Кинематика точки на кривой

[pogulyat_vyshel]

Зададим кривую на плоскости радиус-вектром как функцией натурального параметра: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(s),\quad |\boldsymbol r'(s)|=1.$
Штрихом обозначена производная по $s$.

Через $\boldsymbol n(s)$ обозначим единичный вектор, перпендикулярный вектору $\boldsymbol\tau(s):={\boldsymbol r'}(s)$ и такой , что пара $\boldsymbol\tau(s),\boldsymbol n(s)$ положительно ориентирована. Эта пара называется репером Френе плоской кривой (см Тайманов лекции по диф. геометрии).

Определим кривизну плоской кривой следующим образом

$$k(s):=\sigma |{\boldsymbol r''(s)}|,$$

Где $\sigma=1$, если пара ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ положительно ориентирована,
$\sigma=-1$ если пара ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ отрицательно ориентирована,
$\sigma=0$ если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы.


Предположим, что точка $A$ движется по данной кривой по закону $s=s(t)$ т.е. радиус-вектор точки $A$ на плоскости выражается формулой $\boldsymbol r_A(t)=\boldsymbol r(s(t))$.

Теорема. $\boldsymbol a_A=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k\boldsymbol n$.

Замечание 1. Первое слагаемое в правой части этой формулы называется тангенциальным ускорением, второе слагаемое -- нормальным ускорением точки $A$.
Ни каких ограничений (кроме требования гладкости) на функцию $s(t)$ не накладывается , в частности, ее производная может менять знак или быть тождественным нулем.

Замечание 2. В случае пространственных кривых, для корректного определения репера Френе приходится требовать линейную независимость векторов $\boldsymbol r',\boldsymbol r''$, а кривизна определяется несколько иначе: $k=|\boldsymbol r''|.$ Однако, теорема остается верной и в этом случае.

Замечание 3. В задачах механики бывает удобно считать параметр $s$ координатой на кривой. Т.е. отсчитывать его в обе стороны от некоторой точки кривой, в которой $s=0$. В этом случае параметр $s$ может принимать отрицательные значения.

[kotenok gav]

А что обсуждается?

[Walker_XXI]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):

Теорема. $\boldsymbol a_A=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k\boldsymbol n$.

Забыли дать определение $\boldsymbol a_A$.

[pogulyat_vyshel]

Walker_XXI в сообщении #1358830 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):

Теорема. $\boldsymbol a_A=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k\boldsymbol n$.

Забыли дать определение $\boldsymbol a_A$.

Ускорение точки А ,вестимо, :) относительно системы координат, в которой кривая покоится

[realeugene]

Сама кривая кусочно-гладкая, видимо, некоторого класса гладкости? В особых точках недифференцируемая по своему натуральному параметру? Т. е. условие $|\boldsymbol r'(s)|=1.$ задаётся вне особых точек? И тогда в особых точках никакие упомянутые вектора, кроме радиус-вектора, не определены?

Класс гладкости, видимо, всюду непрерывные и дважды кусочно-дифференцируемые кривые? Или дважды кусочно-непрерывно-дифференцируемые, чтобы определение ускорение получалось кусочно-непрерывным??

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):

$\sigma=0$ если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы.

Можно ли увидеть пример? $\boldsymbol{r}''\ne 0.$

[pogulyat_vyshel]

Munin в сообщении #1358945 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):

$\sigma=0$ если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы.

Можно ли увидеть пример? $\boldsymbol{r}''\ne 0.$

И я типо по правилам форумуа должен отвечать, потому что тема моя и участник заслуженный . ok Вопрос нерелевантен. Я не утверждал, что существуют кривые для которых ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ зависимы, причем $\boldsymbol r''\ne 0$. Очевидно, что таких кривых нет , достаточно продифференцировать тождество $|\boldsymbol r'|^2=1$. На корректности условия "если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы." это замечание ни как не сказывается.

(Оффтоп)

Вы еще раз меня убедили в том, что я правильно делаю игноря вас

[EUgeneUS]

Для сравнения, как вводится тангенциальное ускорение в некоторых учебниках общей физики.

Движение точки: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(t)$
Скорость точки: $\boldsymbol v = \frac{d\boldsymbol r(t)}{dt}$
Введем единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости: $\boldsymbol e_v = \frac{\boldsymbol v}{v}$
Тогда скорость точки можно записать так: $\boldsymbol v = v \boldsymbol e_v$ (1)
Найдем ускорение, продифференцировав (1) по времени:
$\boldsymbol a = \frac{d \boldsymbol v}{dt} = \frac {d v}{dt} \boldsymbol e_v + v \frac{d}{dt} \boldsymbol e_v$

Первое слагаемое называется тангенциальным ускорением.

1. Легко видеть, что если $v \ne 0$, то запись $\frac {d v}{dt} \boldsymbol e_v$ и запись $\ddot{s} \boldsymbol \tau$ задают один и тот же вектор.
2. Если $\dot{s} < 0$, то базисы, по которым раскладываем ускорение оказываются разными.
2.1. Однако, если везде $\dot{s} \ne 0$ (или что эквивалентно $v \ne 0$), то знак у $\dot{s}$ не меняется, и выбором натурального параметра можно добиться, чтобы везде было: $\dot{s} > 0$
3. Если в какой-то точке $\dot{s} = 0$, и кривая в этой точке не гладкая, то разложение ускорения на тангенциальное и нормальное не существует, в силу несуществования базиса.

Разногласия возникают в следующих случаях:

4. В точке, где $\dot{s} = 0$ кривая остается гладкой. Тогда $\ddot{s} \boldsymbol \tau$ - существует, а $\frac {d v}{dt} \boldsymbol e_v$ - не существует.
5. В точке, где $\dot{s} = 0$, $\dot{s}$ меняет знак. Тогда, если базисы до прохождения этой точки совпадали, то после прохождения этой точки будут различными.
5.1. Однако, пункт 1 всё равно будет оставаться в силе.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358948 писал(а):

Очевидно, что таких кривых нет

Спасибо, это я и хотел услышать. Мой вопрос был вызван тем, что от вас всегда можно ожидать подковырки на ровном месте.

pogulyat_vyshel в сообщении #1358948 писал(а):

Вы еще раз меня убедили в том, что я правильно делаю игноря вас

Странный вывод, если я всего лишь хотел уточнить, можно ли одно условие заменить другим. Как бы то ни было, спасибо за ответ.