Доказательство для степени 3

[mihaild]

dick в сообщении #1348976 писал(а):

Но если невозможно $a=c; b=d;$ все прочие варианты также невозможны.

Не доказано.

[dick]

Повторим исходное сообщение с поправками от 24.10:
Доказать что уравнение: $x^3+y^3=z^3$ (1), не имеет решений для целых $x, y, z$ если $x \ne y \ne z \ne 0$.
Предположим, что имеются $Х,Y,Z$ , удовлетворяющие условию (1).
Причем $Z=a+b, Y=a+b_1, X=a+b_2$.
Тогда: $(a+b)^3=(a+b_1)^3+(a+b_2)^3$;
$(a^3+b^3)+3a^2b+3ab^2=(2a^3+b_1^3+b_2^3)+3a^2(b_1+b_2)+3a(b_1^2+b_2^2)$ (2);
$b^3=a^3+b_1^3+b_2^3$ (3.1); $b=b_1+b_2$ (3.2); $b^2=b_1^2+b_2^2$ (3.3);
Независимо от наличия или отсутствия решений для (3.1), выполнение (3.2) и (3.3) в целых числах невозможно.
Я допускал, что (3.1),(3.2),(3.3) не единственное решение для (2). Но это так, если бы можно было произвольно выбирать $b,b_1,b_2$.
У нас предполагаемое равенство (2), это тождество. Его левая и правая части, это один и тот же куб.
Поэтому, в нашем случае, (3.1),(3.2),(3.3) это единственное решение для (2).

[mihaild]

Это какие-то фантазии на тему, а не доказательство. Что вообще такое "произвольность выбора" формально? Если хотите что-то доказать - пишите нормально, чтобы можно было восстановить конкретные утверждения с кванторами.

А ещё даже в вещественных числах из 3.2 и 3.3 следует $b_1b_2 = 0$. Но в вещественных числах исходное уравнение имеет и другие решения...

[dick]

Под произвольностью выбора $b,b_1,b_2$ я имел ввиду, что эти числа не ограничены требованиями (3.2),(3.3).
Я владею математикой в пределах школьного курса, поэтому не могу писать так "нормально", как вы хотите. Если без кванторов не обойтись, то нам видимо стоит на этом закончить.
Что касается вещественных чисел, мне все же кажется что (3.2),(3.3) могут выполняться без нулей, по крайней мере, в смешанном варианте с одним иррациональным из трех. Но решением для (1) такая тройка конечно не будет.

[mihaild]

dick в сообщении #1360820 писал(а):

Я владею математикой в пределах школьного курса, поэтому не могу писать так "нормально", как вы хотите

Либо уровень школьного курса сильно упал за 10 лет, либо это неправда. В школьном курсе математики приводятся более прилично выглядящие доказательства.
Нормальное доказательство может содержать, например, переходы к следствиям (т.е. доказали одно равенство и взяли следствие), может - разбор случаев. У вас пока что ничего конкретного про переход от (2) к (3.1) не написано.

dick в сообщении #1360820 писал(а):

мне все же кажется что (3.2),(3.3) могут выполняться без нулей, по крайней мере, в смешанном варианте с одним иррациональным из трех

Не могут. Возведите обе части 3.2 в квадрат и вычтите из 3.3.