Помогите решить несобственный интеграл с помощью вычетов

[Adebizi]

Помогите решить несобственный интеграл с помощью вычетов.
Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности $\frac{x^4+1}{x^6+1}$

$$x^6+1=0$$

$$x^6=-1$$

$$x=\sqrt[6]{-1}$$

$$|z|=1$$

$$argz=\pi$$

$$k=0; z_1=\cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i=e^{\frac{\pi}{6}i}$$

$$k=1; z_2=\cos(\frac{\pi}{2})+isin(\frac{\pi}{2})=0+i=e^{\frac{\pi}{2}i}$$

$$k=2; z_3=\cos(\frac{5\pi}{6})+isin(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i=e^{\frac{5\pi}{6}i}$$

$$k=3; z_4=\cos(\frac{7\pi}{6})+isin(\frac{7\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i=e^{\frac{7\pi}{6}i}$$

$$k=4; z_5=\cos(\frac{3\pi}{2})+isin(\frac{3\pi}{2})=0-i=e^{\frac{3\pi}{2}i}$$

$$k=5; z_6=\cos(\frac{11\pi}{6})+isin(\frac{11\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i=e^{\frac{11\pi}{6}i}$$

П(1) – простой полюс.
Особые точки.: $z_1,z_2,z_3$ так как $Im > 0$

$$\operatorname{Res}\limits_{e^\frac{i\pi}{6}} f(z)= \left.\frac{N(z)}{M'(z)}\right|_{z=e^\frac{i\pi}{6}}=\frac{z^4+1}{6z^5}=\frac{(e^\frac{i\pi}{6})^4+1}{6(e^\frac{i\pi}{6})^5}=\frac{e^\frac{2i\pi}{3}+1}{6e^\frac{i5\pi}{6}}$$

$$\operatorname{Res}\limits_{e^\frac{i\pi}{2}} f(z)= \left.\frac{N(z)}{M'(z)}\right|_{z=e^\frac{i\pi}{2}}=\frac{z^4+1}{6z^5}=\frac{(e^\frac{i\pi}{2})^4+1}{6(e^\frac{i\pi}{2})^5}=\frac{e^{2i\pi}+1}{6e^\frac{i5\pi}{2}}$$

$$\operatorname{Res}\limits_{e^\frac{i5\pi}{6}} f(z)= \left.\frac{N(z)}{M'(z)}\right|_{z=e^\frac{i5\pi}{6}}=\frac{z^4+1}{6z^5}=\frac{(e^\frac{i5\pi}{6})^4+1}{6(e^\frac{i5\pi}{6})^5}=\frac{e^\frac{i20\pi}{3}+1}{6e^\frac{i25\pi}{6}}$$

$$I=2i\pi((\frac{e^\frac{2i\pi}{3}+1}{6e^\frac{i5\pi}{6}})+(\frac{e^\frac{2i\pi}+1}{6e^\frac{i5\pi}{2}})+(\frac{e^\frac{i20\pi}{6}+1}{6e^\frac{i25\pi}{6}}))$$

Делаем преобразования:

$$\frac{e^\frac{2i\pi}{3}+1}{e^\frac{i5\pi}{6}}=\frac{e^\frac{2i\pi}{3}(1+e^\frac{-2i\pi}{3})}{e^\frac{i5\pi}{6}}=e^{\frac{2i\pi}{3}-\frac{5i\pi}{6}}(1+e^\frac{-2i\pi}{3})=e^{\frac{-i\pi}{6}}(1+e^\frac{-2i\pi}{3})$$

$$\frac{e^{2i\pi}+1}{e^\frac{i5\pi}{2}}=\frac{e^{2i\pi}(1+e^{-2i\pi})}{e^\frac{i5\pi}{2}}=e^{2i\pi-\frac{5i\pi}{2}}(1+e^{-2i\pi})=e^\frac{-i\pi}{2}(1+e^{-2i\pi})$$

$$\frac{e^\frac{i20\pi}{6}+1}{e^\frac{i25\pi}{6}}=\frac{e^\frac{i20\pi}{6}(1+e^\frac{-i20\pi}{6})}{e^\frac{i25\pi}{6}}=e^{\frac{-i5\pi}{6}}(1+e^\frac{-i20\pi}{6})$$

Продолжаем решать:

$$I=\frac{i\pi}{3}((e^{\frac{-i\pi}{6}}(1+e^\frac{-2i\pi}{3}))+(e^\frac{-i\pi}{2}(1+e^{-2i\pi}))+(e^{\frac{-i5\pi}{6}}(1+e^\frac{-i20\pi}{6})))$$

$$I=\frac{i\pi}{3}(\cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6})+\cos(-\frac{5\pi}{6})+isin(-\frac{5\pi}{6})+\cos(-\frac{\pi}{2})+isin(-\frac{\pi}{2})+$$

$$+\cos(-\frac{5\pi}{2})+isin(-\frac{5\pi}{2})+\cos(-\frac{5\pi}{6})+isin(-\frac{5\pi}{6})+\cos(-\frac{25\pi}{6})+isin(-\frac{25\pi}{6}))$$

$$I=\frac{i\pi}{3}(\cos(\frac{13\pi}{2})-isin(\frac{13\pi}{2}))=\frac{\pi}{3}$$

А правильный ответ: $\frac{4\pi}{3}$
Что я не правильно сделал?

[DeBill]

Adebizi
Что т я не пОнял: все сделано...В чем проблемы то? Вы не умеете делить-умножать комплексные числа???

[Adebizi]

DeBill в сообщении #1361586 писал(а):

Adebizi
Что т я не пОнял: все сделано...В чем проблемы то? Вы не умеете делить-умножать комплексные числа???

Мне единичка в числителе мешает, её бы не было решил бы (

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Уберите ссылку и наберите здесь то, что Вас интересует.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Adebizi
Логарифмоподобные функции пишутся так $\sin x$ \sin x

[thething]

Adebizi
Ошибка у Вас, когда возводите в степень.. там где 20 получилось. Вообще же, попробуйте каждую дробь, до применения формулы Эйлера домножить (числитель и знаменатель) на такую экспоненту, чтобы в итоге в числителе образовался косинус какого-нибудь угла, и все вычисления заметно сократятся (единицы там очень даже в тему).

[Adebizi]

Adebizi в сообщении #1361581 писал(а):

$$I=\frac{i\pi}{3}((e^{\frac{-i\pi}{6}}(1+e^\frac{-2i\pi}{3}))+(e^\frac{-i\pi}{2}(1+e^{-2i\pi}))+(e^{\frac{-i5\pi}{6}}(1+e^\frac{-i20\pi}{6})))$$

$$I=\frac{i\pi}{3}(\cos(-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6})+\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)+\cos(-\frac{\pi}{2})+i\sin(-\frac{\pi}{2})+$$

$$+\cos(-\frac{5\pi}{2})+i\sin(-\frac{5\pi}{2})+\cos(-\frac{5\pi}{6})+i\sin(-\frac{5\pi}{6})+\cos(-\frac{25\pi}{6})+i\sin(-\frac{25\pi}{6}))$$

$$I=\frac{i\pi}{3}(\cos(\frac{\pi}{6})-isin(\frac{\pi}{6}))=i\pi\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$$

Одну ошибку нашел, но всё равно ответ не сходится

[Lia]

Adebizi
Скажите, я правильно понимаю, что Вы углы складываете (предварительно избавившись от минуса)?

thething в сообщении #1361710 писал(а):

Ошибка у Вас, когда возводите в степень..

Нету у него там ошибки, опечатка. Дальше все нормально.
Но огород городить было ни к чему, конечно.

[DeBill]

Вот до этого места (чё то не копируется) : (последняя строчка) - все правильно.
Откуда взялись эти $\frac{13\pi}{2}$ ? Сумма всех синусов равна -4...

[thething]

Lia в сообщении #1361716 писал(а):

Нету у него там ошибки, опечатка.

А, ну да, потом шестёрку пишет. Ну тогда до момента преобразований всё правильно, потому что у меня ответ сошелся.

[Adebizi]

Lia в сообщении #1361716 писал(а):

Adebizi
Скажите, я правильно понимаю, что Вы углы складываете (предварительно избавившись от минуса)?

thething в сообщении #1361710 писал(а):

Ошибка у Вас, когда возводите в степень..

Нету у него там ошибки, опечатка. Дальше все нормально.
Но огород городить было ни к чему, конечно.

Да, складываю предварительно избавившись от минусов

[Lia]

Adebizi в сообщении #1361720 писал(а):

Да, складываю предварительно избавившись от минусов

Ну вот Вы ее и озвучили, Вашу ошибку.

[DeBill]

Lia в сообщении #1361716 писал(а):

я правильно понимаю, что Вы углы складываете (

Не, я это тоже заподозрил, но $\frac{13\pi}{2}$ там не получается

[Adebizi]

Lia в сообщении #1361722 писал(а):

Adebizi в сообщении #1361720 писал(а):

Да, складываю предварительно избавившись от минусов

Ну вот Вы ее и озвучили, Вашу ошибку.

Сложил всё косинусы и синусы, через калькулятор mathway, всё равно не то
$I=\frac{i\pi}{3}(-1+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7}{2}i))$

[Lia]

Adebizi
Выбросьте калькулятор, ну смешно же такие углы обсчитывать на калькуляторе.
Второй Ваш вариант (где Вы нашли ошибку) неправильный. Правильный - почти до конца - первый. Очень нерациональный, но правильный.