свободное вращение, углы Эйлера

[Ben]

Всем привет!
Практически во всех курсах аналитической механики глава “свободное вращение тела” содержит описание вращения через углы Эйлера.
Однако, никто не отменял второй закон Ньютона для описания вращения, в неподвижной системе координат можно записать:
$\frac{d^2\alpha}{dt^2} = \frac{M_x}{J_x} $, где
$M_x$ - момент сил относительно оси Ox; $J_x$ - момент инерции относительно оси Оx, \alpha-угол поворота относительно оси Ox.
- решаем три уравнения относительно трех осей;
- поворачиваем тело на найденные углы;
- поворачиваем главные оси тензора инерции и пересчитываем значения $J_x, J_y, J_z$.

Что меня смущает – некоммутативность поворотов, такое ощущение, численная схема не воспроизводит прецессию,
нет взаимодействия между угловыми скоростями, закрутив тело вдоль одной оси оно так и будет вечно крутиться вдоль этой оси.

То есть, правильные предпосылки привели к неправильному результату, где я ошибся?

[realeugene]

Появился: 07.12.2012, 12:07
Последнее посещение: 06.12.2018, 14:07

Вы ровно шесть лет ждали, чтобы написать тут первое сообщение? Поздравляю с завтрашним днём рождения!
Но за шесть лет могли бы и узнать, как правильно набирать тут формулы.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: ближе тематика.

-- 07.12.2018, 10:23 --

Ben в сообщении #1359233 писал(а):

в неподвижной системе координат можно записать:
$\frac{d^2\alpha}{dt^2} = \frac{M_x}{J_x} $,

Вы уверены, что можно?

Воспроизведите цепочку рассуждений, приводящую к этому выводу, и вспомните ограничения, при которых можно записать промежуточные результаты.

[Theoristos]

Ben в сообщении #1359233 писал(а):

\alpha-угол поворота относительно оси Ox.

Что за угол (переменных, описывающих состояние тела ведь должна быть не одна), и относительно какой системы координат?

Ben в сообщении #1359233 писал(а):

Что меня смущает – некоммутативность поворотов, такое ощущение, численная схема не воспроизводит прецессию

Верно смущаетесь. Хотя без определения этих ваших "углов" и того как именно они определяют ориентацию тела - вообще сказать нельзя ни-че-го.

Ben в сообщении #1359233 писал(а):

То есть, правильные предпосылки привели к неправильному результату, где я ошибся?

То есть неправильные предпосылки привели к неправильному результату.

Ben в сообщении #1359233 писал(а):

где я ошибся?

Забыли, что компоненты тензора момента инерции тела не постоянны и зависят от ориентации тела. То есть в производной должна быть производная и от них тоже.
Собственно в 1-ом томе ЛЛ всё подробно расписано.

ps: углы Эйлера - только один из наборов углов поворотов для описания ориентации тв. тела. Есть и гироскопические углы, и обратные гироскопические углы, итд, итп.

[Ben]

Спасибо, уже разобрался.
Действительно, записанное мной уравнение в исходном посте справедливо только для неподвижной оси вращения.
Общий случай получается через решение уравнения Лагранжа в котором кинетическая энергия вращения записана через компоненты тензора инерции (ЛЛ, том I, параграф 34).

Цитата:

Забыли, что компоненты тензора момента инерции тела не постоянны и зависят от ориентации тела. То есть в производной должна быть производная и от них тоже. Собственно в 1-ом томе ЛЛ всё подробно расписано.

Теперь вопрос перешел немного в другую плоскость. Для тензора инерции решена задача на собственные вектора и собственные значения.
Нужно исправить ошибочную численную схему, которая крутила тело независимо вокруг каждой из осей мировой системы координат.
В каком из курсов механики свободное вращение подробно расписано? ЛЛ уж очень лаконичен.

[Theoristos]

Это вам надо что-то по теории гироскопов.
Есть спец. монографии, очень обширные и очень специфические.

А так - корректно запрограммированная всё та же тройка уравнений из ЛЛ вполне прилично моделирует движение при не сильно высоких омегах. Вплоть до вкусностей типа гайки Джанибекова.

[pogulyat_vyshel]

Вообще-то дифференциальное уравнение на матрицу перехода от неподвижной системы координат к системе координат твердого тела изготавливается тривиально, в него входят компоненты угловой скорости в системе , связанной с телом, в лагранжевых координатах, так сказать. Это матричное уравнение следует добавить к системе уравнений Эйлера, полученную систему 12 уравнений можно решать численно.