Капля воды с начальной массой М падает под действием...

[Viatcheslav2]

Капля воды с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу m. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до её полного испарения.

Эту задачу можно найти в двух учебниках Колмогорова, как в "10-11 Алгебра и начала математического анализа" 2018 год, стр. 346, задача 281, так и в "Алгебра и начала анализа 9-10", 1987 год, стр. 233, задача 730. Причём оба учебника дают разный ответ.

Решал я её следующим образом.
Поскольку испарение происходит равномерно, то для решения вовсе не обязательно использовать интеграл; достаточно подсчитать площадь треугольника высотой Mg и основанием $\frac{1}{2}g\frac{M^2}{m^2}$ , который получился у меня исходя из следующих соображений:
Время, прошедшее от начала падения капли до полного её испарения равно t=$\frac{M}{m}$ , следовательно, пройденный каплей путь равен $S=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}g\frac{M^2}{m^2}$.
Сила тяжести, действующая на каплю, равномерно уменьшается от максимального значения $F = Mg$ до нуля. Таким образом, искомой работой является площадь соответствующего треугольника, выражаемая как $A = \frac{1}{2}(gM)(\frac{1}{2}g\frac{M^2}{m^2}) = \frac{1}{4}g^2\frac{M^3}{m^2}$.
Однако учебник 1987 года дает ответ $\frac{1}{6}g^2\frac{M^3}{m^2}$, в то время как учебник 2018 правильным ответом считает $\frac{1}{6}g^2\frac{M^2}{m^2}$.
Подскажите, пожалуйста, где я сделал ошибку.

-- 29.12.2018, 11:20 --

P.S. Прошу прощения, но чертеж так и не вставился.

[Munin]

Viatcheslav2 в сообщении #1364579 писал(а):

Сила тяжести, действующая на каплю, равномерно уменьшается от максимального значения $F = Mg$ до нуля.

Равномерно по времени. Но не по пути. А по оси абсцисс вы откладываете путь.

Viatcheslav2 в сообщении #1364579 писал(а):

в то время как учебник 2018 правильным ответом считает $\frac{1}{6}g^2\frac{M^2}{m^2}$.

Видно, что тут ошибочная размерность. Это простая опечатка при перенаборе. К сожалению, так в пост-советские годы часто бывает.

[Viatcheslav2]

Чёт ничего не получается. Может ещё какую подсказку пришлёте :(

[Munin]

Как выглядит зависимость силы тяжести от пути?

[Viatcheslav2]

Да чорт её знает если честно. Её-то я и пытаюсь безуспешно вывести. Если путь оказался прямо пропорционален квадрату массы, то выходит, что масса пропорциональна квадратному корню от пути. Дальше у меня получается самая настоящая фигня.Признаюсь, что никогда раньше таких задач не решал, а тут на старости лет захотел научиться.

-- 29.12.2018, 21:21 --

То есть под ответ-то я, конечно, подгнал, и вижу, что там где-то кроется интеграл от массы в квадрате; даже, пожалуй, сумел бы запудрить невнимательному преподавателю мозги, будь это в школе, но сам для себя - недоволен. В конце получается, что надо брать интеграл по-массе, но я никак не могу к этому правильно подойти.

[Munin]

Viatcheslav2 в сообщении #1364659 писал(а):

Да чорт её знает если честно. Её-то я и пытаюсь безуспешно вывести.

Вы знаете, как путь зависит от времени. Можете наоборот найти время от пути из этой зависимости? И потом подставить в зависимость силы от времени.

Viatcheslav2 в сообщении #1364659 писал(а):

а тут на старости лет захотел научиться.

То есть вы не школьник? Тогда опишите свой бэкграунд: какой уровень образования и сколько лет назад вы имеете, и в каком контексте вам встретилась эта задача.

[Viatcheslav2]

Школу я закончил ещё при Брежневе. К 1987, когда был напечатан учебник, закончил уже и институт. Сейчас появилось время выучить то, чего не выучил в те годы. В первую очередь, решение задач с помощью интегралов, так как отдельно нас этому не учили. К примеру, в своё время я без труда, на память, выводил "на салфетке" формулу Эйлера с помощью рядов Фурье; всем сердцем любил преобразования Лапласа; то есть, хорошо знал чистую математику ради математики. А вот перед подобными задачами всегда пасовал. К примеру, могу решить дифференциальное уравнение, но не смогу его составить. Вот этим сейчас и решил заняться для себя и для обучения своих детей.Задачу эту встретил, когда занимался с сыном.(Ему она не понадобится - это не попытка решить за него "на халяву"). Просто сам для себя хочу разобраться. Background у меня - радиоинженер.

-- 29.12.2018, 22:45 --

Путь завист от времени как половина квадрата времени, помноженная на ускорение свободного падения. С этим LaTeX уйдёт полчаса, пока напечатаю.

-- 29.12.2018, 22:58 --

И вот всё идёт к тому, что придётся брать интеграл от массы по-времени, а я не совсем понимаю его физический смысл.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Viatcheslav2 в сообщении #1364579 писал(а):

P.S. Прошу прощения, но чертеж так и не вставился.

Если никак не получается вставить изображение непосредственно в пост, дайте текстом ссылку на фотохостинг, где оно хранится.

[EUgeneUS]

Viatcheslav2 в сообщении #1364663 писал(а):

И вот всё идёт к тому, что придётся брать интеграл от массы по-времени, а я не совсем понимаю его физический смысл.

Есть такой метод составления интеграла или диффура - "давайте посмотрим, что происходит на малых промежутках (времени, расстояния, чего-то ещё)".
На примере этой задачи:
1. Какое будет приращение работы при малом смещении капли?
2. В этом случае изменением массы капли можно пренебречь. Тогда можно записать так:

$\Delta A \sim Mg \Delta h$ (1)

"Большие дельты" подчеркивают, что величины малые, но вполне себе конечные, и мы можем с ними обращаться, как с обычными конечными величинами. Знак "примерно равно" подчеркивает, что это не строгое равенство, а примерное.
$h$ откладывается сверху вниз - то есть это пройденное каплей расстояние.

3. $M$ у нас функция от времени, а не от расстояния ($M = M_0 - m t$). А дельта стоит у расстояния. Надо, чтобы было одинаково. Есть два варианта - вывести функцию $M(h)$, или заменить $\Delta h$ на $\Delta t$, понятно не просто заменить, а используя известные соотношения. Воспользуемся вторым способом.

4. $\Delta h = \frac{g t_2^2}{2} - \frac{g t_1^2}{2}$
где $t_2$ - момент времени, когда капля начала проходить промежуток $\Delta h$, $t_2$ - момент времени, когда капля закончила проходить промежуток $\Delta h$. То есть $t_2 - t_1 = \Delta t$

5. Разложим разницу квадратов:

$\Delta h = \frac{g}{2}(t_2+t_1) \Delta t$

заметим, что $\frac{t_2+t_1}{2}$ - это среднее арифметическое начального и конечного момента времени для промежутка $\Delta t$

6. Подставляем всё в (1)

$\Delta A \sim g (M_0 - mt) gt \Delta t = g^2 (M_0 t - mt^2) \Delta t$

Полная работа состоит из суммы этих маленьких кусочков (от момента времени, когда капля начала падать и испаряться, до того, как испарилась совсем).

7. Переходом $\Delta t \to 0$ из суммы получаем определенный интеграл и берем его.

Пользуясь подобным методом школьник должен уметь вывести, например, формулу Циолковского.
Но эти костылики нужно ровно один год. Уже на первом курсе нужно уметь сразу писать:

$dA = Mg dh$ (тут уже строгое равенство), после чего сразу переходить к интегралу, в котором делать замену переменной интегрирования.

[Munin]

Viatcheslav2 в сообщении #1364663 писал(а):

Задачу эту встретил, когда занимался с сыном.

А это где? В школе, в вузе, в каком классе или на каком курсе?

Viatcheslav2 в сообщении #1364663 писал(а):

Путь завист от времени как половина квадрата времени, помноженная на ускорение свободного падения.

И можно ли из этого найти, как время зависит от пути?

Viatcheslav2 в сообщении #1364663 писал(а):

С этим LaTeX уйдёт полчаса, пока напечатаю.

Можно скопировать формулу из вашего первого сообщения:

Viatcheslav2 в сообщении #1364579 писал(а):

$S=\frac{1}{2}gt^2$

Viatcheslav2 в сообщении #1364663 писал(а):

И вот всё идёт к тому, что придётся брать интеграл от массы по-времени, а я не совсем понимаю его физический смысл.

Нет, придётся брать интеграл от силы по пути, а его физический смысл - работа:

$$dA=F\,ds\quad\Rightarrow\quad A=\int F\,ds.$$

EUgeneUS
К вам просьба. В LaTeX перед множителями, начинающимися с $\Delta$ и $d,$ лучше ставить "тонкий пробел", который пишется как \, . Тогда они не будут сливаться зрительно с произведением остальных букв: $dA=Mg\,dh.$

[EUgeneUS]

Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1364693 писал(а):

А это где? В школе, в вузе, в каком классе или на каком курсе?

Viatcheslav2 в сообщении #1364579 писал(а):

Эту задачу можно найти в двух учебниках Колмогорова, как в "10-11 Алгебра и начала математического анализа" 2018 год, стр. 346, задача 281, так и в "Алгебра и начала анализа 9-10", 1987 год, стр. 233, задача 730. Причём оба учебника дают разный ответ.

Понятно, что заниматься по школьным учебникам можно разным людям и в разных ситуациях. Но логично предположить, что речь о занятиях со школьником старших классов

Munin в сообщении #1364693 писал(а):

К вам просьба. В LaTeX перед множителями, начинающимися с $\Delta$ и $d,$ лучше ставить "тонкий пробел", который пишется как \, . Тогда они не будут сливаться зрительно с произведением остальных букв: $dA=Mg\,dh.$

Спасибо за подсказку, постараюсь не забывать, но не обещаю.

[Munin]

А, точно! Чего-то я забыл.

-- 30.12.2018 11:39:10 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1364722 писал(а):

Не похоже что бы задача решалась совсем без матана

$$\frac{d}{dt}\Big((M-ct) v\Big)=-(M-ct)v,\quad A=-\int_0^{M/c}(M-cs)gv(s)ds$$

При всём уважении, это другая задача. В исходной задаче сила сопротивления воздуха не учитывалась (а сила тяжести учитывалась). Хоть это и плохо физически, но зато лучше подходит как учебная задача того уровня.

[Viatcheslav2]

Огромное спасибо! Всегда знал, что лучшие люди на свете - это математики.Сейчас буду разбираться. Сын учится в 11 классе, но эту задачу они наверняка изучать не будут. Насчёт интеграла от массы по-времени - это я что-то не то сморозил, извините.С наступающим Новым Годом! Ещё раз спасибо.

-- 30.12.2018, 10:36 --

Наконец-то я её решил!
Оказалось, что на каком-то этапе я начал решать её правильно, но сделал не одну, а целых две ошибки в вычислениях, поэтому получилась полная белиберда, и я пошел по неверному пути.
(Отсюда и интеграл от массы по-времени, даже стыдно).
Вот что получилось.

$t=\frac{M}{m}$

$S = \frac{1}{2}$gt^2$

$t=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{g}}\sqrt{S}$

$S = \frac{1}{2}g\frac{M^2}{m^2}$

$m(t) = M - mt$

$m(S) = M - m\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{g}}\sqrt{S}$

$F(S) = gm(S)$

$A = \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}g\frac{M^2}{m^2}}g(M - m\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{g}}\sqrt{S})dS$

Ответ:

$\frac{g^2M^3}{6m^2}$

Ещё раз, огромное спасибо!

[Igrickiy(senior)]

Viatcheslav2
Это решение задачи, но решение, фактически не использующее все преимущества анализа по сравнению с алгеброй. Тем более, что оно из учебника Колмогорова. Я бы решал иначе. Это будет короче, проще и, по-моему, намного важнее именно в плане понимания темы "Производная и интеграл".

[Viatcheslav2]

Вынужден признаться, что мои достижения на этом поприще настолько слабы, что даже такое простое решение для меня является некоторой ступенькой. Вы не поверите, но это первая подобная задача в моей немолодой уже жизни, которую я более-менее решил. Лиха беда начало.Если будет время, напишите, как решили бы Вы.

-- 30.12.2018, 16:01 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1364874 писал(а):

Viatcheslav2
Тем более, что оно из учебника Колмогорова.

Не любите старину Колмогорова? Не иначе как сторонник Киселёва. Мои родители тоже Колмогорова недолюбливали. Мать даже написала письмо в министерство образования, где были слова, что Колмогоров, возможно, и неплохой академик, но вот педагог он никудышний. Я и сам некоторое время так считал, пока не просмотрел учебники Киселёва и не обратил внимания, что в них нет ни пределов, ни производных, ни интегралов. А Колмогоров очень сильно поднялся в моих глазах, когда я узнал, что именно он создал журнал "Квант". Так что простим старика.