Теория чисел. Метод соответствия.

[Stensen]

Доброго всем здравия. Уважаемые, помогите разобраться. Нужно доказать, что:
1) число $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{999}$ представимо в виде $a \sqrt{3}- b\sqrt{2}$,
2) $3a^2-2b^2=1$.

Раскладывая бином и группируя члены, содержащие $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, получим: $a \sqrt{3}- b\sqrt{2}$, это вроде понятно.

Не могу сообразить как доказать второе? Просто попробовать подсчитать эти коэффициенты? Слишком громоздко получается, закопался. Может как-то по-другому?

[grizzly]

Stensen в сообщении #1360744 писал(а):

Раскладывая бином и группируя члены, содержащие $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, получим: $a \sqrt{3}- b\sqrt{2}$, это вроде понятно.

Вы же не будете раскладывать бином? Значит, в рассуждениях должна присутствовать нечётность степени (для чётной степени такого представления не будет).

Stensen в сообщении #1360744 писал(а):

Не могу сообразить как доказать второе?

Опять посмотреть на сопряжённые?

[Евгений Машеров]

Stensen в сообщении #1360744 писал(а):

Не могу сообразить как доказать второе? Просто попробовать подсчитать эти коэффициенты? Слишком громоздко получается, закопался. Может как-то по-другому?

По индукции?

[Stensen]

grizzly в сообщении #1360746 писал(а):

Stensen в сообщении #1360744 писал(а):

Раскладывая бином и группируя члены, содержащие $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, получим: $a \sqrt{3}- b\sqrt{2}$.

Вы же не будете раскладывать бином? Значит, в рассуждениях должна присутствовать нечётность степени (для чётной степени такого представления не будет).

Вы видимо имеете в виду то, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах?

[grizzly]

Stensen в сообщении #1360757 писал(а):

Вы видимо имеете в виду то, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах?

Вообще-то я имел в виду только то, что Ваше рассуждение неполно. Про сумму коэффициентов Вы правы, конечно, но я не предполагал это использовать -- подправить Ваше рассуждение можно проще.

[Stensen]

grizzly в сообщении #1360746 писал(а):

Stensen в сообщении #1360744 писал(а):

Не могу сообразить как доказать второе?

Опять посмотреть на сопряжённые?

т.к.:
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{999} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{999} \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{999} }{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{999}}=\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{999}}$
и
$a \sqrt{3}-b \sqrt{2}=\frac{(a \sqrt{3}-b \sqrt{2})(a \sqrt{3}+b \sqrt{2})}{a \sqrt{3}+b \sqrt{2}}=\frac{3a^2-2b^2}{a \sqrt{3}+b \sqrt{2}}$ и т.к. левые части равны и $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{999} = a \sqrt{3}+b \sqrt{2}$ , то $3a^2-2b^2 =1$.

Все ли верно?

[grizzly]

Stensen в сообщении #1360781 писал(а):

Все ли верно?

Да, но я бы поленился так много писать :)
$1=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{999}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{999}=(a \sqrt{3}-b \sqrt{2})(a \sqrt{3}+b \sqrt{2})=3a^2-2b^2$.

[Stensen]

спасибо понятно

[Stensen]

Мучает вопрос. Эта задача из Канель-Белов и др. "Как решают нестандартные задачи" содержится в разделе "Соответствие", в котором объясняется что такое взаимнооднозначное отображение и рассматриваются примеры, решаемые с помощью этого метода. Не могу понять как метод сопряженных чисел связан с отображением? Или эту задачу можно решить с помощью отображений?

[grizzly]

Stensen в сообщении #1361047 писал(а):

Мучает вопрос.

А разве комментарий на стр. 23 не отвечает на этот вопрос?

Цитата:

Объект может стать более естественным, если у него найдётся пара. Например, вместе с иррациональностью рассматривают сопряжённую иррациональность.

[Stensen]

grizzly в сообщении #1361060 писал(а):

А разве комментарий на стр. 23 не отвечает на этот вопрос?

Цитата:

Объект может стать более естественным, если у него найдётся пара. Например, вместе с иррациональностью рассматривают сопряжённую иррациональность.

Спасибо, осознал