2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о вложенных шарах в нормированном пространстве
Сообщение13.12.2018, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Добрый день!

Подвернулась задача: доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.

Я понимаю, что нужно доказывать это аналогично теореме в метрическом пространстве (в которой еще дополнительно требуется стремление радиусов шаров к нулю).

Пусть $B[x_1,r_1]\subset B[x_2,r_2]$. Доказал, что $r_1\leqslant r_2$, откуда следует, что последовательность радиусов фундаментальна (а точнее, она имеет какой-то предел, необязательно нулевой).

Далее, чтобы это дело провести, как в метрическом пространстве, достаточно показать, что $\left\lVert x_1-x_2\right\rVert\leqslant r_2-r_1$. И вот эту оценку никак не получается доказать, просто ступор какой-то. Наверное, всё настолько элементарно. Намекните, пожалуйста, каким именно свойством нормированных пространств тут надо воспользоваться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных шарах в нормированном пространстве
Сообщение13.12.2018, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
upd. Здесь было что-то не то, кажется :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных шарах в нормированном пространстве
Сообщение13.12.2018, 17:47 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Я как-то не помню, как это утверждение доказывается (а может быть, никогда и не знал ?), но пришла такая мысль: рассмотреть прямую, проходящую через $x_1$ и $x_2$, и подумать, какова она будет как метрическое пространство (относительно индуцированной метрики).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных шарах в нормированном пространстве
Сообщение13.12.2018, 18:09 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
vpb в сообщении #1361083 писал(а):
и подумать, какова она будет как метрическое пространство (относительно индуцированной метрики).

это уже не понадобится:)

Чуть веселее: Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве последовательность вложенных замкнутых ограниченных выпуклых множеств имеет непустое пересечение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных шарах в нормированном пространстве
Сообщение13.12.2018, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
vpb в сообщении #1361083 писал(а):
рассмотреть прямую, проходящую через $x_1$ и $x_2$

Да, спасибо, с прямой всё получилось, неравенство треугольника обратилось в равенство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group