Версия теоремы Стокса

[topSC]

$S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\colon x^2+y^2+z^2=1\}, \, S=\{(x,y,z)\in S^2 \colon z>0\},$ и $\bold{v}=(-y,x,z).$

1. По одной из версий теоремы Стокса

$$\iint\limits_S (\nabla \times \bold{v}) \cdot \bold{n} \, d\sigma=\oint\limits_C \bold{v} \cdot d\bold{r}.$$

Подсчёт вручную двух интегралов даёт разные результаты:

$$\iint\limits_S (\nabla \times \bold{v}) \cdot \bold{n} \, d\sigma=\iint\limits_S \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ -y & x & z \end{vmatrix} \cdot \bold{n} \, d\sigma=\iint\limits_S 2\bold{k} \cdot \bold{k} \, d\sigma = Area(S^2)=4\pi ;$$

параметризация $\partial S=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\colon z=0, x^2+y^2=1 \}\colon$ $C(t)=(\cos t, \sin t, 0), \, t\in [0, 2\pi] \Rightarrow \bold{v}(C(t))=(-\sin t, \cos t, 0)$ и

$$\oint\limits_C \bold{v} \cdot d\bold{r}=\int\limits_0^{2\pi}(-\sin t, \cos t, 0)\cdot (-\sin t, \cos t,0)\, dt=\int\limits_{0}^{2\pi}\,dt=2\pi.$$

Не вижу, где ошибка.

2. $D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\colon z=0, x^2+y^2<1\}, \, \bold{n}=(0,0,-1).$ Хочется вычислить $\iint\limits_D \bold{v} \cdot \bold{n} \, d\sigma.$

$$\iint\limits_D \bold{v} \cdot \bold{n} \, d\sigma=\iint\limits_D -z \, d\sigma =0 \, ??$$

В смысле там же, вроде, интегрирования по $z$ нет, да и $z=0$.

[Eule_A]

topSC в сообщении #1357087 писал(а):

Подсчёт вручную двух интегралов даёт разные результаты:

А почему у Вас нормаль к сфере всюду вдоль оси аппликат направлена?

-- 27.11.2018, 13:46 --

Во втором вопросе поле $\vec{v}$ хочется видеть.

[topSC]

Eule_A в сообщении #1357093 писал(а):

А почему у Вас нормаль к сфере всюду вдоль оси аппликат направлена?

А как правильно? В условии говорят только, что "where $\bold{n}$ is pointing away from the origin $(0,0,0)$".

Eule_A в сообщении #1357093 писал(а):

Во втором вопросе поле $\vec{v}$ хочется видеть.

Поле $\bold{v}$ такое же, то есть $\vec{v}=(-y,x,z)$.

[Eule_A]

topSC в сообщении #1357099 писал(а):

А как правильно?

А Вы в курсе, что такое нормаль по определению? Комментарий

topSC в сообщении #1357099 писал(а):

"where $\bold{n}$ is pointing away from the origin $(0,0,0)$"

в переводе на русский язык означает "нормаль внешняя".

topSC в сообщении #1357087 писал(а):

В смысле там же, вроде, интегрирования по $z$ нет

Есть интегрирование по поверхности. А так, да, похоже, что нуль получается.

[topSC]

Eule_A в сообщении #1357102 писал(а):

А так, да, похоже, что нуль получается.

Но нуль из-за чего? Из-за того, что $z=0$?

Eule_A в сообщении #1357102 писал(а):

нормаль внешняя

А, там $\vec{n}=(x,y,z)$, а значит нужно вычислять

$$\iint\limits_S 2z\, d\sigma=$$

-- 27.11.2018, 14:37 --

$S\left( \theta ,\varphi \right) = \sin \varphi \cos \theta \, \vec{i} + \sin \varphi \sin \theta \, \vec{j} + \cos \varphi \, \vec{k},$ где $\theta \in [0,2\pi], \, \varphi \in [0, \pi/2].$
$S_\theta \left( \theta ,\varphi \right) = - \sin \varphi \sin \theta \, \vec{i} + \sin \varphi \cos \theta \, \vec{j}$
$S_\varphi \left( \theta ,\varphi \right) = \cos \varphi \cos \theta \,\vec{i} + \cos \varphi \sin \theta \,\vec{j} - \sin \varphi \,\vec{k}$
$S_\theta \times S_\varphi = - \sin^2 \varphi \cos \theta \,\vec{i} - \sin^2 \varphi \sin \theta \,\vec{j} - \sin \varphi \cos \varphi \,\vec{k}$
$\left\| S_\theta \times S_\varphi \right\|=\sin \varphi$

$$= \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\pi/2}2\cos \varphi \sin \varphi \, d\varphi \, d \theta=2\pi$$

-- 27.11.2018, 14:57 --

Кстати, как понимать $\iint_D \bold{v} \cdot \bold{n} \, d\sigma$? Это поток векторного поля $\vec{v}$ через поверхность $D$?

[Eule_A]

topSC в сообщении #1357123 писал(а):

Это поток векторного поля $\vec{v}$ через поверхность $D$?

Ну да. Был бы раздел физический - можно было бы некоторую физическую интерпретацию придумать. А так - просто поток векторного поля.

topSC в сообщении #1357123 писал(а):

А, там $\vec{n}=(x,y,z)$

Запись нехорошая: нормаль единичная предполагается. Вы здесь от этого не пострадали, потому что потом нормаль по-другому записали.

topSC в сообщении #1357123 писал(а):

Но нуль из-за чего? Из-за того, что $z=0$?

Именно.

[topSC]

Eule_A в сообщении #1357175 писал(а):

Запись нехорошая: нормаль единичная предполагается. Вы здесь от этого не пострадали, потому что потом нормаль по-другому записали.

$\vec{n}=\dfrac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=(x,y,z)$, а от чего я мог пострадать?

[Eule_A]

topSC в сообщении #1357528 писал(а):

а от чего я мог пострадать?

Тут, наверное, я неявно исходил из худшего (но встречавшегося мне на практике) обхождения с нормалью, когда её единичный модуль проигнорирован. В данном случае, когда поверхность интегрирования - часть сферы единичного радиуса - всё в порядке. В общем, лучше больше осторожности, чем меньше

[topSC]

Eule_A в сообщении #1357532 писал(а):

В общем, лучше больше осторожности, чем меньше

Согласен!