2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение04.12.2018, 20:46 


30/11/18
9
Решаю задачу по теории вероятностей: на доске написали $N$ натуральных чисел от $1$ до $N$, числа не повторяются; после этого случайным образом вычеркнули $K$ чисел (при этом $K<N$); пусть $S$ - это сумма вычеркнутых чисел; необходимо найти дисперсию данной суммы $D(S)$.
Пара часов поиска и изучение информации по данной теме привели меня к выводу, что дисперсию $D(S)$ можно найти как сумму дисперсий случайных величин $$D(S)=\sum\limits^K_{i=1}D(X_i)$$ где $X_i$ - i-ое вычеркнутое число.
На первый взгляд все выглядело легко, но не тут то было: когда мы вычеркиваем одно число, ряд распределения других меняется, причём мы не знаем как (т.к. могли вычеркнуть абсолютно любое число).
Возможно, я ошибся в логике рассуждений. Жду ваши мнения.
P.S. При вычеркивании шанс вычеркнуть любое число одинаков.
P.P.S. Дисперсию $D(S)$ необходимо выразить через известные числа, т.е. через $N$ и $K$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.12.2018, 21:14 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.12.2018, 23:04 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение05.12.2018, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А попробуйте определить дисперсию через матожидание и матожидание квадрата...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение05.12.2018, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Дисперсия суммы зависимых величин - это не сумма дисперсий, а
$$DS = \sum_{i=1}^K D(X_i)+2\sum_{1\leq i < j\leq K}\textrm{Cov}(X_i,X_j).$$
Все дисперсии одинаковы, все ковариации тоже. Осталось посчитать $DX_1$ и $\textrm{Cov}(X_1,X_2)$ и ответ готов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение05.12.2018, 15:50 


30/11/18
9
--mS-- в сообщении #1358962 писал(а):
Все дисперсии одинаковы, все ковариации тоже.

На основании чего вы сделали такой вывод? После того, когда мы вычеркиваем первое число, мы убираем из ряда распределения остальных число, которое вычеркнули, соответственно изменяется мат. ожидание и дисперсия чисел, которые мы вычеркнем после.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение05.12.2018, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
timetoti в сообщении #1359049 писал(а):
После того, когда мы вычеркиваем первое число, мы убираем из ряда распределения остальных число, которое вычеркнули, соответственно изменяется мат. ожидание и дисперсия чисел, которые мы вычеркнем после.
А мы рассматриваем просто ковариацию случайных величин $X_i$ и $X_j$. И т.к. совместное распределение $\langle X_i, X_j \rangle$ при $i \neq j$ одинаковое для всех пар $i, j$, то и дисперсии и ковариации будут одинаковыми.
Безусловно, ковариация, скажем, $X_1$ и $X_3$ разная при $X_2 = 1$ и при $X_2 = 2$. Но просто ковариация $X_1$ и $X_3$ такакя же как ковариация $X_5$ и $X_{42}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение05.12.2018, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
timetoti в сообщении #1359049 писал(а):
На основании чего вы сделали такой вывод? После того, когда мы вычеркиваем первое число, мы убираем из ряда распределения остальных число, которое вычеркнули, соответственно изменяется мат. ожидание и дисперсия чисел, которые мы вычеркнем после.

Вы, видимо, неверно понимаете, кто такие $X_i$. А это то число, которое получилось при $i$-м вычёркивании. Каждое из них принимает любое значение от $1$ до $N$ с вероятностью $\frac1N$. Распределения у $X_1,\ldots, X_K$ одинаковые:
$$\mathsf P(X_i = n) = \frac1N \text{ для любых } i=1,\ldots, K, \quad n=1,\ldots, N.$$
И вероятности двум вычеркнутым числами угодить в любую пару чисел от $1$ до $N$ тоже одинаковые:
$$
\mathsf P(X_i  = n, X_j = m) = \frac{1}{N(N-1)} \text{ для любых } i\neq j, n\neq m.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы случайных величин
Сообщение05.12.2018, 16:46 


30/11/18
9
Понял. Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group