Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1357843 писал(а):

Поясните пожалуйста, почему Вы решили, что я не понимаю, о чем говорю ?

я вроде не вас обсуждал, а математические разделы в книжках по физике

[misha.physics]

Т. е. хотелось бы не просто, образно говоря, уметь поднимать и опускать индексы у тензоров, свертывая их с компонентами метрического тензора, а понимать, почему это происходит именно так, что, например:

$$(dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2=dx_0dx^0+dx_1dx^1+dx_2dx^2+dx_3dx^3=g_{ik}dx^idx^k$$

$g_{00}=1, g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$.

Т. е. не хочу, чтобы для меня операция поднятия и опускания индексов была каким-то волшебным непонятным рецептом. Так и с другими математическими "вещами" в физике. Да и если забыть о физике, то меня математика местами сама по себе интересует.

-- 30 ноя 2018, 20:56 --

Ой, это мое сообщение следует рассматривать как дополнение к моему предыдущему.

-- 30 ноя 2018, 21:00 --

И в примере с интервалом я хотел показать, что операцию поднятия и опускания индексов я понимаю чуть больше, чем просто непонятное правило. Просто мне показалось, что я там неясно выразился.

[vpb]

pogulyat_vyshel в сообщении #1357844 писал(а):

я вроде не вас обсуждал, а математические разделы в книжках по физике

Тогда жаль, что Вы так двусмысленно выразились, что я воспринял написанное вами на свой счет.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1357845 писал(а):

Т. е. не хочу, чтобы для меня операция поднятия и опускания индексов была каким-то волшебным непонятным рецептом. Так и с другими математическими "вещами" в физике.

Есть книжка
Анго. Математика для  каких-то там  электро- и радиоинженеров.

[misha.physics]

Munin, да, есть у меня, когда-то узнал о ней здесь.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну а какое там у подъёма или опускания индекса может быть особое понимание кроме того, что это действительно свёртка со скалярным произведением, и что свёртка это чуть ли не самая естественная операция, которую вообще можно делать с элементами тензорных произведений (кроме перестановки множителей этих произведений, двойственной свёртке «развёртки» (в индексной записи это умножение на дельту со свежими индексами) и подобного) и сводится она после выкидывания лишних тензорных множителей к следу оператора (или к применению 1-формы к вектору)? И тут, по-моему, или достаточно знаешь линейную алгебру и это очевидно естественная вещь и понимается без какого-то отдельного выраженного словами и картинками понимания, или понимать её невозможно, т. к. это чисто линейно-алгебраическое переливание туда-сюда. Пока не затрагиваются бесконечномерные линейные пространства, всё прозрачно.

UPD. Добавлен вопросительный знак туда, где он потерялся.

[Munin]

Так там, у Анго, очень наглядно рассказано про контравариантный и ковариантный базисы, и как по ним разложить вектор. Отсюда и смысл опускания и поднимания индексов (разумеется, в пространстве с метрическим тензором).

[Munin]

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

Но вот интересно, что дадут пространственные компоненты. ... Уже сейчас интересно, будут ли они что-то описывать?

Да, будут. Если вы почитаете § 32 и начало § 33, то увидите, что остальные компоненты тензора энергии-импульса (общепринятое сокращение ТЭИ, по-английски SET - stress-energy tensor) отвечают потоку энергии (вектор Пойнтинга), плотности импульса (пропорциональна вектору Пойнтинга), и потоку импульса (тензор напряжений Максвелла). Формула (33.7) даёт разные связи между ними.

4-тензорные формулы - "истинные" законы физики, в том смысле, что именно они-то и имеют настоящий смысл и что-то описывают. А их компоненты и проекции, как мы их воспринимаем в 3-мерном мировосприятии - это "постольку-поскольку". Иногда смысл у 3-мерных величин есть, а иногда - не очень. Например, 3-мерные законы сохранения массы и синхронности хода всех часов - при ближайшем рассмотрении оказались случайными артефактами. Так что вы совершенно правы, рассматривая все проекции, а не только упомянутые отдельно.

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

А может быть, что три пространственные компоненты какого-то тензорного уравнения в физике (в смысле 4-уравнения) не соберутся в трехмерное векторное уравнение с привычными нам трёхмерными векторами в физике?

Иногда такое бывает. Обычно из-за того, что возникает та или иная операция, которая нам в 3-мерном виде мало привычна. Чаще всего мне встречались:
- 3-мерные тензоры (например, $\mathbf{v}\otimes\mathbf{w}$);
- операция $(\mathbf{v}\operatorname{grad})=(\mathbf{v}\nabla).$
Но намного чаще получается просто векторная формула.

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

Честно говоря, при первом взгляде мне всё это показалось устрашающим. Эти значки $\wedge$ и т. д., что-то я растерялся даже. И грустно как-то стало :(

Значок $\wedge$ на самом деле не страшный. Это, на языке ЛЛ-2, вот какая операция:
- сначала берут тензорное произведение сомножителей;
- а потом в полученном результате выделяют чисто антисимметричную часть, то есть антисимметричную по всем перестановкам всех индексов (которые должны быть все нижние, или реже, все верхние).
Такая операция называется внешнее произведение, и имеет по сравнению с обычным тензорным произведением несколько дополнительных хороших свойств, за что её и выделяют. (А именно, только такие тензоры могут участвовать в обобщённой теореме Стокса - которая упоминается в ЛЛ-2 (6.14)-(6.19).)

vpb в сообщении #1357752 писал(а):

Тем более и в математике уже давно стараются всё писать не в координатах, а в инвариантном виде (правда, в начальных учебниках часто пишут и в координатах).

Тут скорее просто разделение труда. Общие выкладки удобней делать в бескоординатном виде, а конкретные расчёты - неизбежно рано или поздно опускаются на уровень координат.

Например, легко ли в бескоординатном виде посчитать $\operatorname{div}\mathbf{r}$? В декартовых координатах - мгновенно.

----------------

Критика pogulyat_vyshel, увы, неконкретна (и конкретной я от него не видел). Более того, даже когда мне приводили конкретные критические замечания, я ни разу не сталкивался с замечаниями, релевантными для физиков. Думаю, когда физики обнаружат, что учась по учебникам физики, они упускают что-то для себя существенное, они это в свои учебники быстро внесут. А без этого, подобная критика выглядит просто ворчанием.

[misha.physics]

arseniiv,

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1357884 писал(а):

Ну а какое там у подъёма или опускания индекса может быть особое понимание

Ну я имел ввиду, что нам удобно использовать величины с верхними и нижними индексами чтобы можно было просто записать, например, скалярное произведение двух векторов в виде $x_iy^i$. Т. е. $x_i$ это комбинация всех, в общем случае, $x^k$ с коэффициентами $g_{ik}$, которые есть скалярные произведения базисных векторов. Мы просто записываем $\vec{x}\vec{y}$ и введя обозначение $g_{ik}$ приводим его к виду суммы произведений $x_iy^i$. И становится понятно, откуда берется $x_i=g_{ik}x^k$. Я только это понимание имел ввиду, ничего более. Это я к тому, что вряд ли в учебниках по физике будут это объяснять, там могут просто сказать "если нужно опустить индекс $i$, умножьте на $g_{ik}$". Я о том, что я думаю, физику нужно знать, откуда берется та или иная математическая процедура или формула, которую он использует.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1357900 писал(а):

Это я к тому, что вряд ли в учебниках по физике будут это объяснять

А почему бы и нет? Например, Вайнберг. Гравитация и космология, или МТУ - это же учебники по физике, а?

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1357900 писал(а):

использовать величины с верхними и нижними индексами чтобы можно было просто записать, например, скалярное произведе

А геометрический смысл этих величин знать не нужно?

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1357904 писал(а):

А почему бы и нет? Например, Вайнберг. Гравитация и космология, или МТУ - это же учебники по физике, а?

Я просто имел ввиду, что не всегда в учебниках по физике объясняют математические темы, которые там используются так, что мне это легко понять. Дело в моем восприятии, наверное. Пример об опускании и поднятии индексов я, наверное, не совсем удачный выбрал.

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1357910 писал(а):

А геометрический смысл этих величин знать не нужно?

Думаю, нужно. Хотел бы узнать. Пока ответить о таком смысле не могу.

-- 01 дек 2018, 09:31 --

misha.physics в сообщении #1357900 писал(а):

Это я к тому, что вряд ли в учебниках по физике будут это объяснять

Я плохо выразился. Мне нужно было сказать о моем восприятии некоторых объяснений математики в книгах по физике. Бывает, что объяснений лично для меня слишком мало. Вот сейчас я вижу, что если бы не читал несколько первых глав Рашевского. Риманова геометрия и тензорный анализ, то не знаю, как бы я смотрел на тензорные формулы в том же ЛЛ-2. Сейчас-то я вижу, что в нем довольно неплохо это объясняют на нескольких страницах, но это, наверное, потому, что я до этого читал что-то более объемное и разжеваное. А те вещи (например теорема Гаусса и т. д.), которые я не читал где-то ещё, мне естественно в ЛЛ-2 понять трудно. Я не знаю, как получают эти формулы и т. д. Мне всё-таки кажется, что чтобы понять (мне лично, конечно) математику (некоторую) в физике, нужно или читать раннее об этом где-то в книге по математике (т. е. в книгах по физике зачастую объясняют "новую" математику, просто бывает непросто понять некоторые факты без доказательства или без того, как к этому пришли и т. д.) или иметь неплохую базовую математическую подготовку, в смысле мышление какое-то математическое. Второго мне иногда не хватает и приходится искать объяснения более основательные и где начинают с каких-то простых вещей типа записи $\vec{x}\vec{y}$, где это потом все расписывают, обозначают $\vec{e}_i\vec{e}_k=g_{ik}$, обозначают $x_i=g_{ik}x^k$ и получают $x_iy^i$.

[misha.physics]

В ЛЛ-2 сказано, что антисимметричному 4-тензору 3-го ранга можно поставить в соответсвтие дуальный ему 4-вектор. Действительно, получается так, что если $A_{ikl}$ - антисимметричный по каждой паре индексов, и $A_{ikl}=0$ то етому можно соотнести уравнение $\varepsilon^{pikl}A_{ikl}=0$. Они оба дадут, что все 4 компоненты $A_{ikl}$ равны нулю. Я так понимаю, такое соотношение справедливо тогда, когда антисимметричный тензор равен нулю, да? Понятно, что если $\varepsilon^{pikl}A_{ikl}=a^p$, то здесь нельзя соотнести этому уравнение для $A_{ikl}$ т. к. не хватает одного индекса. И ещё, если мы захотим обобщить это соответствие на другие размерности и ранги тензоров, то нам нужно учитывать эти два числа, как я понял. Т. е. интересно, как обобщать это соответствие между антисимметричными и дуальными тензорами. Т. е. можно ли взяв полностью (это обязательно, да?) антисимметричный тензор любой размерности и любого ранга соотнести ему дуальный тензор?

[пианист]

(хрусть, пополам)

Munin в сообщении #1357897 писал(а):

Значок $\wedge$ на самом деле не страшный. Это, на языке ЛЛ-2, вот какая операция:
- сначала берут тензорное произведение сомножителей;
- а потом в полученном результате выделяют чисто антисимметричную часть

Чисто из любопытства: а Вы как предпочитаете, делить на $2$, или нет?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1357914 писал(а):

Я просто имел ввиду, что не всегда в учебниках по физике объясняют математические темы, которые там используются так, что мне это легко понять.

С такой формулировкой совершенно согласен, с ней не поспорить.

Разумеется, есть хорошие учебники и средние учебники (не говоря уже о плохих). Кроме этого, с точки зрения математики, учебники физики могут или хорошо вводить математику, или средне, или вообще никак. Давать тут общие для всех оценки - бессмысленно.

И помимо этого, главное качество учебника по физике - быть учебником по физике. Есть учебники, заслуженно любимые и ценимые именно за изложение физики, и придирки к изложению математики в этих учебниках - как минимум, второстепенны. Цикл Ландау-Лифшица ("тома Ландау") скорей относится к этой разновидности.

----------------

В общем, я бы посоветовал не учиться по одному учебнику, а заглядывать в разные, сравнивать и выбирать, что вам больше нравится и подходит. С другой стороны, не стоит слепо бросаться следовать советам типа "не учитесь этому по учебнику физики, читайте учебник по математике". Зависит от ваших целей. Вас для физики вполне могут устраивать пониженная строгость и доказательность, зато для вас преимуществом будут краткость, и сосредоточенность на технике и вычислениях. Увы, самые рекомендуемые для математиков учебники - обладают недостатками с точки зрения физиков.

misha.physics в сообщении #1357914 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1357910 писал(а):

А геометрический смысл этих величин знать не нужно?

Думаю, нужно. Хотел бы узнать. Пока ответить о таком смысле не могу.

Ну вот суньте нос в Анго, это быстро.

misha.physics в сообщении #1357914 писал(а):

А те вещи (например теорема Гаусса и т. д.), которые я не читал где-то ещё, мне естественно в ЛЛ-2 понять трудно.

Ой, кошмар-кошмар-кошмар.

Теорему Гаусса к этому моменту читатель должен был увидеть уже много раз в разных местах. В курсе матанализа ("Анализ-2", анализ векторных полей). В курсе общей физики (как теорему для электрического и магнитного поля). В курсе ураматов / ДУЧП - как теорему, выполняющуюся и применяемую для решения уравнений Лапласа и Пуассона. Ландау-Лифшиц рассчитывают на всё это предварительное знакомство.

Если вы не прошли предварительно курсов матана, линала и общей физики - вам читать ЛЛ просто рано. Извините. Вы забегаете вперёд. (Ну и получаете закономерные последствия этого.) В принципе, это можно, но надо быть готовым к тому, что полного понимания не будет, полноценного знания не будет, это всё предварительный наскок, и надо будет потом в своё время заново всё перечитывать и переосознавать. Это можно делать самопально при наличии интереса, времени и сил, для поддержки и развития мотивации, но не как часть полноценного процесса обучения.

Если же вы дошли до чтения ЛЛ-2 по стандартной программе, имея такие пробелы в базе, вам надо их срочно заполнять. И в любом случае, не могу дать вам оптимистичных прогнозов, такая ситуация - это катастрофа, на её исправление потребуются годы, и хорошо, если вы всё-таки этим исправлением будете заниматься, до получения диплома, и после.

misha.physics в сообщении #1357914 писал(а):

Мне всё-таки кажется, что чтобы понять (мне лично, конечно) математику (некоторую) в физике, нужно или читать раннее об этом где-то в книге по математике (т. е. в книгах по физике зачастую объясняют "новую" математику, просто бывает непросто понять некоторые факты без доказательства или без того, как к этому пришли и т. д.)

Это всё бывает сильно по-разному. Зависит от конкретного предмета. Вообще в среднем и в целом - да, желательно сначала математику, потом физику. Но есть некоторые отдельные темы (их не более порядка 20 %), которые в книгах по физике объясняются даже лучше, нагляднее, чем в книгах по математике. Например, для векторного поля очень полезен такой наглядный образ, как "линии поля", а они в книгах по математике или не вводятся вообще, или сильно потом и как что-то сложное и факультативное. Но на одном образе "на пальцах" далеко не уедешь, а расчёты векторных полей учат делать именно учебники математики.

misha.physics в сообщении #1357914 писал(а):

Второго мне иногда не хватает и приходится искать объяснения более основательные и где начинают с каких-то простых вещей типа записи $\vec{x}\vec{y}$, где это потом все расписывают, обозначают $\vec{e}_i\vec{e}_k=g_{ik}$, обозначают $x_i=g_{ik}x^k$ и получают $x_iy^i$.

1) Стандартные курсы линала, конец курса - главы про тензоры.
2) Анго, или что-то ещё в таком духе. У меня нет подборки хороших книг на эту тему, я в детстве ещё Маделунга читал, но не стану рекомендовать.

misha.physics в сообщении #1357926 писал(а):

В ЛЛ-2 сказано, что антисимметричному 4-тензору 3-го ранга можно поставить в соответствие дуальный ему 4-вектор.

Попробуйте расписать это по компонентам. Очень полезно.

(Это частный случай такого факта: в $n$-мерном пространстве с метрическим тензором, можно антисимметричному тензору ранга $(n-1)$ поставить в соответствие дуальный ему вектор. Потренируйтесь ещё на $n=3,2,1.$)

misha.physics в сообщении #1357926 писал(а):

Действительно, получается так, что если $A_{ikl}$ - антисимметричный по каждой паре индексов, и $A_{ikl}=0$ то етому можно соотнести уравнение $\varepsilon^{pikl}A_{ikl}=0$. Они оба дадут, что все 4 компоненты $A_{ikl}$ равны нулю. Я так понимаю, такое соотношение справедливо тогда, когда антисимметричный тензор равен нулю, да?

Да, но это нулевой случай. Интереснее ненулевой.

misha.physics в сообщении #1357926 писал(а):

Понятно, что если $\varepsilon^{pikl}A_{ikl}=a^p$, то здесь нельзя соотнести этому уравнение для $A_{ikl}$ т. к. не хватает одного индекса.

Нет, это и есть готовое уравнение для $A_{ikl},$ а величины $a^p$ считаются известными (4 числа). Здесь 4 уравнения, и если мы знаем, что $A_{ikl}$ полностью антисимметричный, то это условие даёт нам ещё 60 уравнений, и всего получится 64 уравнения, задающих 64 элемента тензора (из них 40 нулевых, и остальные 24 образованы всего четырьмя числами со знаками $\pm$).

misha.physics в сообщении #1357926 писал(а):

И ещё, если мы захотим обобщить это соответствие на другие размерности и ранги тензоров, то нам нужно учитывать эти два числа, как я понял. Т. е. интересно, как обобщать это соответствие между антисимметричными и дуальными тензорами. Т. е. можно ли взяв полностью (это обязательно, да?) антисимметричный тензор любой размерности и любого ранга соотнести ему дуальный тензор?

Общая схема такая: полностью антисимметричный тензор ранга $r$ дуален полностью антисимметричному же тензору ранга $n-r,$ где $n$ - размерность пространства. Это ещё называют "дуальность Ходжа" или "звёздочка Ходжа" (Hodge star) по обозначению звёздочкой (в ЛЛ-2 в верхнем индексе, а в нотации внешних форм - перед формой = тензором).

Эта конструкция позволяет обобщить школьные операторы градиента-ротора-дивергенции на пространства любой размерности. Если мы вместо вектора $\mathbf{v}$ рассмотрим ковектор (вектор с ковариантным индексом) = 1-форму $\omega,$ то получим

$\operatorname{grad}\varphi\to d\,\varphi$
$\operatorname{rot}\mathbf{v}\to\mathop{*}(d\,\omega)$
$\operatorname{div}\mathbf{v}\to\mathop{*}(d\,\mathop{*}\omega)$

где оператор $d$ (называющийся внешний дифференциал) - единообразный оператор дифференцирования антисимметричных тензоров любого ранга:
- сначала берут тензорную производную ("простую"), повышая ранг на 1;
- а потом в полученном результате выделяют чисто антисимметричную часть.

-- 01.12.2018 15:11:32 --

пианист в сообщении #1357932 писал(а):

Чисто из любопытства: а Вы как предпочитаете, делить на $2$, или нет?

Зависит от открытой передо мной книгой, в соответствии с которой я делаю выкладки. Обычно, наверное, не делить. Потому что в физике принято $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ без "пополама".

Хорошее замечание.
misha.physics
Привыкайте, что в некоторых выкладках есть так называемые "соглашения" (о знаках, сигнатурах, коэффициентах, базисах, ещё кое-чём), которые могут быть в разных книгах разные. Обычно они оговорены где-то в начале книги, и потом вся книга написана в указанном сеттинге. Довольно часто бывают расхождения между книгами по физике и по математике. Бывают расхождения между советскими-российскими книгами и американскими-англоязычными. В клинических случаях даже между "московской школой" и "ленинградской-питерской школой". Это может поначалу сбивать, если пытаться выкладки из одной книги применять к другой книге, или пытаться работать с несколькими книгами сразу. Потом возникает привычка, и можно формулы конвертировать даже "на лету", в уме. Уважаемый пианист напомнил о двух видах антисимметризации:

$$F_{[\mu\nu]}=F_{\mu\nu}-F_{\nu\mu}\qquad ?\qquad F_{[\mu\nu]}=\tfrac{1}{2}(F_{\mu\nu}-F_{\nu\mu}),$$

второй способ удобнее тем, что если тензор и так антисимметричен, то антисимметризация его никак не меняет. (Для антисимметризации по $r$ индексам возникает, соответственно, множитель $\tfrac{1}{k!}.$)

Ещё один важный момент того же рода: во времена написания ЛЛ-2 вполне нормально было написать книгу, в которой

$i,k,l\ldots$ - латинские индексы - 4-мерные, а
$\alpha,\beta,\gamma\ldots$ - греческие индексы - 3-мерные.

"Боролись" две традиции, и на сегодня одна из них победила с большим преимуществом, и на сегодня везде принято:

$\mu,\nu,\lambda\ldots$ - греческие индексы - 4-мерные (причём часто именно "мю-ню");
$i,j,k\ldots$ - латинские индексы - 3-мерные.

Это может сбивать с толку, если сравнивать формулы ЛЛ-2 с другими книгами или с Wikipedia.

Другая деталь: система единиц. ЛЛ-2 написан в системе СГС Гаусса - наиболее популярной среди физиков-теоретиков (хотя соглашение $c=1,$ сегодня также крайне популярное, в ЛЛ-2 не используется). В Wikipedia сдуру все формулы переписаны в СИ, а в учебниках такое хоть и бывает, но сравнительно редко. В совсем продвинутых книгах - от КТП и дальше в теорию струн - иногда предпочитают систему СГС Хевисайда, которая отличается от СГС Гаусса другим расположением в формулах множителей типа $4\pi.$ Хевисайд, в отличие от Гаусса, логичнее обобщается на другие размерности пространства-времени.