я всегда считаю по закону Гука и, если вижу, что свертка девиатора напряжений не превосходит предела текучести, то использую посчитанные напряжения в уравнениях, а если превосходит предел текучести (условие Мизеса), то напряжения корректируюся (приводятся к кругу текучести), и в уравнениях используются уже скорректированные напряжения. Насколько адекватно использование закона Гука, т.е. линейной упругости?

Zai писал(а):

В конструкционных сталях существует т.н. предел пропорциональности(его величина 0.2%).

Правильно ли я понимаю, что закон Гука для таких материалов с хорошей степенью точности выполняется для относительных деформаций не выше 0,2%?

Zai писал(а):

Сталь в стержнях деформируется до 20%, в пластинах до 4% до разрушения на растяжение при обычных температурах.

Т.е. в стержне было 0,2% упругой деформации и 19,8% пластической? Или это все были упругие деформации? Наксколько я помню по Уилкинсу, предел текучести можно экспериментально вычислить именно как нагрузку на разрыв при растяжении, а нагрузка ниже предела текучести всегда упругая, т.е. скорее это были упругие деформации?

Zai писал(а):

Если Вы возьмете даже 20% то значение конечной деформации будет несильно отличаться от значения из выражения для малой деформации

Т.е. нелинейная упругость даже при 20% деформации несильно отличается от линейной, правильно ли я вас понимаю?

Zai писал(а):

На повышенных температурах предельные деформации могут быть очень большими, например из полосы делают тонкую металлическую фольгу.
Свинец при комнатной температуре может течь на сжатие до значительных деформаций.

Но это уже пластические деформации? Можно ли при их расчете пользоваться той же теорией пластического течений и считать напряжения по закону Гука, корректируя их под условие текучести Мизеса?

[Zai]

Zhenia писал(а):

Насколько адекватно использование закона Гука, т.е. линейной упругости?

Это вопрос аппроксимации. Если шаг по времени(нагружению) очень мал, то Ваша точка будет всегда на поверхности текучести и приращения деформаций правильны. Эта проблема нигде мне не встречалась. На практике после проведения сравнения расчета и эксперимента численная процедура принимается удовлетворительной. Существующие МКЭ практически все показывают слегка разные результаты даже на одной и той же модели пластичности и одной и той же сетке.

Zai писал(а):

В конструкционных сталях существует т.н. предел пропорциональности(его величина 0.2%).

Zhenia писал(а):

Правильно ли я понимаю, что закон Гука для таких материалов с хорошей степенью точности выполняется для относительных деформаций не выше 0,2%?

Это проблема аппроксимации кривой напряжение-деформация. Проблема первого линейного участка существует, но в большинстве прикладных задач если Вы возьмете 0.23%, просто следующий участок будет более пологий. Иногда проводятся расчеты показывающие что выбор первой длины участка не влияет на общие результаты.

Zai писал(а):

Сталь в стержнях деформируется до 20%, в пластинах до 4% до разрушения на растяжение при обычных температурах.

Zhenia писал(а):

Т.е. в стержне было 0,2% упругой деформации и 19,8% пластической? Или это все были упругие деформации (наксколько я помню по Уилкинсу, предел текучести можно экспериментально вычислить именно как нагрузку на разрыв при растяжении)?

В стержне может быть только 0.2% упругой деформации. В последующем стержень начал трещать (посмотрите описание акустической эмиссии). Его части в очень малые промежутки времени сначала деформируются упруго при этом напряжения возрастают, дале происходит релаксация этих возросших напряжений с необратимым изменением объема, так что среднеквадратичное значение касательного напряжения на поверхности малой сферы( смотрите определение напряжения Мизеса в точке) возвращается к своему стационарному значению. Упругие и пластические деформации происходят в относительно малых объемах. Нет пространственной и временной корреляции - это распределенные случайные процессы. По всей видимости он деформируется все время упруго, но части упругой деформации в пластике дополняются необратимыми пластическими.

Zai писал(а):

Если Вы возьмете даже 20% то значение конечной деформации будет несильно отличаться от значения из выражения для малой деформации

Zhenia писал(а):

Т.е. нелинейная упругость даже при 20% деформации несильно отличается от линейной, правильно ли я вас понимаю?

Почитайте о конечных деформациях. Конечные деформации в механике деформируемого тела отличаются от малых. Если это конечная деформация то это логарифм отношения длины к первоначальной длине. Малая деформация это отношение разности длин к первоначальной длине.
Это не нелинейная упругость. Нелинейная упругость это когда зависимость напряжение- деформация нелинейные.

Zai писал(а):

На повышенных температурах предельные деформации могут быть очень большими, например из полосы делают тонкую металлическую фольгу.
Свинец при комнатной температуре может течь на сжатие до значительных деформаций.

Zhenia писал(а):

Но это уже пластические деформации? Можно ли при их расчете пользоваться той же теорией пластического течений и считать напряжения по закону Гука, корректируя их под условие текучести Мизеса?

Можно. Хотя в некоторых теорях пластичности есть нюансы.