2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 свободное вращение, углы Эйлера
Сообщение06.12.2018, 13:39 


07/12/12
7
Всем привет!
Практически во всех курсах аналитической механики глава “свободное вращение тела” содержит описание вращения через углы Эйлера.
Однако, никто не отменял второй закон Ньютона для описания вращения, в неподвижной системе координат можно записать:
$\frac{d^2\alpha}{dt^2}  = \frac{M_x}{J_x} $, где
$M_x$ - момент сил относительно оси Ox; $J_x$ - момент инерции относительно оси Оx, \alpha-угол поворота относительно оси Ox.
- решаем три уравнения относительно трех осей;
- поворачиваем тело на найденные углы;
- поворачиваем главные оси тензора инерции и пересчитываем значения $J_x, J_y, J_z$.

Что меня смущает – некоммутативность поворотов, такое ощущение, численная схема не воспроизводит прецессию,
нет взаимодействия между угловыми скоростями, закрутив тело вдоль одной оси оно так и будет вечно крутиться вдоль этой оси.

То есть, правильные предпосылки привели к неправильному результату, где я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: механика, свободное вращение
Сообщение06.12.2018, 14:18 


27/08/16
4634
Появился: 07.12.2012, 12:07
Последнее посещение: 06.12.2018, 14:07

Вы ровно шесть лет ждали, чтобы написать тут первое сообщение? Поздравляю с завтрашним днём рождения!
Но за шесть лет могли бы и узнать, как правильно набирать тут формулы.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.12.2018, 15:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16117
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.12.2018, 10:19 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16117
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: ближе тематика.


-- 07.12.2018, 10:23 --

Ben в сообщении #1359233 писал(а):
в неподвижной системе координат можно записать:
$\frac{d^2\alpha}{dt^2}  = \frac{M_x}{J_x} $,
Вы уверены, что можно? :wink:

Воспроизведите цепочку рассуждений, приводящую к этому выводу, и вспомните ограничения, при которых можно записать промежуточные результаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: свободное вращение, углы Эйлера
Сообщение08.12.2018, 08:56 


24/01/09
702
Украина, Днепропетровск
Ben в сообщении #1359233 писал(а):
\alpha-угол поворота относительно оси Ox.

Что за угол (переменных, описывающих состояние тела ведь должна быть не одна), и относительно какой системы координат?

Ben в сообщении #1359233 писал(а):
Что меня смущает – некоммутативность поворотов, такое ощущение, численная схема не воспроизводит прецессию

Верно смущаетесь. Хотя без определения этих ваших "углов" и того как именно они определяют ориентацию тела - вообще сказать нельзя ни-че-го.

Ben в сообщении #1359233 писал(а):
То есть, правильные предпосылки привели к неправильному результату, где я ошибся?

То есть неправильные предпосылки привели к неправильному результату.

Ben в сообщении #1359233 писал(а):
где я ошибся?

Забыли, что компоненты тензора момента инерции тела не постоянны и зависят от ориентации тела. То есть в производной должна быть производная и от них тоже.
Собственно в 1-ом томе ЛЛ всё подробно расписано.

ps: углы Эйлера - только один из наборов углов поворотов для описания ориентации тв. тела. Есть и гироскопические углы, и обратные гироскопические углы, итд, итп.

 Профиль  
                  
 
 Re: свободное вращение, углы Эйлера
Сообщение10.12.2018, 15:44 


07/12/12
7
Спасибо, уже разобрался.
Действительно, записанное мной уравнение в исходном посте справедливо только для неподвижной оси вращения.
Общий случай получается через решение уравнения Лагранжа в котором кинетическая энергия вращения записана через компоненты тензора инерции (ЛЛ, том I, параграф 34).

Цитата:
Забыли, что компоненты тензора момента инерции тела не постоянны и зависят от ориентации тела. То есть в производной должна быть производная и от них тоже. Собственно в 1-ом томе ЛЛ всё подробно расписано.


Теперь вопрос перешел немного в другую плоскость. Для тензора инерции решена задача на собственные вектора и собственные значения.
Нужно исправить ошибочную численную схему, которая крутила тело независимо вокруг каждой из осей мировой системы координат.
В каком из курсов механики свободное вращение подробно расписано? ЛЛ уж очень лаконичен.

 Профиль  
                  
 
 Re: свободное вращение, углы Эйлера
Сообщение11.12.2018, 22:25 


24/01/09
702
Украина, Днепропетровск
Это вам надо что-то по теории гироскопов.
Есть спец. монографии, очень обширные и очень специфические.

А так - корректно запрограммированная всё та же тройка уравнений из ЛЛ вполне прилично моделирует движение при не сильно высоких омегах. Вплоть до вкусностей типа гайки Джанибекова.

 Профиль  
                  
 
 Re: свободное вращение, углы Эйлера
Сообщение13.12.2018, 13:27 
Аватара пользователя


31/08/17
1143
Вообще-то дифференциальное уравнение на матрицу перехода от неподвижной системы координат к системе координат твердого тела изготавливается тривиально, в него входят компоненты угловой скорости в системе , связанной с телом, в лагранжевых координатах, так сказать. Это матричное уравнение следует добавить к системе уравнений Эйлера, полученную систему 12 уравнений можно решать численно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group