Уравнение мат. маятника

[Rusit8800]

Решил попробовать "честно" и "в лоб" получить уравнение математического маятника в общем случае, пользуясь только 2 законом Ньютона и не пользуясь дополнительными соображениями, например тем фактом, что только тангенциальная составляющая ${F_\tau }$ меняет модуль скорости маятника. Однако в результате таких операций я получаю уравнение

$$\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{t^2}}} - {\omega ^2}\sin \varphi = 0$$

и откуда там $-$ , а не $+$ - не ясно.

Запишем 2 закон Ньютона:

$$m\bar g + \overline T = m\overline {{a_n}} + m\overline {{a_\tau }} $$

и спроецируем на оси:

$$\[\begin{gathered} {O_x}{\text{:}}mg - T\cos \varphi = - m{a_n}\cos \varphi + m{a_\tau }\sin \varphi \hfill \\ {O_x}{\text{:}} - T\sin \varphi = - m{a_n}\sin \varphi - m{a_\tau }\cos \varphi \hfill \\ \end{gathered} \]$$

$$\[\left\{ \begin{gathered} T = m{a_n} + m{a_\tau }\cot \varphi \hfill \\ T - \frac{{mg}}{{\cos \varphi }} = m{a_n} - m{a_\tau }\tan \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Учитывая, что $\[{a_n} = {{\dot \varphi }^2}l,{a_\tau } = \ddot \varphi l\]$, имеем:

$$\[\ddot \varphi = \frac{g}{l}\sin \varphi \]$$

[Guvertod]

У вас положительное направление угла и нарисованного ускорения $a_{\tau}$ противоположны, должно быть $a_{\tau}=-l^2\ddot{\varphi}$, отсюда и минус.

[Igrickiy(senior)]

Rusit8800
Вопрос: а зачем выбрана такая неудобная система координат?

[Rusit8800]

Igrickiy(senior) в сообщении #1365403 писал(а):

Вопрос: а зачем выбрана такая неудобная система координат?

Я побоялся брать нИСО, связанную с осью стержня, поскольку я не достаточно хорошо изучил векторную алгебру, чтобы пользоваться силами инерции - лучше пойти более прямым и надежным путем.

-- 02.01.2019, 17:05 --

Guvertod в сообщении #1365401 писал(а):

У вас положительное направление угла и нарисованного ускорения $a_{\tau}$ противоположны

А как у $a_{\tau}$ определяется направление? Я ведь эту величину рассматривал как модуль тангенциальной составляющей и вообще подразумевал, что $\[\ddot \varphi l = \left| {\ddot \varphi } \right|l\]$, то есть это величина заведомо положительная. Ну а направление есть у проекции $\[\overline {{a_\tau }} \]$, которая уже входит модуль $a_{\tau}$ вектора $\[\overline {{a_\tau }} \]$ с тригонометрической функцией и соответствующим знаком.

[Igrickiy(senior)]

Rusit8800 в сообщении #1365404 писал(а):

Я побоялся брать нИСО, связанную с осью стержня, поскольку я не достаточно хорошо изучил векторную алгебру, чтобы пользоваться силами инерции - лучше пойти более прямым и надежным путем.

Никакой экзотики! Никаких неинерциальных систем! Просто полярная с другими ортами.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1365404 писал(а):

А как у $a_{\tau}$ определяется направление?

Попытайтесь рассуждать "на пальцах". Допустим, у вас нет никаких сил, просто точка находится на окружности с неким $\varphi,$ как указано на рисунке, и допустим, что этот угол увеличивается, ускоряясь (или ускоряется с нулевой начальной скорости). Куда будет направлено тангенциальное ускорение в таком случае? А куда направлен $\overline{a}_\tau$ у вас на рисунке? Вот исходя из этого и получится, что знаки $\ddot{\varphi}$ и $a_\tau$ противоположны.

[Igrickiy(senior)]

Маленькая справка.

Радиус-вектор точки $M$ есть $\vec{R_M}=\rho\vec{e_\rho}$
Орты полярной системы координат в точке $M$с полярными координатами $\rho$ и $\varphi$ есть:
$\vec{e_\rho}$ и $\vec{e_\varphi}$
Отры $\vec{e_\rho}$ и $\vec{e_\varphi}$ удобно и просто выражаются через "классические" орты $\vec{i}$ и $\vec{j}$
$\vec{e_\rho}=\cos\varphi\,\vec{i}+\sin\varphi\,\vec{j}$
$\vec{e_\varphi}=-\sin\varphi\,\vec{i}+\cos\varphi\,\vec{j}$
Отсюда дифференцированием по времени непосредственно получаем:
$\frac{\vec{e_\rho}}{dt}= \,\vec{e_\varphi}\frac{d\varphi}{dt}$
$\frac{\vec{e_\varphi}}{dt}= -\,\vec{e_\rho}\frac{d\varphi}{dt}$
и повторным дифференцированием получаем выражения для вторых производных:
$\ddot{\vec{e_\rho}}=\,-\vec{e_\rho}(\dot\varphi)^2+\vec{e_\varphi}\,\ddot\varphi$
$\ddot{\vec{e_\varphi}}=\,-\vec{e_\varphi}(\dot\varphi)^2-\vec{e_\rho}\,\ddot\varphi$
Отсюда:
$\dot{\vec{R_M}}=\dot\rho\,\vec{e_\rho}+\rho\frac{d\varphi}{dt}\frac{\vec{e_\rho}}{dt}=\dot\rho\,\vec{e_\rho}+\rho\frac{d\varphi}{dt}\,\vec{e_\varphi}$
Без подробностей:
$\ddot{\vec{R_M}}=(\ddot{\rho}-\rho(\dot{\varphi})^2)\vec{e_\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}\vec{e_\varphi}$
Очень полезные формулы.
Не помешает посмотреть и поупражняться с формулами Френе и репером Френе-Серре.

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1365419 писал(а):

Куда будет направлено тангенциальное ускорение в таком случае? А куда направлен $\overline{a}_\tau$ у вас на рисунке? Вот исходя из этого и получится, что знаки $\ddot{\varphi}$ и $a_\tau$ противоположны.

Так то понятно, что физически увеличение угла вправо (как на рисунке) соответствует противоположному (справа налево) направлению $\overline{a}_\tau$. Я не могу понять, как но настоящему определено математически $\overline{a}_\tau$. Я думал, что это модуль вектора $\overline{a}_\tau$ - величина строго неотрицательная, а оказывается это просто скаляр, как сила тока в законах Кирхгофа, которая может принимать и отрицательные значения. Покуда мне не будет полностью понятна строгая математическая модель происходящего, я не буду считать понятным уравнение

Guvertod в сообщении #1365401 писал(а):

$a_{\tau}=-l^2\ddot{\varphi}$

- оно должно быть выведено исключительно математически.

Igrickiy(senior) в сообщении #1365479 писал(а):

Очень полезные формулы.
Не помешает посмотреть и поупражняться с формулами Френе и репером Френе-Серре.

За это благодарен. Надеюсь именно эти формулы и направлены на то, чтобы описать математическую составляющую задачи, приводящей к результату $a_{\tau}=-l^2\ddot{\varphi}$ строгим путем. Завтра с утречка разберусь со всем этим.

[Munin]

Rusit8800
Кстати, попробуйте спроецировать на оси повёрнутой системы координат: одна ось вдоль нити, а другая поперёк.

-- 02.01.2019 23:22:24 --

Rusit8800 в сообщении #1365510 писал(а):

Я не могу понять, как но настоящему определено математически $\overline{a}_\tau$.

Ну зачем вам это? Можете пойти посмотреть в справочнике (репер Френе), но там длинное и скучное занудство. А по сути, сказано ровно то, что мы и так знаем.

Rusit8800 в сообщении #1365510 писал(а):

Покуда мне не будет полностью понятна строгая математическая модель происходящего

Вот многие так говорят, а на самом деле подразумевают что-то другое, а не строгую математическую модель.

Можете вообще не вводить никаких векторов $\overline{a}_n,\overline{a}_\tau,$ в которых вы путаетесь, а честно посчитать $\ddot{x},\ddot{y},$ и выразить их через $\ddot{r},\ddot{varphi}.$ Уравнение маятника полу́чите. Всё равно вы его решать не умеете, так что непонятно, зачем.

[Rusit8800]

Итак, за сегодня я разобрался с репером Френе и справкой Igrickiy(senior). Не знаю, насколько уместно применение формул Френе в данном случае с учетом того, что подбирать натуральные параметризации довольно геморно, но главное то, что из выражения $\[\mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$ получается результат, противоположный ожидаемому. Распишем $\[\mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$ до конца:

$$\[\mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} = (\ddot \rho - \rho {(\dot \varphi )^2})\overrightarrow {{e_\rho }} + \frac{1}{\rho }\frac{{d({\rho ^2}\dot \varphi )}}{{dt}}\overrightarrow {{e_\varphi }} = (\ddot \rho - \rho {(\dot \varphi )^2})\overrightarrow {{e_\rho }} + \left( {2\dot \rho \dot \varphi + \rho \ddot \varphi } \right)\overrightarrow {{e_\varphi }} \]$$

В нашем случае $\[\rho = l = \operatorname{const} \]$, так что

$$\[\overrightarrow a = \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} = - l{(\dot \varphi )^2}\overrightarrow {{e_\rho }} + l\ddot \varphi \overrightarrow {{e_\varphi }} = {a_n}\overrightarrow {{e_\rho }} + {a_\tau }\overrightarrow {{e_\varphi }} \]$$

то есть знак "$-$" стоит в выражении для $a_n$, но не для $\[{a_\tau }\]$.
Тут, судя по всему, дело в том, что

$$\[\overrightarrow a = - \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$$

Но почему?

[Igrickiy(senior)]

Rusit8800 в сообщении #1365760 писал(а):

Тут, судя по всему, дело в том, что

$$\[\overrightarrow a = - \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$$

Простите, а это открытие ещё откуда?

-- 03.01.2019, 22:24 --

Rusit8800 в сообщении #1365760 писал(а):

В нашем случае $\[\rho = l = \operatorname{const} \]$, так что

$$\[\overrightarrow a = \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} = - l{(\dot \varphi )^2}\overrightarrow {{e_\rho }} + l\ddot \varphi \overrightarrow {{e_\varphi }} = {a_n}\overrightarrow {{e_\rho }} + {a_\tau }\overrightarrow {{e_\varphi }} \]$$

то есть знак "$-$" стоит в выражении для $a_n$, но не для $\[{a_\tau }\]$.

Знак минус перед радиальным ортом убедительно показывает, что центростремительное ускорение направлено против радиального орта, то есть по нормали к центру кривизны линии (чем и полезны формулы Френе). Вот и весь смысл.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1365760 писал(а):

Не знаю, насколько уместно применение формул Френе в данном случае с учетом того, что подбирать натуральные параметризации довольно геморно

В данном случае натуральная параметризация как раз очень проста: натуральный параметр есть пройденная длина дуги, и таким образом пропорционален $\varphi$ (не запутаться в знаке и константе).

[Rusit8800]

Igrickiy(senior) в сообщении #1365764 писал(а):

Простите, а это открытие ещё откуда?

Попытка подгона. Неудачная.

Igrickiy(senior) в сообщении #1365764 писал(а):

Знак минус перед радиальным ортом убедительно показывает, что центростремительное ускорение направлено против радиального орта, то есть по нормали к центру кривизны линии (чем и полезны формулы Френе). Вот и весь смысл.

Это действительно логично, и это доказывает несостоятельность подгона. Но что делать тогда со знаком "$-$" в выражении $a_{\tau}=-l\ddot{\varphi}$? Как его получить из ваших формул, ведь оттуда выходит знак "$+$"?

Munin в сообщении #1365768 писал(а):

В данном случае натуральная параметризация как раз очень проста: натуральный параметр есть пройденная длина дуги, и таким образом пропорционален $\varphi$ (не запутаться в знаке и константе).

Для окружности действительно все не сложно. Я до этого, просто, пытался натурально параметризовать винтовую линию в качестве упражнения - не удалось.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1365778 писал(а):

Я до этого, просто, пытался натурально параметризовать винтовую линию в качестве упражнения - не удалось.

Которую винтовую? С постоянным радиусом и шагом? Тоже очень просто.

Rusit8800 в сообщении #1365778 писал(а):

Но что делать тогда со знаком "$-$" в выражении $a_{\tau}=-l\ddot{\varphi}$? Как его получить из ваших формул, ведь оттуда выходит знак "$+$"?

Повторяю ещё раз: забейте на выражение $a_\tau,$ которого вы не понимаете. Пользуйтесь тем, что понимаете. Все знаки сойдутся.

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1365783 писал(а):

Повторяю ещё раз: забейте на выражение $a_\tau,$ которого вы не понимаете. Пользуйтесь тем, что понимаете. Все знаки сойдутся.

Но я ведь вчера весь день с этим разбирался. Неужто стоит просто бросить начатое?

-- 04.01.2019, 10:28 --

Munin в сообщении #1365513 писал(а):

Можете вообще не вводить никаких векторов $\overline{a}_n,\overline{a}_\tau,$ в которых вы путаетесь, а честно посчитать $\ddot{x},\ddot{y},$ и выразить их через $\ddot{r},\ddot{varphi}.$

Остается тогда только это.