2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение05.01.2019, 18:10 


03/03/12
1170
Известно (в разделе загадок), что уравнение:

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

при $\alpha<\beta$ имеет решения.

Вопрос: имеет ли решения уравнение при $\alpha\ge\beta$. $(\alpha;\beta;b;n)$-натуральные положительные числа. (Задача простая, но интересна с точки зрения возможности обобщения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение05.01.2019, 18:43 


26/08/11
1794
$2^{2k}+2^{k+1}+1=(2^k+1)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение05.01.2019, 19:08 


03/03/12
1170
Shadow, понятно. Спасибо.

А, если $\alpha>\beta+3$ или существует $\alpha>\beta+\alpha_1$; $\alpha_1=?$, чтобы решений не существовало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 11:30 


03/03/12
1170
Итак, получилось, что при $\alpha_1=2$, $\alpha_1=3$ решения существуют. В остальных случаях не существуют, что я доказываю с помощью одной идеи для оставшихся случаев. Если я не ошиблась с доказательством, то получилась интересная интерполяция (для меня интереснее, как объяснить её странную структуру; идея имеется ("крамольная"), но сначала надо проверить доказательство).

При $b=1$ уравнение

TR63 в сообщении #1366213 писал(а):

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$



решения не имеет.

Рассмотрим случай $b=2$

$$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+1=n^2$$

Добавим в обе части равенства $t=2n+1=2t_1$. Получим

$t_1(t_1-1)-2^{\alpha-2}(2^{\beta}+1)=0$

1). $t_1=k\cdot2^{\alpha-2}$

$k\cdot2^{\alpha-2}=\frac{2^{\beta}+1+k}{k}$

В рассматриваемой области определения это равенство невозможно.

2). $t_1-1=k\cdot2^{\alpha-2}$

$k\cdot2^{\alpha-2}+1=\frac{2^{\beta}+1}{k}$

Здесь также решений нет.

Если на данном этапе я ошиблась, просьба указать ошибку.
Если всё-таки существует $\alpha_1$, при котором уравнение имеет решения в рассматриваемой области, просьба привести это значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 12:55 


21/05/16
2453
Аделаида
А какое при $\alpha_1=3$?

-- 06 янв 2019, 20:28 --

TR63 в сообщении #1366303 писал(а):
$2n+1=2t_1$.

Вы хоть сначала пишите, целые ли у вас переменные. А то не понятно, ошибка или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 13:58 


03/03/12
1170
TR63 в сообщении #1366213 писал(а):
имеет ли решения уравнение при $\alpha\ge\beta$. $(\alpha;\beta;b;n)$-натуральные положительные числа

kotenok gav, уточняю $\alpha_1=\alpha-\beta$; из предположения, что решение существует, следует, что $(n)$ чётное, т.е. $n=2t_1$. Значит, натуральное $t_1\ge1$.

kotenok gav в сообщении #1366322 писал(а):
А какое при $\alpha_1=3$?


$2^{4+1}+2^4+1=7^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 14:10 


26/08/11
1794
TR63 в сообщении #1366333 писал(а):
из предположения, что решение существует, следует, что $(n)$ чётное, т.е. $n=2t_1$.
Что за глупости???

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 14:13 


03/03/12
1170
Shadow в сообщении #1366335 писал(а):
Что за глупости???

Исправляю:
TR63 в сообщении #1366333 писал(а):
уточняю $\alpha_1=\alpha-\beta$; из предположения, что решение существует, следует, что $(n)$ нечётное, т.е. $n+1=2t_1$. Значит, натуральное $t_1\ge1$


-- 06.01.2019, 15:19 --

kotenok gav, здесь должно быть
TR63 в сообщении #1366303 писал(а):
Добавим в обе части равенства $2n+1$


была опечатка (прошу извинить).$n+1=t=2t_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 14:35 


21/05/16
2453
Аделаида
Теперь ясно.

-- 06 янв 2019, 22:09 --

Все равно чет не сходится. Не получается следующее уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 15:14 


26/08/11
1794
kotenok gav не обращайте внимание на нечитабельность. Из

$x^{a+b}+x^a+1=(2k+1)^2$

следует $4k(k+1)=x^a(x^b+1)$

Поскольку в правой части сомножители взаимнопростые, то либо $k$, либо $k+1$ должно делится (а следовательно быть не меньше) $x^a$ (или $\dfrac{x^a}{4}$ при четном $x$)

Что при данных ограничениях невозможно - левая часть будет больше правой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 15:55 


03/03/12
1170
kotenok gav в сообщении #1366342 писал(а):
Не получается следующее уравнение.

TR63 в сообщении #1366303 писал(а):
Рассмотрим случай $b=2$

$$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+1=n^2$$

Добавим в обе части равенства $2n+1$. Получим

$t_1(t_1-1)-2^{\alpha-2}(2^{\beta}+1)=0$

1). $t_1=k\cdot2^{\alpha-2}$

$k\cdot2^{\alpha-2}=\frac{2^{\beta}+1+k}{k}$


$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+1+2n+1=n^2+2n+1$
$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+2(n+1)=(n+1)^2$
$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+2t=t^2$
$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+4t_1=4t_1^2$
$4=2^2$ Делим обе части на $4$. Получаем:
TR63 в сообщении #1366303 писал(а):
Получим

$t_1(t_1-1)-2^{\alpha-2}(2^{\beta}+1)=0$


Так получается (читабельно)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение06.01.2019, 17:13 


21/05/16
2453
Аделаида
Ага, теперь ясно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение07.01.2019, 04:40 


26/08/11
1794
TR63, я выше детскую ошибку допустил. Вы можете продолжить доказательство (для $b>2$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение08.01.2019, 11:27 


03/03/12
1170
Идея, применённая к случаю $b=2$, для произвольного натурального $b>2$ у меня буксует. Нужна другая идея (имеется гипотетическая с другой, возможно, проблемой) или контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение09.01.2019, 22:49 


03/03/12
1170
Можно рассмотреть частный случай $\alpha-\beta=4$. Тогда уравнение

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

примет вид с учётом замены $b^{\beta+2}=y$, $b=x$

$n^2-yx^2=y^2+1$

Это уравнение Пелля (похожее было в соседней теме и решений не имело).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group