2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение01.12.2018, 18:45 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Давать тут общие для всех оценки - бессмысленно.

Да, так же бессмысленно, как давать учебникам оценку с точки зрения читателя вообще. Можно конечно по некоторым более объективным критериям отнести учебник к хорошим, средним или плохим так, чтобы это не было уж слишком условно.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
И помимо этого, главное качество учебника по физике - быть учебником по физике.

Вот с этим точно не поспоришь. Интересно, существуют ли какие-то учебники по физики для математиков (хотя я не могу найти веские причины, по которым математикам нужна физика, математика в моем понимании является наукой самодостаточной вроде замкнутой системы). Где математика как-бы выносится на передний план, а из физики берутся только экспериментальные данные, которые входят в качестве "аксиом". Т. е. в таком случае, физика для математиков была бы математикой, в которой есть аксиомы, связанные с экспериментами.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
С другой стороны, не стоит слепо бросаться следовать советам типа "не учитесь этому по учебнику физики, читайте учебник по математике". Зависит от ваших целей.

Да, необъятного не обнять. У меня иногда бывает такое, что читаю что-то "математическое" в учебнике по физике и это меня так интересует, что мне просто интересно и хочется узнать об этом больше, более обобщенно или строго, что-то в таком роде. Нравится красота математики сама по себе.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Ой, кошмар-кошмар-кошмар.

Теорему Гаусса к этому моменту читатель должен был увидеть уже много раз в разных местах.

Я имел ввиду, что не читал о теореме Гаусса где-то ещё именно в тензорной формулировке. В векторном виде я её воспринимаю.
$$\int\operatorname{div}\vec{A}dV=\oint\vec{A}d\vec{S}$$
Нам её выводили в курсе векторного и тензорного анализа через предел там, объем стремится к нулю и т. д., правда я не отчетливо помню как это делается, но думаю, что в этом разобраться в моих силах, нужна только мотивация. А вот формулу Грина я помню сам выводил, она меня как-то заинтересовала, когда проходили кратные и криволинейные интегралы. Да с формулой Гаусса в векторном виде я не раз встречался, например, в уравнениях Максвелла при переходе от дифференциального к интегральному виду или для получения уравнения непрерывности, кажется. Сложность в тензорном виде этой формулы наверное связанна кроме всего с тем, чтобы представить площади и объемы в "тензорном виде". Хотя я где-то читал (и убеждался в этом), что тензор Левы-Чивиты связан с векторным произведением, определителем и т. д. и я понимаю, почему так получается. А там и к площадям рукой подать. Просто понимаю я это не на том уровне на котором бы хотелось. Т. е. я понимаю на уровне типа "вектор площади задается вектором нормали, модуль площади это модуль векторного произведения, т. е. определитель (если векторы трёхмерные), а если расписать определитель, то возникнут плюсы и минусы, а они есть в компонентах тензора Левы-Чивиты и т. д., т. е. у меня такие интуитивные соображения". Или все просто и векторную формулу Гаусса можно получить из тензорной формулы Гаусса, рассматривая только пространственные компоненты, впрочем этим я сейчас и должен занятся, это последний переход между формулами в ЛЛ-2 о котором вы мне говорили. Теорему Гаусса пока оставим, я хочу сначала сам подумать как получить её в тензорном виде и потом напишу. Я и так вместо того, чтобы читать учебники и заполнять пробелы, наверное, отвлекаю всех своими элементарными вопросами. Понимаю что это не эффективно. Спрашивать нужно отдельные технические или идейные моменты после прочтения их в книге, а не пытаться выучить целые главы математики на форуме :) Но часто меня заносит.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Если вы не прошли предварительно курсов матана, линала и общей физики - вам читать ЛЛ просто рано.

Линар, матан учил преимущественно по учебникам Ильина и Позняка. Ещё аналит. геометрию. Общую физику кроме лекций читал в некоторых учебниках (на младших курсах читал больше украинские учебники, потом перешел на русскоязычные). Сейчас могу сказать, что наиболее основательно из курса общей физики разобрал механику (1-й том Сивухина). И то в механику упругих тел, жидкостей и газов особенно не углублялся (не интересовало). Интересно, что математику я разбирал по учебникам больше чем общую физику.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Это можно делать самопально при наличии интереса, времени и сил, для поддержки и развития мотивации, но не как часть полноценного процесса обучения.

Да, вот чем чем, а полноценным поцессом обучения я точно похвастаться не могу. Это беда. Вроде знаю не так и мало. Некоторые вещи даже вполне строго, но систематизации нет. И время вернуть уже нельзя. Слишком поздно понял. Но есть желание, нравится, приносит удовольствие. Мало что так радует.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
до получения диплома, и после

Вы имеете в виду диплом магистра? У меня уже два с половиной месяца как первый курс аспирантуры.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Попробуйте расписать это по компонентам. Очень полезно.

Да я и расписывал. Получается. Я вообще все те тензорные формулы расписывал по компонентам а потом собирал в векторное и скалярное уравнение, когда проверял те переходы между формулами что вы дали.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
(Это частный случай такого факта: в $n$-мерном пространстве с метрическим тензором, можно антисимметричному тензору ранга $(n-1)$ поставить в соответствие дуальный ему вектор. Потренируйтесь ещё на $n=3,2,1.$)

Да, это мне понятно, логично, прозрачно. Главное не забывать в тензоре $\varepsilon^{ik...l}$ индексы дописывать.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Нет, это и есть готовое уравнение для $A_{ikl},$ а величины $a^p$ считаются известными (4 числа). Здесь 4 уравнения, и если мы знаем, что $A_{ikl}$ полностью антисимметричный, то это условие даёт нам ещё 60 уравнений, и всего получится 64 уравнения, задающих 64 элемента тензора (из них 40 нулевых, и остальные 24 образованы всего четырьмя числами со знаками $\pm$).

Интуитиво кажется понял!
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Да, но это нулевой случай. Интереснее ненулевой.

Ааа, я ошибся. Я просто хотел обозначить левую часть (26.5) буквой $A_{ikl}$, а потом сказать, что (26.6) перейдет в $\varepsilon^{pikl}A_{ikl}=0$, но это неверно.
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Общая схема такая: полностью антисимметричный тензор ранга $r$ дуален полностью антисимметричному же тензору ранга $n-r,$ где $n$ - размерность пространства. Это ещё называют "дуальность Ходжа" или "звёздочка Ходжа" (Hodge star) по обозначению звёздочкой (в ЛЛ-2 в верхнем индексе, а в нотации внешних форм - перед формой = тензором).

Очень интересно. А бываю ещё какие-то виды дуальности, т. е. чтобы не было обязательно "$n-r$"? Т. е. чтобы можно было, например, полностью антисимметричному тензору ранга 3 размерности 4 соотнести дуальный тензор ранга 2, но тогда уже тензор Леви-Чивиты не подойдет, можно ли какой-то другой ввести и т. д.

Внешнее произведение, внешний дифференциал, звёздочка Ходжа и многие другие интересные вещи я никак не могу начать осваивать из-за отсутствия мотивации или просто тупости. Хотя мне иногда кажется, что это мне под силу, нужно только каждый день этим заниматься. Непонятное состояние. С одной стороны хочется, интересно, нужно (в смысле, есть желание, значит нужно разбирать), возможно (да и дел то других не так много) и т. д., а с другой - этого не делаешь. Не прилагаешь усилий. Не понимаю, почему так происходит. Не понимаю, почему нельзя просто составить график и читать по нему. Это кажется так просто.

Соглашения да, важны.

-- 01 дек 2018, 17:55 --

Да и понятно, откуда $\sqrt{-g}$ под интегралом берется. Это якобиан, который делает елемент интегрирования инвариантным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение01.12.2018, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Интересно, существуют ли какие-то учебники по физики для математиков (хотя я не могу найти веские причины, по которым математикам нужна физика, математика в моем понимании является наукой самодостаточной вроде замкнутой системы).

Есть, но очень-очень редко.

Есть по (теоретической) механике
Арнольд. Математические методы классической механики.
есть по квантовой механике
Фаддеев, Якубовский. Лекции по квантовой механике для математиков.
Учебников по теории поля, по статфизике, по квантовой теории поля, по физике конденсированного состояния - нет вообще. По гидродинамике, по ОТО (это традиционно очень математизированные разделы) - кажется, какие-то есть, но я не знаю конкретных.

Есть ещё пятитомник
Сарданашвили. Современные методы теории поля. Том 1. Геометрия и классические поля.
Сарданашвили. Современные методы теории поля. Том 2. Геометрия и классическая механика.
Сарданашвили. Современные методы теории поля. Том 3. Алгебраическая квантовая теория.
Сарданашвили. Современные методы теории поля. Том 4. Геометрия и квантовые поля.
Сарданашвили. Современные методы теории поля. Том 5. Гравитация.
на мой взгляд, совершенно зубодробительный и непрожёвываемый. Отзывов математиков на него я не знаю.

Как видите, математики остаются совершенно физически невежественны :-) Что гораздо хуже, нет никаких книг для математиков, которые учили бы их физическому типу мышления, в результате чего математики часто пребывают в иллюзии, что их подход - единственно правильный, и поэтому можно смотреть на физиков свысока.

Физика на самом деле (то есть, для физиков) - это не "математика, в которой есть аксиомы, связанные с экспериментами". На эту тему на этом форуме (как впрочем и много где ещё) велись разговоры, их можно поискать.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
У меня иногда бывает такое, что читаю что-то "математическое" в учебнике по физике и это меня так интересует, что мне просто интересно и хочется узнать об этом больше, более обобщенно или строго, что-то в таком роде. Нравится красота математики сама по себе.

Это хороший стимул. Тут надо идти в математический раздел форума, читать «Литература по математике», и спрашивать советов у математиков.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Сложность в тензорном виде этой формулы наверное связанна кроме всего с тем, чтобы представить площади и объемы в "тензорном виде".

Тут это просто непривычность языка. Ну смотрите:
$$\int\operatorname{div}\vec{A}\,dV=\oint\vec{A}\,d\vec{S}\qquad\int\Bigl(\dfrac{\partial}{\partial x^i}A^i\Bigr)\,dV=\oint A^i\,dS_i.$$ Тут легко просто установить взаимное соответствие между векторным языком и тензорным языком, а сказано-то одно и то же. Но зато тензорная формула легко обобщается (в плоском пространстве!):
$$\int\Bigl(\dfrac{\partial}{\partial x^i}A^{ijk...}\Bigr)\,dV=\oint A^{ijk...}\,dS_i,$$ чего с векторной формулой так просто не сделаешь. Ну и истинность в любой размерности тоже очевидна - надо только $dS_i$ правильно понимать как элемент гиперповерхности коразмерности 1, к которому проведена внешняя нормаль, и отложен (ко)вектор длины, равной площади этого элемента (а площадь можно посчитать, представив элемент как натянутый на $(n-1)$ векторов, и взяв от них объём).

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Общую физику кроме лекций читал в некоторых учебниках (на младших курсах читал больше украинские учебники, потом перешел на русскоязычные). Сейчас могу сказать, что наиболее основательно из курса общей физики разобрал механику (1-й том Сивухина).

Кстати, "общую физику" я сказал для всего цикла Ландау-Лифшица, а кроме того там есть внутренние dependencies:
    ЛЛ-1ЛЛ-2, ЛЛ-3, ЛЛ-5, ЛЛ-6, ЛЛ-7
    ЛЛ-2, ЛЛ-3ЛЛ-4
    (ЛЛ-3) → ЛЛ-5
    ЛЛ-2, ЛЛ-5, (ЛЛ-6) → ЛЛ-8
    ЛЛ-3, ЛЛ-5, (КТП), (ЛЛ-6) → ЛЛ-9
    то же + ЛЛ-2 + КТП → ЛЛ-10
примерно так.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Вы имеете в виду диплом магистра?

Магистра, специалиста...

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Да я и расписывал. Получается. Я вообще все те тензорные формулы расписывал по компонентам а потом собирал в векторное и скалярное уравнение, когда проверял те переходы между формулами что вы дали.

Отлично, это хорошее упражнение, позволяет понять смысл тех общих формул, которыми вы манипулируете, наполнить их "мясом", и убедиться, что вы всё делаете правильно.

Ещё предлагаю вам разобрать (с воспроизведением выкладок) ЛЛ-2 § 41. Мультипольные моменты. В том числе, там где там написано
    Цитата:
    Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (41.1)...
- не поленитесь и сделайте это до 3-го члена, или даже до 4-го. (Разумеется, и 0-й и 1-й члены тоже надо перепроверить.) Это будет полезная тренировка в тензорах, и вы увидите, где они начинают давать преимущество перед векторами. Для этого параграфа справочник по полиномам Лежандра и сферическим функциям надо смотреть в ЛЛ-3: дополнение § c, основной текст § 28, § 27.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Интуитиво кажется понял!

Попробуйте ещё разобраться с этими 60 уравнениями. По сути, они все исчерпываются вот такими: $A_{ikl}=-A_{kil},\quad A_{ikl}=-A_{ilk},$ но тут их 80, значит, некоторые из них не являются линейно независимыми. Вот я с утра попытался сегодня понять какие, но махнул рукой :-) А вам стоит довести это упражнение до конца.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Ааа, я ошибся. Я просто хотел обозначить левую часть (26.5) буквой $A_{ikl}$, а потом сказать, что (26.6) перейдет в $\varepsilon^{pikl}A_{ikl}=0$, но это неверно.

Для (26.5) есть такое обозначение - квадратные скобки вокруг нескольких индексов означают антисимметризацию по всем перестановкам этих индексов:
$$(\partial_{[i}F_{kl]}\equiv)\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}F_{kl]}=0.$$ И тут оказывается, что
$$A_{[ikl]}=-\tfrac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}.$$
misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Очень интересно. А бываю ещё какие-то виды дуальности, т. е. чтобы не было обязательно "$n-r$"?

Кажется, нет: другие пары объектов просто образуют линейные пространства разных размерностей, и не могут быть соотнесены. (То есть, у них разное число независимых компонент.) А вот размерности полностью антисимметричных тензоров - биномиальные коэффициенты $C_n^r,$ и для них $C_n^{n-r}=C_n^r.$

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
я никак не могу начать осваивать из-за отсутствия мотивации

Это бывает. Или ищите мотивацию целенаправленно, или ждите, что она сама придёт (например, из какой-либо практической задачи), или махните рукой. Не всё же надо знать на свете. Может, для вас ценнее что-то другое копать, например, квантовую теорию, или деревянную духовую музыку 17 века.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение01.12.2018, 22:50 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1190
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
по статфизике

По-моему я видел за авторством Зорича электронное издание. Но это мне нужно искать у себя. Позже, возможно, найду и скажу.

Munin в сообщении #1358021 писал(а):
есть по квантовой механике
Фаддеев, Якубовский. Лекции по квантовой механике для математиков.

Эту книгу ещё можно относительно спокойно читать. А вот есть ещё книга Л. Тахтаджяна "Квантовая механика для математиков". Вот где праздник чистого духа... Впрочем, это без претензий к автору, а с претензиями к себе, что тяжело эту книгу читать :-)

-- 01.12.2018, 22:51 --

Munin в сообщении #1358021 писал(а):
деревянную духовую музыку

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Простите, я не очень в курсе, как называется музыка, исполняемая деревянными духовыми инструментами (гобой, кларнет, фагот etc).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 05:52 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1190
В общем, нашёл я то пособие Зорича, о котором упоминал выше. Называется "Некоторые математические аспекты термодинамики".

Зорич в аннотации писал(а):
Этот текст в основном адресован математикам, у которых с физической подготовкой дела обстоят ещё хуже, чем у автора.

В предисловии же сказано
Цитата:
Решение и обсуждение задач, которые мы предложим ниже, поможет математику освежить содержание и возможности ряда математических понятий и фактов, увидев их в работе. Физикам это же может прояснить содержание математических формулировок фундаментальных начал термодинамики, а также возможности и ценность соответствующего математического аппарата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 08:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
(Это частный случай такого факта: в $n$-мерном пространстве с метрическим тензором, можно антисимметричному тензору ранга $(n-1)$ поставить в соответствие дуальный ему вектор. Потренируйтесь ещё на $n=3,2,1.$)
Ориентированном! Тут зависимость от ориентации кроется внутри псевдотензора $\varepsilon$. Ну или требование выбрать ориентацию убираем, и результатом будет псевдовектор. Вы-то знаете, а ТС может запутать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 13:21 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
arseniiv, вы имеете ввиду, что нужно ещё принять соглашение, например, $\varepsilon^{012...n-1}=+1$, да? Тогда результатом будет вектор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
arseniiv
Спасибо за уточнение!

Eule_A
Спасибо!

Но хотел бы подчеркнуть (видимо, в основном для математиков), что термодинамика и статфизика - весьма разные вещи (хотя бы по содержанию учебных курсов, традиционно носящих эти названия).

-- 02.12.2018 14:18:32 --

misha.physics
Вспомнил совсем простое упражнение.

1. Возьмите тензорную производную от векторной напряжённости ньютоновского гравитационного поля, создаваемого точечным телом.
2. Объясните связь полученного результата с приливными силами.
3. Объясните, почему след результата равен нулю.
4. Возьмите тензорную производную от поля внутри шара однородной плотности. Интерпретируйте результат.

Это, пожалуй, ещё до § 41. Мультипольные моменты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 14:41 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
Munin, хорошо, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 17:09 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1190
Munin в сообщении #1358135 писал(а):
Но хотел бы подчеркнуть (видимо, в основном для математиков), что термодинамика и статфизика - весьма разные вещи

Это да. Только Зорич у себя касается и статистики в немалой степени, так что название его книги можно было бы и расширить, но тут уж как автор решил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
misha.physics в сообщении #1358120 писал(а):
arseniiv, вы имеете ввиду, что нужно ещё принять соглашение, например, $\varepsilon^{012...n-1}=+1$, да? Тогда результатом будет вектор?
Не совсем так. Тут хитрая разница. Принимается, что $\varepsilon^{012...n-1}=+1$ в правом базисе (и что в левом все компоненты с обратным знаком), так что если мы примем это соглашение, мы просто ограничимся рассмотрением правых базисов (что, вообще говоря, и не нужно, и странно), а ориентация пространства* у нас уже и так была выбрана (это она и даёт нам отличать правые базисы от левых). Ориентация же и даёт нам приравнять псевдоскаляры и скаляры и т. п.**; смена ориентации меняет знак одной из частей в этом равенстве.

* Вообще у ориентации [всего векторного пространства целиком, или внутренняя ориентация какого-то его подпространства, рассматриваемого отдельно от всего остального; у подпространств ещё бывает внешняя ориентация, и здесь она не описывается; не рассматриваются и ориентации многообразий] есть точное определение, и наверняка оно вам что-нибудь да упростит в ощущениях, если раньше его не знали. А именно, рассмотрим все $n$-формы, то есть антисимметричные функции $n$ векторов со скалярными значениями, линейные по каждому аргументу, кроме тождественно нулевой. Будем считать две такие функции эквивалентными, если одну из них можно получить из другой умножением на положительный скаляр. Ориентация — это $n$-форма с точностью до такой эквивалентности. Также можно считать, что это $n$-вектор с точностью до такой эквивалентности (одно определяет другое однозначно). Мы можем взять упорядоченный набор $n$ векторов и засунуть в эту $n$-форму, или «поделить» их внешнее произведение на этот $n$-вектор (в одномерных пространствах это можно: если $\vec v\ne\vec0$ и $\vec u = \lambda\vec v$, можно считать $\vec u/\vec v = \lambda$) — если получится положительное число (не важно какое, потому что у нас из-за определения всё выходит с точностью до знака, и для того оно так и выбрано), то набор векторов ориентирован «правильно», и если отрицательное, «неправильно» (и если ноль, как минимум один из них был нулевой).

Это может показаться немного тяжеловесным, но даёт конкретный геометрический объект; а когда у нас есть скалярное произведение (пойдёт только обычное, положительно определённое!) или норма (то же ограничение, никаких псевдонорм), можно выбрать в качестве ориентации единичный элемент соответствующего класса. Определение выше уважает геометрическую интуицию, что ориентация — это нечто, при невырожденном линейном преобразовании пространства умножающееся на знак его определителя.

Ещё надо добавить, что в общем случае ориентация не бывает сама по себе правая или левая. Мы можем зафиксировать одну из них как правую, а другую как левую, когда говорим о вещах, близких к телу, но в достаточно абстрактных пространствах это уже может не получиться сделать естественным образом, да и пользы от такого не будет, будут просто две ориентации без особых имён, как два направления какой-нибудь произвольной кривой.

** Можно усилить. Любую псевдоштуку можно получить формальным умножением некоторой штуки на ориентацию, и наоборот, умножение на ориентацию два раза даёт просто умножение на +1 или на −1 (в зависимости от того, была это одна и та же ориентация или противоположные).


Боюсь, я запутал, но будем верить в то, что не. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
arseniiv
Не путайте $\varepsilon$ Леви-Чивиты и форму объёма. Вторая меняет знак в разных базисах, но и вообще её величина зависит от базиса. Первая во всех базисах одинакова. (По крайней мере, именно так в ЛЛ-2, и это будет привычней ТС.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение02.12.2018, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Да, то-то мне что-то не нравилось, когда писал… Даже если оставить смену знака $\varepsilon$ в базисе другой ориентации, действительно проблемно, что там в любом базисе $\pm1$. Щас ещё подредактирую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 01:09 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
(Это частный случай такого факта: в $n$-мерном пространстве с метрическим тензором, можно антисимметричному тензору ранга $(n-1)$ поставить в соответствие дуальный ему вектор. Потренируйтесь ещё на $n=3,2,1.$)

Случай $n=3$ разобрал. И нулевой и ненулевой случаи. Понял. Красиво. Удобно. Случай $n=2$ тривиальный. И нулевой и ненулевой. А в каком смысле можно (если можно) говорить об антисимметричном тензоре 1-го ранга? Там же индексы не переставить. Тот же вопрос и к случаю $n=1$. Там ещё проще, одно уравнение. Скаляр. Инвариант.
Я понял, что такое соответствие (дуальность) получается потому что и тензор $A_{ik...r}$ и $\varepsilon^{mn...l}$ полностью антисимметричны и получается как-бы корреляция. Кстати, а можно чтобы компоненты $\varepsilon^{mn...l}$ не обязательно брать $1, -1, 0$? Можно ли ограничится только полной антисимметричностью. Т. е. возьмем $3, -3, 0$. Но тогда были бы изменения. Например $x^0=\varepsilon^{012}F_{12}+\varepsilon^{021}F_{21}$, и если $\varepsilon^{012}=+3$ и $F_{ik}=-F_{ki}$, то $F_{12}=\frac{1}{6}x^0$. А если взять $\varepsilon^{012}=+1$, то получим $F_{12}=\frac{1}{2}x^0$. И условие $F_{ik}=-F_{ki}$ вроде никак не изменить. Можно ли это как-то обойти, или обязательно брать $\varepsilon^{012}=+1$, или это просто соглашение? Мне кажется, что просто соглашение и его просто нужно всюду соблюдать (или потом пересчитывать).
Munin в сообщении #1357959 писал(а):
Общая схема такая: полностью антисимметричный тензор ранга $r$ дуален полностью антисимметричному же тензору ранга $n-r,$ где $n$ - размерность пространства.

Это очень интересно! Пусть $n=4$, $r=2$, тогда $A_{ik}$ дуален $B^{mn}$ и $B^{mn}=\varepsilon^{mnik}A_{ik}$ и, например, $B^{01}=2A_{23}$. Кажется я понял важность антисимметричных тензоров, их компоненты не независимы и это удобно использовать!
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
Тут это просто непривычность языка. Ну смотрите:
$$\int\operatorname{div}\vec{A}\,dV=\oint\vec{A}\,d\vec{S}\qquad\int\Bigl(\dfrac{\partial}{\partial x^i}A^i\Bigr)\,dV=\oint A^i\,dS_i.$$ Тут легко просто установить взаимное соответствие между векторным языком и тензорным языком, а сказано-то одно и то же.

Да, действительно то же самое.
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
(а площадь можно посчитать, представив элемент как натянутый на $(n-1)$ векторов, и взяв от них объём)

Что-то не до конца понял. Пусть $n=3$, обычное пространство. Тогда
$$\int\operatorname{div}\vec{A}dV=\oint\vec{A}d\vec{S}$$
Под "площадью" вы понимаете модуль вектора $d\vec{S}$? И что его можно представить как елемент (векторного пространства) натянутый на 2 вектора (типа как площадь параллелограмма)? А в каком смысле от векторов взять объём?
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
По сути, они все исчерпываются вот такими: $A_{ikl}=-A_{kil},\quad A_{ikl}=-A_{ilk},$

Да, и ещё $A_{ikl}=-A_{lki}$ :)
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
некоторые из них не являются линейно независимыми. Вот я с утра попытался сегодня понять какие, но махнул рукой :-) А вам стоит довести это упражнение до конца.

А, это мне очевидно, будет всего 4 независимые компоненты и такие, что не все индексы у них равны (потому что есть четыре компоненты 4-вектора и для каждой из компонент мы фиксируем один (первый) индекс $p$ в $\varepsilon^{pikl}$), т. е. можно назвать, например, такую линейно независимую четверку
$$A_{123}, A_{023}, A_{013}, A_{012}$$
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
Для (26.5) есть такое обозначение - квадратные скобки вокруг нескольких индексов означают антисимметризацию по всем перестановкам этих индексов:
$$(\partial_{[i}F_{kl]}\equiv)\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}F_{kl]}=0.$$

Ааа, значит здесь ещё подразумевается суммирование всех этих перестановок.
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
Это бывает. Или ищите мотивацию целенаправленно, или ждите, что она сама придёт (например, из какой-либо практической задачи), или махните рукой.

2-е и 3-е мне далеко. Вряд ли практическая задача может меня мотивировать, мне больше нравится теоретическая часть сама по себе, это красиво и интересно для меня. Махнуть рукой не хочу, это как просто попрощаться с тем, что приносит тебе удовольствие. На счёт целеноправленного поиска мотивации, то я, похоже, снова плохо выразился. Может это у меня не отсутствие мотивации (т. к. я понимаю, что хочу этого просто для себя, что нужно чем-то заниматься интересным [и что приносит настоящее удовольствие] чтобы занять чем-то свою конечную жизнь), а какое-то состояние, когда просто вот так как-то :) Как-бы понимаешь как хочеш и чего хочешь, но откладываешь в мыслях на потом. Или просто лень больше начала ощущатся. Помню, когда где-то вначале 2-курса разбирал технику интегрирования, то где-то пол дня мог сидеть за этими примерами. Ещё как-то разбирал механику по учебнику, старался делать выкладки. Меня немного пугает, почему в других случаях осознавания понимания, что этого хочется, этого не делается.
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
Не всё же надо знать на свете.

Конечно, иначе просто невозможно. Просто я пока ничего интереснее математики и физики для себя не находил. Так что я лучше махну рукой на какие-то другие радости жизни :)
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
Может, для вас ценнее что-то другое копать, например, квантовую теорию

Что касается физики (и даже математики), то хочется изучать (просто для себя) разные её разделы (какие-то больше, какие-то меньше). Захватывают те накопленные знания, методы или идеи, которые были полученны людьми, занимающимися в этих областях. Я, конечно, не пробовал изучать биологию или историю, может они мне бы понравились, но мне полностью нравится то, чем я занимаюсь сейчас. Мне кажется "нелогичным" бросать то, что приносит удовольствие уже сейчас (даже если местами это для меня сложно и непонятно, но я воспринимаю эту сложность больше как плюс) чтобы попробовать делать что-то другое. (Уже было, что начинал изучать теорию музыки [учился играть на гитаре и пианино], изучал теорию шахмат по книгам, психологию читал и т. д.), но заканчивалось тем, что это отнимало время и в сравнении я понимал, что физика и математика дает мне в разы больше. Раньше меня пугало, что круг моих интересов не очень велик, но потом понял, что ещё страшнее для меня знать обрывки чего-то из всего. Т. е. знать ничего про все. Дилетантизм в какой-то деятельности меня очень пугает.

arseniiv,
arseniiv в сообщении #1358204 писал(а):
Не совсем так.

Да, мне уже кажется, что я здесь
misha.physics в сообщении #1358120 писал(а):
arseniiv, вы имеете ввиду, что нужно ещё принять соглашение, например, $\varepsilon^{012...n-1}=+1$, да? Тогда результатом будет вектор?

глупость написал.
arseniiv в сообщении #1358204 писал(а):
Боюсь, я запутал, но будем верить в то, что не. :-)

Спасибо :) Да, я честно говоря, раньше о таком даже не слышал. А если и слышал, то отдельные слова. Из всего этого помню только как читал о псевдотензорах и разбирал, почему векторное произведения (как простейший пример) является псевдовектором. Но на том уровне, на котором вы все это изложили я пока к сожалению (и своему стыду) не в состоянии понять это. У меня мышление просто не воспринимает такие предложения, но мне бы хотелось когда-то понимать такое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Ну это так на будущее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group