Вопросик по тензорам 2 ранга.

[korney36]

Я нашёл определение скалярного произведения тензора на вектор. Но, к сожалению, там ничего не говорится про компоненты тензора. Используются так называемые вектора, из которых состоит тензор. Ну те самые, которые в геометрическом определении тензора 2 ранга есть. Например, тензор 2 ранга в двумерном пространстве можно изобразить через 2 вектора и тд.
Но если нам дан тензор 2 ранга своими компонентами, а не векторами, как я могу определить скалярное произведение тензора на вектор?
То есть, вот, например, заданы компоненты тензора:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Пусть компоненты будут не 2 раза ковариантными, а 2 раза контравариантными. Как тогда быть.
Как умножить скалярно его на вектор.
Была вроде теорема, что у тензора, заданного дважды ковариантными компонентами, компоненты состоят из координат векторов, которые мы можем увидеть в геометрическом определении тензора 2 ранга.
Вот там как раз можно извлечь вектора и воспользоваться скалярным произведением.
Помогите, пожалуйста, а то никак не понимаю!
Можно какой-нибудь пример с цифрами, а не формулами, если возможно.

[arseniiv]

korney36 в сообщении #1358515 писал(а):

Например, тензор 2 ранга в двумерном пространстве можно изобразить через 2 вектора и тд.

Неа. Можно представить элемент $U\otimes V$ как $\dim U$ элементов $V$ только если в $U$ выделен базис (например это координатное пространство $K^n$). Иначе такое представление неестественно. Если же говорится о компонентах тензора $A\in V\otimes V$ в некотором базисе $V$, то это тоже не будет «2 вектора», это будет набор чисел, которые можно бы интерпретировать как координаты некоторых векторов, но эти векторы будут меняться от базиса к базису.

korney36 в сообщении #1358515 писал(а):

Я нашёл определение скалярного произведения тензора на вектор. <…> Как умножить скалярно его на вектор.

А как бы вы умножали вообще, вот по найденному определению?

-- Пн дек 03, 2018 21:46:43 --

Вопросы потому что лично мне не попадалось никакого выделенного «скалярного произведения тензора на вектор». Видимо, под этим понимается обычное тензорное произведение с какой-то свёрткой, но лучше знать наверняка, а не гадать.

[Munin]

korney36 в сообщении #1358515 писал(а):

Я нашёл определение скалярного произведения тензора на вектор.

Где вы его нашли? И приведите его дословно.

[korney36]

arseniiv в сообщении #1358528 писал(а):

Вопросы потому что лично мне не попадалось никакого выделенного «скалярного произведения тензора на вектор». Видимо, под этим понимается обычное тензорное произведение с какой-то свёрткой, но лучше знать наверняка, а не гадать.

Я читаю учебник автора Ю.И. Димитриенко "Тензорное исчисление". Вот, как даётся геометрическое определение тензора второго ранга (скрин, чтобы не загромождать)
https://prnt.sc/lq7ub5
Вот, как определяется скалярное произведение тензора на вектор (ну или скалярное умножение):
https://prnt.sc/lq7w78
Видимо автор понимает, что базис декартов, поэтому без разницы, какие компоненты, дважды ковариантные или дважды контравариантные и он имеет ввиду скалярное умножение только в декартовом прямоугольном базисе? А если компоненты заданы не в декартовом базисе? То это считать, как свёртку тензора и вектора, ну например через разложение в диадном базисе? Просто там это не как свёртка записывается,а через скалярное произведение векторов (через скобочки и 2 вектора).

[Munin]

korney36 в сообщении #1358575 писал(а):

Я читаю учебник автора Ю.И. Димитриенко "Тензорное исчисление".

Выкиньте эту гадость немедленно куда подальше. Автор обманывает вас в каждом слове.

Тензоры обозначаются не так. Тензоры строятся не так. Операция называется не так - не "скалярным произведением" ни в коем случае, просто потому что результат не скаляр!

-- 03.12.2018 21:43:39 --

korney36 в сообщении #1358575 писал(а):

То это считать, как свёртку тензора и вектора

Да, фактически это свёртка тензора и вектора.

[korney36]

Munin в сообщении #1358585 писал(а):

Выкиньте эту гадость немедленно куда подальше. Автор обманывает вас в каждом слове.

Тензоры обозначаются не так. Тензоры строятся не так. Операция называется не так - не "скалярным произведением" ни в коем случае, просто потому что результат не скаляр!

-- 03.12.2018 21:43:39 --
Да, фактически это свёртка тензора и вектора.

Всё, спасибо, теперь я понял, что такое тензоры полностью. И никаких скалярных умножений нет. Есть лишь свёртки, поднятие, опускание индексов, тензорное умножение, умножение на число, сложение и тд. А то реально автор путает читателя, пойду лучше другой учебник почитаю, хорошо, что я его не купил). И смысл так материал подавать...

[arseniiv]

(Запоздалый пост.)
М-да, неужели автор книги решил, что так получится быстрее и понятнее, чем более привычным способом…

Действительно, вероятнее всего, записи $[\mathbf e_1\,\mathbf a\,\mathbf e_2\,\mathbf b]$ соответствует в привычной записи тензор $\mathbf e_1\otimes\mathbf a + \mathbf e_2\otimes\mathbf b$ (в индексах $(\mathbf a\otimes\mathbf b)^{ij} = a^ib^j$), а те его произведения в индексной записи будут $(T\cdot\mathbf v)^i \equiv T^{ij}g_{jk}v^k$ и $(\mathbf v\cdot T)^i \equiv v^jg_{jk}T^{ki}$. Но раз у человека уже с самого начала пространство евклидово, не понимаю, почему бы не рассматривать только линейные операторы: они будут взаимно однозначно соответствовать любым тензорам второго ранга, и изображать их можно так же (некий базис и куда он переходит), и притом не нужно скалярное произведение в операции втыкать, останутся просто применения оператора к вектору и сопряжённого оператора к соответствующему ковектору.

P. S. Можно же было заскриншотить только непосредственно страницы? Вроде все программы это позволяют.

Munin в сообщении #1358585 писал(а):

Тензоры обозначаются не так. Тензоры строятся не так.

Ну в принципе никто не запретит, но это всё ходить за спичками через китай. «Скалярное» в названии тоже можно объяснить, не по типу результата, а по тому, что внутри используется скалярное произведение, хотя выбор слов действительно неудачный.

korney36 в сообщении #1358594 писал(а):

Есть лишь свёртки, поднятие, опускание индексов, тензорное умножение, умножение на число, сложение и тд.

Да и поднятие с опусканием — это тоже свёртки с метрическим тензором $g$ (скалярным произведением). Умножение на число в принципе тоже можно считать тензорным умножением на скаляр: скаляр ведь тоже частный случай тензора, как и вектор.

[korney36]

Ну да, по смыслу всего 2 операции в тензорном исчислении: свёртка (понижающая ранг тензора) и тензорное произведение (повышающее ранг тензора). Спасибо Вам, Вы меня из дизморали вытащили, а то я думал, что совсем уже тупой стал, а это просто я учебник из Википедии не совсем хороший выбрал. (Просто в Википедии внизу каждой статьи выскакивают списки литературы...)

[Geen]

arseniiv в сообщении #1358598 писал(а):

Да и поднятие с опусканием — это тоже свёртки с метрическим тензором

А почему именно с метрическим?

[Munin]

Так сложилась традиция. С другими тоже пробовали - получались не поднятия с опусканиями, а фигня какая-то :-)

[Geen]

Нет, с точки зрения физики всё понятно - минимально-достаточный вариант.
А "математически"?...

[arseniiv]

Кажется, понял вопрос. Чтобы опустить/поднять индекс, надо свернуть с билинейной формой на $V$/$V^*$. Чтобы это было сколько-то естественным, надо чтобы форма была естественной. Совсем естественной для любого пространства нету, смотрим другие: скалярное произведение, симплектическая форма, вообще произвольная билинейная форма (или может невырожденная). Про пространства с последней я ничего интересного не знаю, а первый вариант мы уже видели — посмотрим на симплектическую. Опускания-поднятия через неё будут удовлетворять $a^ib_j + a_ib^j = 0$. Почему такое не используется — наверно, потому что пространства со скалярным произведением и (псевдо)римановы многообразия разошлись широко первее и заняли обозначение, плюс, возможно, потому что к нечётномерным пространствам симплектическую структуру не приделаешь, а скалярное произведение некапризное. Всё это мои личные догадки.

-- Вт дек 04, 2018 03:24:57 --

Ну и ещё эрмитовы формы, конечно, популярны. Не знаю, используют ли их с индексной записью. Если да, наверняка опускают и поднимают ими.

[Geen]

arseniiv в сообщении #1358655 писал(а):

Кажется, понял вопрос.

Примерно - вопрос был не настолько суров

arseniiv в сообщении #1358655 писал(а):

Совсем естественной для любого пространства нету, смотрим другие: скалярное произведение

Так с чего бы скалярное произведение в одном пространстве, а метрика в другом - это естественно?

-- 04.12.2018, 01:30 --

Более того, когда переходят к "возмущениям" от этого отказываются...

[Munin]

Geen в сообщении #1358658 писал(а):

Так с чего бы скалярное произведение в одном пространстве, а метрика в другом - это естественно?

Как это? Оба в одном.

arseniiv в сообщении #1358655 писал(а):

Почему такое не используется

Используется, только не называется опусканием-поднятием. Там лишний минус приводит к тому, что надо сделать гимнастику два раза, чтобы вернуться в исходную точку.

[arseniiv]

Поднятие и опускание даст минус? Интересно! (Симплектическая структура прошла мимо меня.)

-- Вт дек 04, 2018 04:15:53 --

(Кстати а там вообще есть естественный способ получить симплектическую форму на ковекторах? Вдруг знак нельзя выбрать. А я тут про поднятие индексов.)

-- Вт дек 04, 2018 04:17:51 --

Кстати недавно узнал из книжки про квантовые поля (про поля ничего так и не понял, всё страшно) естественные ортогональную и симплектическуе структуры на $V\oplus V^*$. Раньше вообще не догадался бы взять сумму $V$ и $V^*$. Упражнение для тех кто не знал тоже: теперь можете вывести!

-- Вт дек 04, 2018 04:18:56 --

Надеюсь, не поругают за оффтоп.