Для настоящих любителей арифметики - II

[Ktina]

(по мотивам задачи «Для настоящих любителей арифметики»)

а) Найти все простые $p$, при которых $p^p+p$ имеет ровно $p$ различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

б)* Найти все натуральные $n$, при которых $n^n+n$ имеет ровно $n$ различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

[wrest]

Ktina
А они точно есть?

[Ktina]

wrest
Даже если их нет, что это меняет?

[JohnDou]

wrest, простых -

(нету)

Пусть $p^p+p=\prod q_i^{s_i}$
Тогда $\prod (s_i+1)=p\implies q^{p-1}=p(p^{p-1}+1)\implies p^{p-2}=p^{p-1}+1$ противоречие, т.к. Лс<Пс
Но если поменять знак: $2^2-2=2$ появляется решение.

[Fedorov]

а) Ну простых таких нет, р входит в первой степени. Стало быть число делителей четно.

[wrest]

Ktina в сообщении #1359418 писал(а):

Даже если их нет, что это меняет?

Это должно поменять формулировку на "найти ... или показать что их нет."

[Ktina]

wrest в сообщении #1359423 писал(а):

Ktina в сообщении #1359418 писал(а):

Даже если их нет, что это меняет?

Это должно поменять формулировку на "найти ... или показать что их нет."

Договорились, пусть будет так. Мне казалось, что в математике решить означает найти все решения или доказать, что их нет. Но бог с ним, пусть будет.