Выпуклость функций

[notka01]

Добрый день. Помогите решить.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – выпуклая и вогнутая функции на выпуклом множестве $X$, причем для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \geqslant g(x)$.
Доказать, что существует линейная функция $h(x)$, такая что $f(x) \geqslant h(x) \geqslant g(x)$ для каждого $x \in X$

Накладывая ограничения на функции в виде дифференцируемости можно показать, что они лежат выше\ниже своих касательных (порой дается как определение выпуклой функции). [Чем касательная не линейная функция?] Тогда нет гарантии, что, н-р, касательная к $f(x)$ не пересечет $g(x)$. Можно взять требование жестче, попробовать доказать, что она должна быть общей для $f(x)$ и $g(x)$. Может тогда даже не касательная, а асимптота ?
Не знаю как быть.

Скорее всего путь моих идей в корне не верен, но других мыслей нет.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), основная проблема в том, что вы вставляете лишние доллары внутрь формулы, а они должны быть только по краям.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[VPro]

Теорема Хана-Банаха об отделимости выпуклых множеств

[vpb]

notka01
На самом деле задача весьма проста, решается в несколько слов. Но по правилам форума я Вас должен немного помучить...
Несколько наводящих вопросов.

notka01 в сообщении #1362769 писал(а):

порой дается как определение выпуклой функции)

Вообще говоря, выпуклая функция не обязательно дифференцируема, и условие $f''\geq0$ (или неотрицательная определенность гессиана, т.е. матрицы вторых производных, в многомерном случае) --- это вовсе не "каноническое определение". А каково каноническое (их два) ?

Кстати говоря, рассматривается одномерный случай, или многомерный ? И еще, каков источник задачи, чтоб знать, какими орудиями тут законно пользоваться ?

[Евгений Машеров]

А Вы не касательные рисуйте, а хорды.

[pogulyat_vyshel]

VPro в сообщении #1362870 писал(а):

Теорема Хана-Банаха об отделимости выпуклых множеств

а ссылочку приведите плз на версию этой теоремы, которая не использует топологии в пространстве и топологических предположений относительно множеств

-- 21.12.2018, 12:14 --

Между прочим, в общих линейных пространствах имеются примеры выпуклых множеств, которые не помещаются ни в одно полупространство

[notka01]

Цитата:

А каково каноническое (их два) ?

Функция $f(x)$ называется выпуклой (на выпуклом множестве $X$), если для любый $x, y \in X$ и $t \in [0, 1]$ выполняется $ f(tx+(1-t)y) \leqslant tf(x) + (1-t)f(y) $

Цитата:

Кстати говоря, рассматривается одномерный случай, или многомерный ?

Под $x$ подразумевается вектор.

Цитата:

И еще, каков источник задачи, чтоб знать, какими орудиями тут законно пользоваться ?

Ларин Р. М.. Методы оптимизации

Цитата:

Теорема Хана-Банаха об отделимости выпуклых множеств

Хм.. Пусть $A$ и $B$ некоторые выпуклые подмножества, такие что $A$ содержит $f(x)$, а $B g(x)$ (слишком опрометчиво ?). Их ядра не пусты и не пересекаются (в силу неравенства из условия). Тогда по теореме об отделимости выпуклых множеств [Колмогоров, Фомин, с.138] существует ненулевой линейный функционал, разделяющий $A$ и $B$.

[vpb]

Всё понятно. Указанная методичка какая-то очень ограниченная. Задачу Вы, кажется, понимаете как решить. Имхо, теми средствами, которые в методичке, ее не решить.

На всякий случай, повторим решение.
Считаем, что $C$ --- это выпуклое множество в ${\mathbb R}^n$. Функции $f$ и $g$ определены всюду на $C$. Можно рассмотреть их графики:

$$\Gamma(f)=\{(x,f(x))\in {\mathbb R}^n\times {\mathbb R} | x\in C \}, \qquad \Gamma(g)=\{(x,g(x))\in {\mathbb R}^n\times {\mathbb R} | x\in C \}.$$

Множество точек, которые лежат выше или ниже графика функции, называется ее надграфиком или подграфиком соответственно. Надграфик это

$$ {\rm epi}(f)=\{(x,\lambda)\in {\mathbb R}^n\times {\mathbb R} | x\in C, \ \lambda\geq f(x) \}, $$

подграфик аналогично, только снизу. Легко показать, что функция выпукла тогда и только тогда, когда ее надграфик выпукл. (для вогнутых --- подграфик). (Это и есть второе каноническое определение, что такое выпуклая функция). Пусть $X$ --- надграфик $f$, $Y$ --- подграфик $g$. Из условия следует, что относительные внутренности множеств $X$ и $Y$ не пересекаются. По конечномерной теореме отделимости, существует гиперплоскость, разделяющая эти множества. Эта гиперплоскость --- график некоторой аффинной функции. Это и есть искомая функция.

Если что, классическая книжка про выпуклость --- Р.Рокафеллар, Выпуклый анализ. (есть книжки и попроще, но я их не читал). Теорема отделимости в Рокафелларе проще доказывается, чем Хан-Банах в КФ. Относительные внутренности можно и не употреблять, (ограничившись обычным понятием внутренности и КФ в качестве литературы), но тогда надо подумать, как свести задачу к случаю, когда множество $C$ не лежит в собственном аффинном подпространстве.

P.S. Перепутал обозначения, то, что Вы через $X$ обозначали, у меня $C$.

[pogulyat_vyshel]

И так. У нас есть линейное пространство $E$ и содержащееся в нем выпуклое подмножество $X$ и функции $f,g:X\to\mathbb{R}$.
Значит, существует минимальное подпроcтранство $W\subset E$, содержащее $X$ (линейная оболочка $X$). Надграфик (обозначим его $F$) функции $f$ и подграфик (обозначим его $G$) функции $g$ -- это выпуклые множества в пространстве $Y=W\times\mathbb{R}$. Причем ядра надграфика и подграфика непусты в пространстве $Y$ , если только $X$ состоит более чем из одного элемента ,и непересекаются.
По одной из теорем Хана-Банаха (как раз Колмогоров Фомин) существует линейный функционал $h:Y\to\mathbb{R}$такой, что $h(G)\ge c,\quad h(F)\le c$. Это функционал от двух переменных $h=h(w,t),\quad w\in W,\quad t\in\mathbb{R}$. Уравнение $h(w,t)=c $ должно быть разрешимо : $t=\psi(w)+const$, где $\psi$ -- линейный функционал на $W$. Функционал $\psi$ продолжаем с $W$ на все $E$ и получаем результат

-- 21.12.2018, 15:05 --

3 раза лемма Цорна применяется, а не 1, как это выше написано.