2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 16:19 
Аватара пользователя


15/11/15
1242
Москва
Решил попробовать "честно" и "в лоб" получить уравнение математического маятника в общем случае, пользуясь только 2 законом Ньютона и не пользуясь дополнительными соображениями, например тем фактом, что только тангенциальная составляющая ${F_\tau }$ меняет модуль скорости маятника. Однако в результате таких операций я получаю уравнение
$$\frac{{{d^2}\varphi }}{{d{t^2}}} - {\omega ^2}\sin \varphi  = 0$$
и откуда там $-$ , а не $+$ - не ясно.
Изображение
Запишем 2 закон Ньютона:
$$m\bar g + \overline T  = m\overline {{a_n}}  + m\overline {{a_\tau }} $$
и спроецируем на оси:
$$\[\begin{gathered}
  {O_x}{\text{:}}mg - T\cos \varphi  =  - m{a_n}\cos \varphi  + m{a_\tau }\sin \varphi  \hfill \\
  {O_x}{\text{:}} - T\sin \varphi  =  - m{a_n}\sin \varphi  - m{a_\tau }\cos \varphi  \hfill \\ 
\end{gathered} \]$$
$$\[\left\{ \begin{gathered}
  T = m{a_n} + m{a_\tau }\cot \varphi  \hfill \\
  T - \frac{{mg}}{{\cos \varphi }} = m{a_n} - m{a_\tau }\tan \varphi  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$$
Учитывая, что $\[{a_n} = {{\dot \varphi }^2}l,{a_\tau } = \ddot \varphi l\]$, имеем:
$$\[\ddot \varphi  = \frac{g}{l}\sin \varphi \]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 16:27 
Аватара пользователя


20/07/18
55
У вас положительное направление угла и нарисованного ускорения $a_{\tau}$ противоположны, должно быть $a_{\tau}=-l^2\ddot{\varphi}$, отсюда и минус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 16:46 
Аватара пользователя


15/12/18
146
По слухам из Москвы
Rusit8800
Вопрос: а зачем выбрана такая неудобная система координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 16:57 
Аватара пользователя


15/11/15
1242
Москва
Igrickiy(senior) в сообщении #1365403 писал(а):
Вопрос: а зачем выбрана такая неудобная система координат?

Я побоялся брать нИСО, связанную с осью стержня, поскольку я не достаточно хорошо изучил векторную алгебру, чтобы пользоваться силами инерции - лучше пойти более прямым и надежным путем.

-- 02.01.2019, 17:05 --

Guvertod в сообщении #1365401 писал(а):
У вас положительное направление угла и нарисованного ускорения $a_{\tau}$ противоположны

А как у $a_{\tau}$ определяется направление? Я ведь эту величину рассматривал как модуль тангенциальной составляющей и вообще подразумевал, что $\[\ddot \varphi l = \left| {\ddot \varphi } \right|l\]$, то есть это величина заведомо положительная. Ну а направление есть у проекции $\[\overline {{a_\tau }} \]$, которая уже входит модуль $a_{\tau}$ вектора $\[\overline {{a_\tau }} \]$ с тригонометрической функцией и соответствующим знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 18:08 
Аватара пользователя


15/12/18
146
По слухам из Москвы
Rusit8800 в сообщении #1365404 писал(а):
Я побоялся брать нИСО, связанную с осью стержня, поскольку я не достаточно хорошо изучил векторную алгебру, чтобы пользоваться силами инерции - лучше пойти более прямым и надежным путем.

Никакой экзотики! Никаких неинерциальных систем! Просто полярная с другими ортами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67258
Rusit8800 в сообщении #1365404 писал(а):
А как у $a_{\tau}$ определяется направление?

Попытайтесь рассуждать "на пальцах". Допустим, у вас нет никаких сил, просто точка находится на окружности с неким $\varphi,$ как указано на рисунке, и допустим, что этот угол увеличивается, ускоряясь (или ускоряется с нулевой начальной скорости). Куда будет направлено тангенциальное ускорение в таком случае? А куда направлен $\overline{a}_\tau$ у вас на рисунке? Вот исходя из этого и получится, что знаки $\ddot{\varphi}$ и $a_\tau$ противоположны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 22:00 
Аватара пользователя


15/12/18
146
По слухам из Москвы
Маленькая справка.
Изображение
Радиус-вектор точки $M$ есть $\vec{R_M}=\rho\vec{e_\rho}$
Орты полярной системы координат в точке $M$с полярными координатами $\rho$ и $\varphi$ есть:
$\vec{e_\rho}$ и $\vec{e_\varphi}$
Отры $\vec{e_\rho}$ и $\vec{e_\varphi}$ удобно и просто выражаются через "классические" орты $\vec{i}$ и $\vec{j}$
$\vec{e_\rho}=\cos\varphi\,\vec{i}+\sin\varphi\,\vec{j}$
$\vec{e_\varphi}=-\sin\varphi\,\vec{i}+\cos\varphi\,\vec{j}$
Отсюда дифференцированием по времени непосредственно получаем:
$\frac{\vec{e_\rho}}{dt}= \,\vec{e_\varphi}\frac{d\varphi}{dt}$
$\frac{\vec{e_\varphi}}{dt}= -\,\vec{e_\rho}\frac{d\varphi}{dt}$
и повторным дифференцированием получаем выражения для вторых производных:
$\ddot{\vec{e_\rho}}=\,-\vec{e_\rho}(\dot\varphi)^2+\vec{e_\varphi}\,\ddot\varphi$
$\ddot{\vec{e_\varphi}}=\,-\vec{e_\varphi}(\dot\varphi)^2-\vec{e_\rho}\,\ddot\varphi$
Отсюда:
$\dot{\vec{R_M}}=\dot\rho\,\vec{e_\rho}+\rho\frac{d\varphi}{dt}\frac{\vec{e_\rho}}{dt}=\dot\rho\,\vec{e_\rho}+\rho\frac{d\varphi}{dt}\,\vec{e_\varphi}$
Без подробностей:
$\ddot{\vec{R_M}}=(\ddot{\rho}-\rho(\dot{\varphi})^2)\vec{e_\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}\vec{e_\varphi}$
Очень полезные формулы.
Не помешает посмотреть и поупражняться с формулами Френе и репером Френе-Серре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 23:06 
Аватара пользователя


15/11/15
1242
Москва
Munin в сообщении #1365419 писал(а):
Куда будет направлено тангенциальное ускорение в таком случае? А куда направлен $\overline{a}_\tau$ у вас на рисунке? Вот исходя из этого и получится, что знаки $\ddot{\varphi}$ и $a_\tau$ противоположны.

Так то понятно, что физически увеличение угла вправо (как на рисунке) соответствует противоположному (справа налево) направлению $\overline{a}_\tau$. Я не могу понять, как но настоящему определено математически $\overline{a}_\tau$. Я думал, что это модуль вектора $\overline{a}_\tau$ - величина строго неотрицательная, а оказывается это просто скаляр, как сила тока в законах Кирхгофа, которая может принимать и отрицательные значения. Покуда мне не будет полностью понятна строгая математическая модель происходящего, я не буду считать понятным уравнение
Guvertod в сообщении #1365401 писал(а):
$a_{\tau}=-l^2\ddot{\varphi}$
- оно должно быть выведено исключительно математически.
Igrickiy(senior) в сообщении #1365479 писал(а):
Очень полезные формулы.
Не помешает посмотреть и поупражняться с формулами Френе и репером Френе-Серре.

За это благодарен. Надеюсь именно эти формулы и направлены на то, чтобы описать математическую составляющую задачи, приводящей к результату $a_{\tau}=-l^2\ddot{\varphi}$ строгим путем. Завтра с утречка разберусь со всем этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение02.01.2019, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67258
Rusit8800
Кстати, попробуйте спроецировать на оси повёрнутой системы координат: одна ось вдоль нити, а другая поперёк.

-- 02.01.2019 23:22:24 --

Rusit8800 в сообщении #1365510 писал(а):
Я не могу понять, как но настоящему определено математически $\overline{a}_\tau$.

Ну зачем вам это? Можете пойти посмотреть в справочнике (репер Френе), но там длинное и скучное занудство. А по сути, сказано ровно то, что мы и так знаем.

Rusit8800 в сообщении #1365510 писал(а):
Покуда мне не будет полностью понятна строгая математическая модель происходящего

Вот многие так говорят, а на самом деле подразумевают что-то другое, а не строгую математическую модель.

Можете вообще не вводить никаких векторов $\overline{a}_n,\overline{a}_\tau,$ в которых вы путаетесь, а честно посчитать $\ddot{x},\ddot{y},$ и выразить их через $\ddot{r},\ddot{varphi}.$ Уравнение маятника полу́чите. Всё равно вы его решать не умеете, так что непонятно, зачем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение03.01.2019, 21:51 
Аватара пользователя


15/11/15
1242
Москва
Итак, за сегодня я разобрался с репером Френе и справкой Igrickiy(senior). Не знаю, насколько уместно применение формул Френе в данном случае с учетом того, что подбирать натуральные параметризации довольно геморно, но главное то, что из выражения $\[\mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$ получается результат, противоположный ожидаемому. Распишем $\[\mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$ до конца:
$$\[\mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..}  = (\ddot \rho  - \rho {(\dot \varphi )^2})\overrightarrow {{e_\rho }}  + \frac{1}{\rho }\frac{{d({\rho ^2}\dot \varphi )}}{{dt}}\overrightarrow {{e_\varphi }}  = (\ddot \rho  - \rho {(\dot \varphi )^2})\overrightarrow {{e_\rho }}  + \left( {2\dot \rho \dot \varphi  + \rho \ddot \varphi } \right)\overrightarrow {{e_\varphi }} \]$$
В нашем случае $\[\rho  = l = \operatorname{const} \]$, так что
$$\[\overrightarrow a  = \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..}  =  - l{(\dot \varphi )^2}\overrightarrow {{e_\rho }}  + l\ddot \varphi \overrightarrow {{e_\varphi }}  = {a_n}\overrightarrow {{e_\rho }}  + {a_\tau }\overrightarrow {{e_\varphi }} \]$$
то есть знак "$-$" стоит в выражении для $a_n$, но не для $\[{a_\tau }\]$.
Тут, судя по всему, дело в том, что $$\[\overrightarrow a  =  - \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$$
Но почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение03.01.2019, 22:20 
Аватара пользователя


15/12/18
146
По слухам из Москвы
Rusit8800 в сообщении #1365760 писал(а):
Тут, судя по всему, дело в том, что $$\[\overrightarrow a  =  - \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..} \]$$

Простите, а это открытие ещё откуда?

-- 03.01.2019, 22:24 --

Rusit8800 в сообщении #1365760 писал(а):
В нашем случае $\[\rho  = l = \operatorname{const} \]$, так что
$$\[\overrightarrow a  = \mathop {\overrightarrow {{R_M}} }\limits^{..}  =  - l{(\dot \varphi )^2}\overrightarrow {{e_\rho }}  + l\ddot \varphi \overrightarrow {{e_\varphi }}  = {a_n}\overrightarrow {{e_\rho }}  + {a_\tau }\overrightarrow {{e_\varphi }} \]$$
то есть знак "$-$" стоит в выражении для $a_n$, но не для $\[{a_\tau }\]$.

Знак минус перед радиальным ортом убедительно показывает, что центростремительное ускорение направлено против радиального орта, то есть по нормали к центру кривизны линии (чем и полезны формулы Френе). Вот и весь смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение03.01.2019, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67258
Rusit8800 в сообщении #1365760 писал(а):
Не знаю, насколько уместно применение формул Френе в данном случае с учетом того, что подбирать натуральные параметризации довольно геморно

В данном случае натуральная параметризация как раз очень проста: натуральный параметр есть пройденная длина дуги, и таким образом пропорционален $\varphi$ (не запутаться в знаке и константе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение03.01.2019, 23:24 
Аватара пользователя


15/11/15
1242
Москва
Igrickiy(senior) в сообщении #1365764 писал(а):
Простите, а это открытие ещё откуда?

Попытка подгона. Неудачная.
Igrickiy(senior) в сообщении #1365764 писал(а):
Знак минус перед радиальным ортом убедительно показывает, что центростремительное ускорение направлено против радиального орта, то есть по нормали к центру кривизны линии (чем и полезны формулы Френе). Вот и весь смысл.

Это действительно логично, и это доказывает несостоятельность подгона. Но что делать тогда со знаком "$-$" в выражении $a_{\tau}=-l\ddot{\varphi}$? Как его получить из ваших формул, ведь оттуда выходит знак "$+$"?
Munin в сообщении #1365768 писал(а):
В данном случае натуральная параметризация как раз очень проста: натуральный параметр есть пройденная длина дуги, и таким образом пропорционален $\varphi$ (не запутаться в знаке и константе).

Для окружности действительно все не сложно. Я до этого, просто, пытался натурально параметризовать винтовую линию в качестве упражнения - не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение04.01.2019, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
67258
Rusit8800 в сообщении #1365778 писал(а):
Я до этого, просто, пытался натурально параметризовать винтовую линию в качестве упражнения - не удалось.

Которую винтовую? С постоянным радиусом и шагом? Тоже очень просто.

Rusit8800 в сообщении #1365778 писал(а):
Но что делать тогда со знаком "$-$" в выражении $a_{\tau}=-l\ddot{\varphi}$? Как его получить из ваших формул, ведь оттуда выходит знак "$+$"?

Повторяю ещё раз: забейте на выражение $a_\tau,$ которого вы не понимаете. Пользуйтесь тем, что понимаете. Все знаки сойдутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение мат. маятника
Сообщение04.01.2019, 10:06 
Аватара пользователя


15/11/15
1242
Москва
Munin в сообщении #1365783 писал(а):
Повторяю ещё раз: забейте на выражение $a_\tau,$ которого вы не понимаете. Пользуйтесь тем, что понимаете. Все знаки сойдутся.

Но я ведь вчера весь день с этим разбирался. Неужто стоит просто бросить начатое?

-- 04.01.2019, 10:28 --

Munin в сообщении #1365513 писал(а):
Можете вообще не вводить никаких векторов $\overline{a}_n,\overline{a}_\tau,$ в которых вы путаетесь, а честно посчитать $\ddot{x},\ddot{y},$ и выразить их через $\ddot{r},\ddot{varphi}.$

Остается тогда только это.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group