2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про шпур
Сообщение03.01.2019, 07:54 


16/07/14
197
Почему шпур это среднее от наблюдаемой величины?
$  \langle R\rangle=\operatorname{Sp}(\rho R)=
2\sum \limits_{k=1}^\infty \sum \limits_{j=1}^\infty (\sideset{_1}{_{jk}}R (\sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi +  \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi)  -
\sideset{_2}{_{jk}}R (\sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi +  \sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi )) 
 $, где $\sideset{_1}{_{xy}}R $ - вещественная часть компоненты номер "xy" оператора, а $ \sideset{_2}{_{xy}}R$ мнимая часть компоненты номер "xy" оператора. То есть компонента "xy" выглядит так: $(\sideset{_1}{_{xy}}R +i\sideset{_2}{_{xy}}R)  $, а компонента "yx" $(\sideset{_1}{_{yx}}R -i\sideset{_2}{_{yx}}R)  $, причем $\sideset{_1}{_{xy}}R = \sideset{_1}{_{yx}}R$ и $ \sideset{_2}{_{xy}}R =  \sideset{_2}{_{yx}}R $, также $\sideset{_1}{_x}\psi $ - вещественная часть компоненты номер "x" волновой функции, а $\sideset{_2}{_x}\psi $ мнимая часть компоненты номер "x" волновой функции. То есть компонента выглядит так: $(\sideset{_1}{_x}\psi +i\sideset{_2}{_x}\psi)  $.
по расписанному выражению, не ясно, почему шпур среднее.
По подсказке, искал в двухтомнике Рихтмайера(хотя скорее всего я не заметил), но ничего не нашел, также и в справочнике Корна, об этом не написано.
Подскажите почему Шпур это среднее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение03.01.2019, 12:18 


16/07/14
197
Кажется сам нашел в Рихтмайере

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение03.01.2019, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70073
Расскажите, чего нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 00:12 


16/07/14
197
Munin в сообщении #1365686 писал(а):
Расскажите, чего нашли.

Ну грубо, говоря, я не знал что среднее от наблюдаемой величины, на самом деле называется математическим ожиданием, что очень многое поясняет и дает почву для дальнейших размышлений.
В одномерном случае, математическое ожидание выражается так: $ m_x (t)=  \int\limits_{-\infty}^\infty x df(x,t)$, где $ f(x,t)$ - функция распределения. В Рихтмайере, функция распределения определяется кажется вектором, где каждая компонента (которая по совместительству - вероятность) определяется квадратом нормы произведения: $||E_\lambda \varphi||^2=(\varphi,E_\lambda\varphi) $ где $ E_\lambda$ - полный набор ортогональных проекторов (вроде его можно представить квадратной матрицей, правда как её запонять пока непонятно), $\varphi$ - номер состояния. Соответственно математическое ожидание или среднее от наблюдаемой величины, для определенного состояния выражается так: $ m_x (t)=  \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda d||E_\lambda \varphi||^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda d(\varphi,E_\lambda\varphi)$. Далее с помощью чернейшей магии и с комментарием "что в гильбертовом пространстве интегралы типа $ m_\lambda (t)=  \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_{-n}^n f(\lambda)d||E_\lambda \varphi||^2$ сильно сходятся" постулируется что $ m_\lambda (A,t)=  \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda d||A \varphi||^2 = (\varphi,A\varphi)$ где $ A$ - оператор соответствующий наблюдаемой. Вот это я совсем не понимаю. Да и еще, в чем сущность оператора? вот у волновой функции сущность вроде ясна, она описывает поведение микроскопической системы, а что описывает оператор?
Ну это я отвлекся, дальше задается мат. ожидание через матрицу плотности: $ m_\lambda (A,t)= \sum\limits_{k=0}^{k=\infty}p_k(\varphi_k,A\varphi_k)$ и если расписать произведение $  \sum\limits_{k=0}^{k=\infty}(\varphi_k,A\varphi_k)$ покомпонентно, совершенно внезапно, оно будет равно шпуру $  \operatorname{Sp}(\rho A)$.
Вот все что я понял.
Расскажите про сущность оператора?
P.S. технически, ответ на вопрос темы можно записать так: шпур является частным случаем записи математического ожидания величины распределение вероятности которой определено через волновую функцию и оператор физической величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70073
Скажите, а вы ничего не читали по квантовой механике до и помимо Рихтмайера?

-- 04.01.2019 01:23:36 --

specialist в сообщении #1365786 писал(а):
Да и еще, в чем сущность оператора?

Неправильно спрашивать, в чём сущность "оператора вообще".

В КМ используются операторы двух типов: самосопряжённые (в физических учебниках их называют эрмитовы) и унитарные.

Самосопряжённые (операторы наблюдаемых) - задают базис ортогональных собственных векторов (собственных состояний данной наблюдаемой), и для каждого собственного вектора - собственное значение (то значение наблюдаемой, которое соответствует собственному состоянию). С.-с. оператор как бы "взвешивает" собственные состояния. В собственном базисе он записывается в диагональном виде, и в нём формулы становятся особенно прозрачно похожими на $\int x\,df.$

Унитарные операторы используются для вращения пространства или векторов в нём, чтобы привести к какому-то ортогональному базису, или описать унитарную эволюцию (унитарное вращение как непрерывная функция времени $t\in\mathbb{R}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 10:15 


16/07/14
197
Munin в сообщении #1365788 писал(а):
Скажите, а вы ничего не читали по квантовой механике до и помимо Рихтмайера?


Хитрый вопрос. Серьезно я читал, (пытаясь дочитаться, вывести и понять до просветления) М.Г. Иванова (первые шесть глав до дыр зачитаны и половина седьмой, коечто выведено) Как понимать квантовую механику и Блохинцева. Однако как видите, упорное чтение не снимает таких вопросов: "а среднее наблюдаемой, это то что я мерю макроскопическим прибором, или это опять чтото хитрое из внутренностей КМ? а вообще что это за среднее, среднее какое, среднее почему, как его правильно считать?" Как мне кажется, подобные вопросы задаются преподавателям, а не книжкам, поэтому в книгах по КМ так старательно не расписывают выражения, покомпонентно, тем самым показывая самую простую и понятную математическую структуру - расчетную формулу, весь вывод держится на преподавателе и/или на желании читателя разобраться.
Но это такое отступление. почти Все книги которые вообще советовались по КМ на этом форуме, у меня есть в библиотеке и каждая либо пролистана, либо просмотрена, либо вычитаны отдельные главы.
Ну чтоб не быть голословным:
Начнем с лучшей:
Л.Шифф КМ - шикарные главы по квантованию волновых полей, автор прямо хотел пояснить читателю, что же там происходит.
Рихтмайер - ну тут он уже вырвался в топы
Маккейн мат.основы КМ - средней сложности, но нудная, кажется математических подробностей даже слишком много, непонятно на что обратить внимание.
Флюгге задачи по квантовой механике с решениями в двух томах - книга всех времен и народов. Так как автор не поленился показать "как все это решается", много интересных выводов.
Фок основания КМ - крайне хорошо написана первая глава и начало второй, тут тоже автор старается расписывать выражения, хотя и не всегда.
Тарасов КМ - шикарное введение в КМ, но опять ничего не расписано, автор пытается на пальцах пояснить что к чему, но вкус такого пояснения остается синтетическим, вам будто дают йогурт, но при этом запечатанный и без ложки, но в красивой обложке.
Соколов КМ - эпичнейшее начало книги, начать показывать смысл КМ из электродинамики, но дальше все скатывается в стандартное изложение, но есть плюс - автор расписывает выражения, и любит электродинамику и СТО. Книга требует дальнейшего изучения.
Петров(2003) КМ - автор старается все расписать, но книга тонкая и убористая, но интересная, напоминает конспект лекций и семинаров по КМ. Все ограничено по объему, но выведено досконально.
Давыдов КМ - хорошая глава "основные понятия КМ" автор хоть и не расписывает, но старается разжевать словами, что плохо, так как вопрос книге задать можно, но она не ответит, а когда и вывести то не можешь, книга становится множеством интересных слов.
Замураев, Калинина задачи с решениями по КМ, Ну как сказать авторы ни как не Флюгге, книга скорее с ответами чем с решениями, годится для изучения только в тех редких случаях где авторы соизволили написать решение, а не ответ.
Отдельно нужно упомянуть книги по Квантовой Химии - кладезень примеров для КМ, для меня было целым открытием, до дыр зачитал научпоп
Пиментел Г. Спратли как квантовая механика объясняет химическую связь - сколько же с этой книгой встало на свои места, появилась надежда что я когда нибудь обрету понимание основ химии.
Научпоп: Джулиано Препарато реалистическая квантовая физика, опять ничего не расписывается, однако автор старательно разжевывает, на при этом для понимания требуется большой бэкграунд, но не такой как в пути к реальности Р. Пенроуза.
Ну и совсем отдельно нужно упомянуть достойные книги, пока не вкатившие мне:
ЛЛ-3 бодрое начало, но дальше вязнешь, листаешь и понимаешь, раз не прошел введение, дальше на боссах сядешь и не пройдешь никогда, а книга толстая. ЛЛ-3 очень сильно отличается в подаче материала от ЛЛ-1 (как же мне там понравились первые три главы они безупречны) или в ЛЛ-2 (там вся книга интересная, чтение вызывает желание дальнейшего чтения), а в ЛЛ-3 ощущение постигания не КМ и вселенной как в первых двух книгах, а атомной механики и частных вопросов с ней связанных, с другой стороны возможно для специалиста это бесценная книга.
Мессиа КМ - самым интересным мне показалось оглавление, всего так много, что не знаешь где именно искать ответы на вопросы. Книга может и хорошая, но для постепенного чтения, и выведения того что там происходит, но судя по формулам всех полей книги не хватит для выведения происходящего.
ПАМ Дирак КМ - опять бракеты и внутренности их автора не интересуют, только формализм только хардкор, читатель как нибудь сам разберется. Книга не для читателя незнакомого с КМ, читатель должен уже хорошо ориентироваться в мат.аппарате, в КМ итд. Эта книга нужна уже для немного разобравшегося во всем, что бы добить малые неясности и наставить на путь истинный. Когда я её начинал читать, я от КМ знал название "квантовая механика" и книга вызвала резкое отторжение и диссонанс ибо написал Дирак, и это учебник чем то там рекомендованный для студентов и распиаренный, а не читабельный на начальном уровне. Кстати вот заметное отличие от ЛЛ-3, ЛЛ-3 создан для введения низкоуровневого юзера в КМ, пусть с поддержкой преподавателя, пусть плохо, но создана и даже работает. Скорее всего я перечитаю Дирака, ибо он уже не вызывает отторжения.

Отдельным слоем идут книги по КЭД и КТП, там есть хорошие и интересные, но скилла для их полноценного чтения не хватает.
Кроме этих книг есть еще много книг которые я не упомянул, они либо сложные, либо авторы вообще не задумывались над чтением собственных книг, либо авторы просто списали у кого то, перефразировав и ничего не добавив, либо я ничего не понял.

Вот у меня вопрос: физических величин много, очень много. Чую я что не для всех есть операторы. Какие величины имеют операторы а какие нет? Вот скажем электрический ток, тот что в амперах, имеет оператор? Просто учебники по КМ наповал страдают однобокостью все рассказывают только про координаты и импульс, а про магнитную проницаемость, а про электрическую, а про напряжение, а про ток, а про давление, вот читатель чуть-чуть знакомый со школьной физикой тут же задаст такой вопрос, вот почему бы авторам книг по КМ сразу бы и не ответить, но ясного ответа я пока не встречал (кое-что было в Иванове, но только очень частично).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3779
ФТИ им. Иоффе СПб
specialist в сообщении #1365836 писал(а):
почти Все книги которые вообще советовались по КМ на этом форуме, у меня есть в библиотеке и каждая либо пролистана, либо просмотрена
Посмотрите Фаддеева с Якубовским (Квантовая механика для математиков, или как-то похоже). Вам должно понравиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 13:16 


16/07/14
197
Спасибо, мне уже известна эта книга (лекции по КМ для студентов-математиков), хорошая, одновременно не слишком сложная, но подробная. На глаза не попалась, поэтому и в список не попала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70073
В защиту ЛЛ-3: книга толстая, но бо́льшую часть её толщины составляют углубления и приложения. Собственно "КМ и вселенной" там посвящены первые 2-3 главы, плюс обязательно 7-я (квазиклассика) и 9-я (тождественные частицы). Вот их можно "зачитывать до дыр до просветления". Немного несовременный язык и недоосвещены пара тёмных углов. (Та же матрица плотности, увы.)

Ещё в вашем списке нет Фейнмановских лекций по физике, вып. 8-9. Раз вы так широко охватили литературу, можно было бы и туда заглянуть.

specialist в сообщении #1365836 писал(а):
Однако как видите, упорное чтение не снимает таких вопросов: "а среднее наблюдаемой, это то что я мерю макроскопическим прибором, или это опять чтото хитрое из внутренностей КМ? а вообще что это за среднее, среднее какое, среднее почему, как его правильно считать?" Как мне кажется, подобные вопросы задаются преподавателям, а не книжкам

Хороший вопрос. Не совсем. Макроскопическим прибором вы меряете наблюдаемую, и получается какая-то случайная величина. Не в бытовом смысле "какая попало", а в математическом: есть набор возможных исходов, и есть распределение вероятностей этих исходов (для непрерывных интервалов - плотность вероятности).

По сути, "волновая функция на пальцах" - это такая же плотность вероятности, только в пространстве. То есть, (координатная) волновая функция задаёт плотность вероятности для измерения таких наблюдаемых величин, как $x,y,z$ частицы.

Разумеется, однократным измерением мы почти ничего не узнаём. Поэтому настоящие квантовые опыты - это многократное повторение опыта с измерением. Например, многократное пропускание электрона через щель (стоит источник электронов, и пускает целый поток частиц на щель, а за щелью - детектор-счётчик). Набирают статистику опытов. Строят график. На графике вырисовывается то самое истинное распределение вероятностей - поначалу с шумами, но чем больше статистика, тем меньше шумы и тем яснее видно распределение. Вот, например, так это выглядит:
    Изображение

Итак, о каком среднем идёт речь? О среднем по многим опытам. Зачем нам вообще среднее? Ведь интересней всё распределение, в нём больше информации. Оказывается, что если мы умеем считать среднее, то подставляя разные величины в качестве наблюдаемой, мы можем найти и всю остальную информацию о распределении. (В теорвере, мы можем найти среднее, дисперсию, и так далее - последовательность моментов распределения - и они вместе взятые зададут функцию распределения, как ряд задаёт функцию.)

Итак, некоторой паре "состояние - наблюдаемая" соответствует некое распределение вероятностей - то, что обозначено $df$ в вашей формуле $\int x\,df.$ Можно было бы его проме́рять, и дело с концом. Но оказывается удобно представить его в виде произведения двух комплексных распределений амплитуды вероятности - или просто амплитуды - типа
$$\int x\,df=\int x\,\psi^*_x \psi^{\vphantom{*}}_x\,dx.$$ Мы воспринимаем $\psi_x$ как координаты некоторого вектора в базисе, связанном с наблюдаемой $x,$ а произведение $x\psi_x$ - как действие диагонального оператора на эти координаты. Если так, то мы можем перевести это всё и в другой базис, но при этом вместо набора просто чисел $x$ у нас получится матрица оператора в другом базисе, или абстрактно - просто оператор. Раз он когда-то был диагональным, то в другом базисе он будет самосопряжённым (эрмитовым), и формула становится
$$\int x\,\psi^*_x \psi^{\vphantom{*}}_x\,dx=\int\psi^*_q\,\Bigl(\int x^{\vphantom{*}}_{q,q'}\psi^{\vphantom{*}}_{q'}\,dq'\Bigr)\,dq=\int\psi^*_q\,\hat{x}\psi^{\vphantom{*}}_q\,dq.$$ И окончательно, безо всякого базиса, то же самое записывается в бра-кет нотации как
$$\ldots=\langle\psi\mid\hat{x}\psi\rangle=\langle\psi\mid x\mid\psi\rangle.$$ Все эти выкладки прозрачны с точки зрения линейной алгебры - или с поправкой на "непрерывность" - функционального анализа.

specialist в сообщении #1365836 писал(а):
Вот у меня вопрос: физических величин много, очень много. Чую я что не для всех есть операторы. Какие величины имеют операторы а какие нет? Вот скажем электрический ток, тот что в амперах, имеет оператор? Просто учебники по КМ наповал страдают однобокостью все рассказывают только про координаты и импульс, а про магнитную проницаемость, а про электрическую, а про напряжение, а про ток, а про давление, вот читатель чуть-чуть знакомый со школьной физикой тут же задаст такой вопрос, вот почему бы авторам книг по КМ сразу бы и не ответить, но ясного ответа я пока не встречал (кое-что было в Иванове, но только очень частично).

В принципе, любые физические величины, придуманные макроскопической физикой, имеют оператор. Просто надо разобраться, как эта величина (часто макроскопическая) записывается через отдельные координаты и импульсы микрочастиц. Например, для тока мы можем понять, что он складывается из скорости зарядов, плотности заряженных частиц, и заряда отдельной частицы: $\mathbf{j}_e=qn\mathbf{v}.$ Произведение $n\mathbf{v}=\mathbf{j}_n$ называется плотностью потока. Рассматривая один-единственный электрон, мы можем найти его плотность потока через волновую функцию (ЛЛ-3 (19.4)):
$$\mathbf{j}_n=\dfrac{i\hbar}{2m}(\Psi\,\nabla\Psi^*-\Psi^*\,\nabla\Psi)\qquad \mathbf{j}_e=q\,\mathbf{j}_n=q\dfrac{i\hbar}{2m}(\Psi\,\nabla\Psi^*-\Psi^*\,\nabla\Psi),$$ но видно, что это выражение искусственно сделано действительным, а если нам нужен оператор, то его можно выразить
$$\widehat{\mathbf{j}}_e=q\,\widehat{\mathbf{j}}_n=q\,\widehat{\mathbf{v}}=q\,\widehat{\mathbf{p}}/m=-\dfrac{i\hbar\,q\,\nabla}{m}.$$ Если надо взять ток многих электронов - то это выражение суммируется по всем электронам.

В общем, КМ посвящена в основном вещам более базового уровня, поэтому координата, импульс, энергия - этого достаточно для упражнений и понимания принципов. Кроме того, многочастичность - не такая простая штука, и с ней предстоит ещё много возни. Не говоря уже про разные усреднения. Но в целом - нет никаких препятствий найти оператор для любой хорошо понятной макроскопической наблюдаемой величины.

Скорее наоборот: если приглядеться, то операторы могут быть намного разнообразнее, чем наблюдаемые величины. В принципе, для каждого "выдуманного" оператора наблюдаемой (то есть, самосопряжённого (эрмитова)) можно построить такой прибор, который будет его наблюдать или как-то косвенно вычислять. Но зачастую это не решённая на практике задача, и скорее такой оператор останется математической абстракцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение04.01.2019, 19:04 


16/07/14
197
Спасибо, за столь широкий и полный ответ. Действительно, крайне редко заглядываю в 8-9 книгу курса общей физики Фейнмана, просто не умею пользоваться данным курсом, как по мне, он больше направлен на развитие физической интуиции, а у меня с ней всегда проблемы, но это не означает, что я его не прочту. Спасибо за выборку глав в ЛЛ-3, обязательно гляну, может вкатит. Да, с наступившим новым годом!

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение08.01.2019, 03:15 


17/01/17
20
Рискну посоветовать
J. J. Sakurai, Jim J. Napolitano "Modern Quantum Mechanics (2nd Edition)"

там изложение основано изначально на формализме <бра| |кет> (волновая функция, координата/импульс тоже рассматривается, но исходя из тех же бра и кет). В универе мы, конечно же, изучали КМ по Ландау, но спустя годы, когда я таки начал иметь дело с КМ я понял, что для меня намного естественнее понимать думать о КМ в матричной, дираковской форме.

Основы КМ (без частностей вроде тока, намагниченности и прочих конкретных вещей) имхо неплохо описаны в книжках по квантовой информатике, например, классика Нильсен М., Чанг И. "Квантовые вычисления и квантовая информация".

 Профиль  
                  
 
 Re: Про шпур
Сообщение08.01.2019, 03:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70073
Со времён Ландау бра-кет обозначения сильно распространились. В некоторых областях (фотоны, квантовая информатика) всё написано практически только в них.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group