Дисперсия суммы случайных величин

[timetoti]

Решаю задачу по теории вероятностей: на доске написали $N$ натуральных чисел от $1$ до $N$, числа не повторяются; после этого случайным образом вычеркнули $K$ чисел (при этом $K<N$); пусть $S$ - это сумма вычеркнутых чисел; необходимо найти дисперсию данной суммы $D(S)$.
Пара часов поиска и изучение информации по данной теме привели меня к выводу, что дисперсию $D(S)$ можно найти как сумму дисперсий случайных величин

$$D(S)=\sum\limits^K_{i=1}D(X_i)$$

где $X_i$ - i-ое вычеркнутое число.
На первый взгляд все выглядело легко, но не тут то было: когда мы вычеркиваем одно число, ряд распределения других меняется, причём мы не знаем как (т.к. могли вычеркнуть абсолютно любое число).
Возможно, я ошибся в логике рассуждений. Жду ваши мнения.
P.S. При вычеркивании шанс вычеркнуть любое число одинаков.
P.P.S. Дисперсию $D(S)$ необходимо выразить через известные числа, т.е. через $N$ и $K$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Евгений Машеров]

А попробуйте определить дисперсию через матожидание и матожидание квадрата...

[--mS--]

Дисперсия суммы зависимых величин - это не сумма дисперсий, а

$$DS = \sum_{i=1}^K D(X_i)+2\sum_{1\leq i < j\leq K}\textrm{Cov}(X_i,X_j).$$

Все дисперсии одинаковы, все ковариации тоже. Осталось посчитать $DX_1$ и $\textrm{Cov}(X_1,X_2)$ и ответ готов.

[timetoti]

--mS-- в сообщении #1358962 писал(а):

Все дисперсии одинаковы, все ковариации тоже.

На основании чего вы сделали такой вывод? После того, когда мы вычеркиваем первое число, мы убираем из ряда распределения остальных число, которое вычеркнули, соответственно изменяется мат. ожидание и дисперсия чисел, которые мы вычеркнем после.

[mihaild]

timetoti в сообщении #1359049 писал(а):

После того, когда мы вычеркиваем первое число, мы убираем из ряда распределения остальных число, которое вычеркнули, соответственно изменяется мат. ожидание и дисперсия чисел, которые мы вычеркнем после.

А мы рассматриваем просто ковариацию случайных величин $X_i$ и $X_j$. И т.к. совместное распределение $\langle X_i, X_j \rangle$ при $i \neq j$ одинаковое для всех пар $i, j$, то и дисперсии и ковариации будут одинаковыми.
Безусловно, ковариация, скажем, $X_1$ и $X_3$ разная при $X_2 = 1$ и при $X_2 = 2$. Но просто ковариация $X_1$ и $X_3$ такакя же как ковариация $X_5$ и $X_{42}$.

[--mS--]

timetoti в сообщении #1359049 писал(а):

На основании чего вы сделали такой вывод? После того, когда мы вычеркиваем первое число, мы убираем из ряда распределения остальных число, которое вычеркнули, соответственно изменяется мат. ожидание и дисперсия чисел, которые мы вычеркнем после.

Вы, видимо, неверно понимаете, кто такие $X_i$. А это то число, которое получилось при $i$-м вычёркивании. Каждое из них принимает любое значение от $1$ до $N$ с вероятностью $\frac1N$. Распределения у $X_1,\ldots, X_K$ одинаковые:

$$\mathsf P(X_i = n) = \frac1N \text{ для любых } i=1,\ldots, K, \quad n=1,\ldots, N.$$

И вероятности двум вычеркнутым числами угодить в любую пару чисел от $1$ до $N$ тоже одинаковые:

$$ \mathsf P(X_i = n, X_j = m) = \frac{1}{N(N-1)} \text{ для любых } i\neq j, n\neq m. $$

[timetoti]

Понял. Спасибо за помощь.