Добрый день!
Подвернулась задача: доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.
Я понимаю, что нужно доказывать это аналогично теореме в метрическом пространстве (в которой еще дополнительно требуется стремление радиусов шаров к нулю).
Пусть
![$B[x_1,r_1]\subset B[x_2,r_2]$ $B[x_1,r_1]\subset B[x_2,r_2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/6/b86c11295ea9e90b8a4e4f0dea55aec582.png)
. Доказал, что

, откуда следует, что последовательность радиусов фундаментальна (а точнее, она имеет какой-то предел, необязательно нулевой).
Далее, чтобы это дело провести, как в метрическом пространстве, достаточно показать, что

. И вот эту оценку никак не получается доказать, просто ступор какой-то. Наверное, всё настолько элементарно. Намекните, пожалуйста, каким именно свойством нормированных пространств тут надо воспользоваться?