Про шпур

[specialist]

Почему шпур это среднее от наблюдаемой величины?
$ \langle R\rangle=\operatorname{Sp}(\rho R)= 2\sum \limits_{k=1}^\infty \sum \limits_{j=1}^\infty (\sideset{_1}{_{jk}}R (\sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi + \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi) - \sideset{_2}{_{jk}}R (\sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi + \sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi )) $, где $\sideset{_1}{_{xy}}R $ - вещественная часть компоненты номер "xy" оператора, а $ \sideset{_2}{_{xy}}R$ мнимая часть компоненты номер "xy" оператора. То есть компонента "xy" выглядит так: $(\sideset{_1}{_{xy}}R +i\sideset{_2}{_{xy}}R) $, а компонента "yx" $(\sideset{_1}{_{yx}}R -i\sideset{_2}{_{yx}}R) $, причем $\sideset{_1}{_{xy}}R = \sideset{_1}{_{yx}}R$ и $ \sideset{_2}{_{xy}}R = \sideset{_2}{_{yx}}R $, также $\sideset{_1}{_x}\psi $ - вещественная часть компоненты номер "x" волновой функции, а $\sideset{_2}{_x}\psi $ мнимая часть компоненты номер "x" волновой функции. То есть компонента выглядит так: $(\sideset{_1}{_x}\psi +i\sideset{_2}{_x}\psi) $.
по расписанному выражению, не ясно, почему шпур среднее.
По подсказке, искал в двухтомнике Рихтмайера(хотя скорее всего я не заметил), но ничего не нашел, также и в справочнике Корна, об этом не написано.
Подскажите почему Шпур это среднее?

[specialist]

Кажется сам нашел в Рихтмайере

[Munin]

Расскажите, чего нашли.

[specialist]

Munin в сообщении #1365686 писал(а):

Расскажите, чего нашли.

Ну грубо, говоря, я не знал что среднее от наблюдаемой величины, на самом деле называется математическим ожиданием, что очень многое поясняет и дает почву для дальнейших размышлений.
В одномерном случае, математическое ожидание выражается так: $ m_x (t)= \int\limits_{-\infty}^\infty x df(x,t)$, где $ f(x,t)$ - функция распределения. В Рихтмайере, функция распределения определяется кажется вектором, где каждая компонента (которая по совместительству - вероятность) определяется квадратом нормы произведения: $||E_\lambda \varphi||^2=(\varphi,E_\lambda\varphi) $ где $ E_\lambda$ - полный набор ортогональных проекторов (вроде его можно представить квадратной матрицей, правда как её запонять пока непонятно), $\varphi$ - номер состояния. Соответственно математическое ожидание или среднее от наблюдаемой величины, для определенного состояния выражается так: $ m_x (t)= \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda d||E_\lambda \varphi||^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda d(\varphi,E_\lambda\varphi)$. Далее с помощью чернейшей магии и с комментарием "что в гильбертовом пространстве интегралы типа $ m_\lambda (t)= \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_{-n}^n f(\lambda)d||E_\lambda \varphi||^2$ сильно сходятся" постулируется что $ m_\lambda (A,t)= \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda d||A \varphi||^2 = (\varphi,A\varphi)$ где $ A$ - оператор соответствующий наблюдаемой. Вот это я совсем не понимаю. Да и еще, в чем сущность оператора? вот у волновой функции сущность вроде ясна, она описывает поведение микроскопической системы, а что описывает оператор?
Ну это я отвлекся, дальше задается мат. ожидание через матрицу плотности: $ m_\lambda (A,t)= \sum\limits_{k=0}^{k=\infty}p_k(\varphi_k,A\varphi_k)$ и если расписать произведение $ \sum\limits_{k=0}^{k=\infty}(\varphi_k,A\varphi_k)$ покомпонентно, совершенно внезапно, оно будет равно шпуру $ \operatorname{Sp}(\rho A)$.
Вот все что я понял.
Расскажите про сущность оператора?
P.S. технически, ответ на вопрос темы можно записать так: шпур является частным случаем записи математического ожидания величины распределение вероятности которой определено через волновую функцию и оператор физической величины.

[Munin]

Скажите, а вы ничего не читали по квантовой механике до и помимо Рихтмайера?

-- 04.01.2019 01:23:36 --

specialist в сообщении #1365786 писал(а):

Да и еще, в чем сущность оператора?

Неправильно спрашивать, в чём сущность "оператора вообще".

В КМ используются операторы двух типов: самосопряжённые (в физических учебниках их называют эрмитовы) и унитарные.

Самосопряжённые (операторы наблюдаемых) - задают базис ортогональных собственных векторов (собственных состояний данной наблюдаемой), и для каждого собственного вектора - собственное значение (то значение наблюдаемой, которое соответствует собственному состоянию). С.-с. оператор как бы "взвешивает" собственные состояния. В собственном базисе он записывается в диагональном виде, и в нём формулы становятся особенно прозрачно похожими на $\int x\,df.$

Унитарные операторы используются для вращения пространства или векторов в нём, чтобы привести к какому-то ортогональному базису, или описать унитарную эволюцию (унитарное вращение как непрерывная функция времени $t\in\mathbb{R}$).

[specialist]

Munin в сообщении #1365788 писал(а):

Скажите, а вы ничего не читали по квантовой механике до и помимо Рихтмайера?

Хитрый вопрос. Серьезно я читал, (пытаясь дочитаться, вывести и понять до просветления) М.Г. Иванова (первые шесть глав до дыр зачитаны и половина седьмой, коечто выведено) Как понимать квантовую механику и Блохинцева. Однако как видите, упорное чтение не снимает таких вопросов: "а среднее наблюдаемой, это то что я мерю макроскопическим прибором, или это опять чтото хитрое из внутренностей КМ? а вообще что это за среднее, среднее какое, среднее почему, как его правильно считать?" Как мне кажется, подобные вопросы задаются преподавателям, а не книжкам, поэтому в книгах по КМ так старательно не расписывают выражения, покомпонентно, тем самым показывая самую простую и понятную математическую структуру - расчетную формулу, весь вывод держится на преподавателе и/или на желании читателя разобраться.
Но это такое отступление. почти Все книги которые вообще советовались по КМ на этом форуме, у меня есть в библиотеке и каждая либо пролистана, либо просмотрена, либо вычитаны отдельные главы.
Ну чтоб не быть голословным:
Начнем с лучшей:
Л.Шифф КМ - шикарные главы по квантованию волновых полей, автор прямо хотел пояснить читателю, что же там происходит.
Рихтмайер - ну тут он уже вырвался в топы
Маккейн мат.основы КМ - средней сложности, но нудная, кажется математических подробностей даже слишком много, непонятно на что обратить внимание.
Флюгге задачи по квантовой механике с решениями в двух томах - книга всех времен и народов. Так как автор не поленился показать "как все это решается", много интересных выводов.
Фок основания КМ - крайне хорошо написана первая глава и начало второй, тут тоже автор старается расписывать выражения, хотя и не всегда.
Тарасов КМ - шикарное введение в КМ, но опять ничего не расписано, автор пытается на пальцах пояснить что к чему, но вкус такого пояснения остается синтетическим, вам будто дают йогурт, но при этом запечатанный и без ложки, но в красивой обложке.
Соколов КМ - эпичнейшее начало книги, начать показывать смысл КМ из электродинамики, но дальше все скатывается в стандартное изложение, но есть плюс - автор расписывает выражения, и любит электродинамику и СТО. Книга требует дальнейшего изучения.
Петров(2003) КМ - автор старается все расписать, но книга тонкая и убористая, но интересная, напоминает конспект лекций и семинаров по КМ. Все ограничено по объему, но выведено досконально.
Давыдов КМ - хорошая глава "основные понятия КМ" автор хоть и не расписывает, но старается разжевать словами, что плохо, так как вопрос книге задать можно, но она не ответит, а когда и вывести то не можешь, книга становится множеством интересных слов.
Замураев, Калинина задачи с решениями по КМ, Ну как сказать авторы ни как не Флюгге, книга скорее с ответами чем с решениями, годится для изучения только в тех редких случаях где авторы соизволили написать решение, а не ответ.
Отдельно нужно упомянуть книги по Квантовой Химии - кладезень примеров для КМ, для меня было целым открытием, до дыр зачитал научпоп
Пиментел Г. Спратли как квантовая механика объясняет химическую связь - сколько же с этой книгой встало на свои места, появилась надежда что я когда нибудь обрету понимание основ химии.
Научпоп: Джулиано Препарато реалистическая квантовая физика, опять ничего не расписывается, однако автор старательно разжевывает, на при этом для понимания требуется большой бэкграунд, но не такой как в пути к реальности Р. Пенроуза.
Ну и совсем отдельно нужно упомянуть достойные книги, пока не вкатившие мне:
ЛЛ-3 бодрое начало, но дальше вязнешь, листаешь и понимаешь, раз не прошел введение, дальше на боссах сядешь и не пройдешь никогда, а книга толстая. ЛЛ-3 очень сильно отличается в подаче материала от ЛЛ-1 (как же мне там понравились первые три главы они безупречны) или в ЛЛ-2 (там вся книга интересная, чтение вызывает желание дальнейшего чтения), а в ЛЛ-3 ощущение постигания не КМ и вселенной как в первых двух книгах, а атомной механики и частных вопросов с ней связанных, с другой стороны возможно для специалиста это бесценная книга.
Мессиа КМ - самым интересным мне показалось оглавление, всего так много, что не знаешь где именно искать ответы на вопросы. Книга может и хорошая, но для постепенного чтения, и выведения того что там происходит, но судя по формулам всех полей книги не хватит для выведения происходящего.
ПАМ Дирак КМ - опять бракеты и внутренности их автора не интересуют, только формализм только хардкор, читатель как нибудь сам разберется. Книга не для читателя незнакомого с КМ, читатель должен уже хорошо ориентироваться в мат.аппарате, в КМ итд. Эта книга нужна уже для немного разобравшегося во всем, что бы добить малые неясности и наставить на путь истинный. Когда я её начинал читать, я от КМ знал название "квантовая механика" и книга вызвала резкое отторжение и диссонанс ибо написал Дирак, и это учебник чем то там рекомендованный для студентов и распиаренный, а не читабельный на начальном уровне. Кстати вот заметное отличие от ЛЛ-3, ЛЛ-3 создан для введения низкоуровневого юзера в КМ, пусть с поддержкой преподавателя, пусть плохо, но создана и даже работает. Скорее всего я перечитаю Дирака, ибо он уже не вызывает отторжения.

Отдельным слоем идут книги по КЭД и КТП, там есть хорошие и интересные, но скилла для их полноценного чтения не хватает.
Кроме этих книг есть еще много книг которые я не упомянул, они либо сложные, либо авторы вообще не задумывались над чтением собственных книг, либо авторы просто списали у кого то, перефразировав и ничего не добавив, либо я ничего не понял.

Вот у меня вопрос: физических величин много, очень много. Чую я что не для всех есть операторы. Какие величины имеют операторы а какие нет? Вот скажем электрический ток, тот что в амперах, имеет оператор? Просто учебники по КМ наповал страдают однобокостью все рассказывают только про координаты и импульс, а про магнитную проницаемость, а про электрическую, а про напряжение, а про ток, а про давление, вот читатель чуть-чуть знакомый со школьной физикой тут же задаст такой вопрос, вот почему бы авторам книг по КМ сразу бы и не ответить, но ясного ответа я пока не встречал (кое-что было в Иванове, но только очень частично).

[amon]

specialist в сообщении #1365836 писал(а):

почти Все книги которые вообще советовались по КМ на этом форуме, у меня есть в библиотеке и каждая либо пролистана, либо просмотрена

Посмотрите Фаддеева с Якубовским (Квантовая механика для математиков, или как-то похоже). Вам должно понравиться.

[specialist]

Спасибо, мне уже известна эта книга (лекции по КМ для студентов-математиков), хорошая, одновременно не слишком сложная, но подробная. На глаза не попалась, поэтому и в список не попала.

[Munin]

В защиту ЛЛ-3: книга толстая, но бо́льшую часть её толщины составляют углубления и приложения. Собственно "КМ и вселенной" там посвящены первые 2-3 главы, плюс обязательно 7-я (квазиклассика) и 9-я (тождественные частицы). Вот их можно "зачитывать до дыр до просветления". Немного несовременный язык и недоосвещены пара тёмных углов. (Та же матрица плотности, увы.)

Ещё в вашем списке нет Фейнмановских лекций по физике, вып. 8-9. Раз вы так широко охватили литературу, можно было бы и туда заглянуть.

specialist в сообщении #1365836 писал(а):

Однако как видите, упорное чтение не снимает таких вопросов: "а среднее наблюдаемой, это то что я мерю макроскопическим прибором, или это опять чтото хитрое из внутренностей КМ? а вообще что это за среднее, среднее какое, среднее почему, как его правильно считать?" Как мне кажется, подобные вопросы задаются преподавателям, а не книжкам

Хороший вопрос. Не совсем. Макроскопическим прибором вы меряете наблюдаемую, и получается какая-то случайная величина. Не в бытовом смысле "какая попало", а в математическом: есть набор возможных исходов, и есть распределение вероятностей этих исходов (для непрерывных интервалов - плотность вероятности).

По сути, "волновая функция на пальцах" - это такая же плотность вероятности, только в пространстве. То есть, (координатная) волновая функция задаёт плотность вероятности для измерения таких наблюдаемых величин, как $x,y,z$ частицы.

Разумеется, однократным измерением мы почти ничего не узнаём. Поэтому настоящие квантовые опыты - это многократное повторение опыта с измерением. Например, многократное пропускание электрона через щель (стоит источник электронов, и пускает целый поток частиц на щель, а за щелью - детектор-счётчик). Набирают статистику опытов. Строят график. На графике вырисовывается то самое истинное распределение вероятностей - поначалу с шумами, но чем больше статистика, тем меньше шумы и тем яснее видно распределение. Вот, например, так это выглядит:

Итак, о каком среднем идёт речь? О среднем по многим опытам. Зачем нам вообще среднее? Ведь интересней всё распределение, в нём больше информации. Оказывается, что если мы умеем считать среднее, то подставляя разные величины в качестве наблюдаемой, мы можем найти и всю остальную информацию о распределении. (В теорвере, мы можем найти среднее, дисперсию, и так далее - последовательность моментов распределения - и они вместе взятые зададут функцию распределения, как ряд задаёт функцию.)

Итак, некоторой паре "состояние - наблюдаемая" соответствует некое распределение вероятностей - то, что обозначено $df$ в вашей формуле $\int x\,df.$ Можно было бы его проме́рять, и дело с концом. Но оказывается удобно представить его в виде произведения двух комплексных распределений амплитуды вероятности - или просто амплитуды - типа

$$\int x\,df=\int x\,\psi^*_x \psi^{\vphantom{*}}_x\,dx.$$

Мы воспринимаем $\psi_x$ как координаты некоторого вектора в базисе, связанном с наблюдаемой $x,$ а произведение $x\psi_x$ - как действие диагонального оператора на эти координаты. Если так, то мы можем перевести это всё и в другой базис, но при этом вместо набора просто чисел $x$ у нас получится матрица оператора в другом базисе, или абстрактно - просто оператор. Раз он когда-то был диагональным, то в другом базисе он будет самосопряжённым (эрмитовым), и формула становится

$$\int x\,\psi^*_x \psi^{\vphantom{*}}_x\,dx=\int\psi^*_q\,\Bigl(\int x^{\vphantom{*}}_{q,q'}\psi^{\vphantom{*}}_{q'}\,dq'\Bigr)\,dq=\int\psi^*_q\,\hat{x}\psi^{\vphantom{*}}_q\,dq.$$

И окончательно, безо всякого базиса, то же самое записывается в бра-кет нотации как

$$\ldots=\langle\psi\mid\hat{x}\psi\rangle=\langle\psi\mid x\mid\psi\rangle.$$

Все эти выкладки прозрачны с точки зрения линейной алгебры - или с поправкой на "непрерывность" - функционального анализа.

specialist в сообщении #1365836 писал(а):

Вот у меня вопрос: физических величин много, очень много. Чую я что не для всех есть операторы. Какие величины имеют операторы а какие нет? Вот скажем электрический ток, тот что в амперах, имеет оператор? Просто учебники по КМ наповал страдают однобокостью все рассказывают только про координаты и импульс, а про магнитную проницаемость, а про электрическую, а про напряжение, а про ток, а про давление, вот читатель чуть-чуть знакомый со школьной физикой тут же задаст такой вопрос, вот почему бы авторам книг по КМ сразу бы и не ответить, но ясного ответа я пока не встречал (кое-что было в Иванове, но только очень частично).

В принципе, любые физические величины, придуманные макроскопической физикой, имеют оператор. Просто надо разобраться, как эта величина (часто макроскопическая) записывается через отдельные координаты и импульсы микрочастиц. Например, для тока мы можем понять, что он складывается из скорости зарядов, плотности заряженных частиц, и заряда отдельной частицы: $\mathbf{j}_e=qn\mathbf{v}.$ Произведение $n\mathbf{v}=\mathbf{j}_n$ называется плотностью потока. Рассматривая один-единственный электрон, мы можем найти его плотность потока через волновую функцию (ЛЛ-3 (19.4)):

$$\mathbf{j}_n=\dfrac{i\hbar}{2m}(\Psi\,\nabla\Psi^*-\Psi^*\,\nabla\Psi)\qquad \mathbf{j}_e=q\,\mathbf{j}_n=q\dfrac{i\hbar}{2m}(\Psi\,\nabla\Psi^*-\Psi^*\,\nabla\Psi),$$

но видно, что это выражение искусственно сделано действительным, а если нам нужен оператор, то его можно выразить

$$\widehat{\mathbf{j}}_e=q\,\widehat{\mathbf{j}}_n=q\,\widehat{\mathbf{v}}=q\,\widehat{\mathbf{p}}/m=-\dfrac{i\hbar\,q\,\nabla}{m}.$$

Если надо взять ток многих электронов - то это выражение суммируется по всем электронам.

В общем, КМ посвящена в основном вещам более базового уровня, поэтому координата, импульс, энергия - этого достаточно для упражнений и понимания принципов. Кроме того, многочастичность - не такая простая штука, и с ней предстоит ещё много возни. Не говоря уже про разные усреднения. Но в целом - нет никаких препятствий найти оператор для любой хорошо понятной макроскопической наблюдаемой величины.

Скорее наоборот: если приглядеться, то операторы могут быть намного разнообразнее, чем наблюдаемые величины. В принципе, для каждого "выдуманного" оператора наблюдаемой (то есть, самосопряжённого (эрмитова)) можно построить такой прибор, который будет его наблюдать или как-то косвенно вычислять. Но зачастую это не решённая на практике задача, и скорее такой оператор останется математической абстракцией.

[specialist]

Спасибо, за столь широкий и полный ответ. Действительно, крайне редко заглядываю в 8-9 книгу курса общей физики Фейнмана, просто не умею пользоваться данным курсом, как по мне, он больше направлен на развитие физической интуиции, а у меня с ней всегда проблемы, но это не означает, что я его не прочту. Спасибо за выборку глав в ЛЛ-3, обязательно гляну, может вкатит. Да, с наступившим новым годом!

[pvp]

Рискну посоветовать
J. J. Sakurai, Jim J. Napolitano "Modern Quantum Mechanics (2nd Edition)"

там изложение основано изначально на формализме <бра| |кет> (волновая функция, координата/импульс тоже рассматривается, но исходя из тех же бра и кет). В универе мы, конечно же, изучали КМ по Ландау, но спустя годы, когда я таки начал иметь дело с КМ я понял, что для меня намного естественнее понимать думать о КМ в матричной, дираковской форме.

Основы КМ (без частностей вроде тока, намагниченности и прочих конкретных вещей) имхо неплохо описаны в книжках по квантовой информатике, например, классика Нильсен М., Чанг И. "Квантовые вычисления и квантовая информация".

[Munin]

Со времён Ландау бра-кет обозначения сильно распространились. В некоторых областях (фотоны, квантовая информатика) всё написано практически только в них.