Теорема о вложенных шарах в нормированном пространстве

[thething]

Добрый день!

Подвернулась задача: доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.

Я понимаю, что нужно доказывать это аналогично теореме в метрическом пространстве (в которой еще дополнительно требуется стремление радиусов шаров к нулю).

Пусть $B[x_1,r_1]\subset B[x_2,r_2]$. Доказал, что $r_1\leqslant r_2$, откуда следует, что последовательность радиусов фундаментальна (а точнее, она имеет какой-то предел, необязательно нулевой).

Далее, чтобы это дело провести, как в метрическом пространстве, достаточно показать, что $\left\lVert x_1-x_2\right\rVert\leqslant r_2-r_1$. И вот эту оценку никак не получается доказать, просто ступор какой-то. Наверное, всё настолько элементарно. Намекните, пожалуйста, каким именно свойством нормированных пространств тут надо воспользоваться?

[grizzly]

upd. Здесь было что-то не то, кажется :)

[vpb]

Я как-то не помню, как это утверждение доказывается (а может быть, никогда и не знал ?), но пришла такая мысль: рассмотреть прямую, проходящую через $x_1$ и $x_2$, и подумать, какова она будет как метрическое пространство (относительно индуцированной метрики).

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1361083 писал(а):

и подумать, какова она будет как метрическое пространство (относительно индуцированной метрики).

это уже не понадобится:)

Чуть веселее: Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве последовательность вложенных замкнутых ограниченных выпуклых множеств имеет непустое пересечение.

[thething]

vpb в сообщении #1361083 писал(а):

рассмотреть прямую, проходящую через $x_1$ и $x_2$

Да, спасибо, с прямой всё получилось, неравенство треугольника обратилось в равенство.