Задача о геостационарном спутнике

[Rusit8800]

Решил с утреца решить следующую интересную задачку.

Пусть у нас есть Солнце, Земля и геостационарный спутник, вращающийся вокруг земли. Нужно найти граничные координаты точек орбиты спутника, в которых Земля закрывает свет спутнику, идущий от Солнца. Понятно, что в этих точках существует общая касательная к двум сферам - Земле и Солнцу.
Я ввожу орбитальную систему координат: центр $O_{\text{З}}$ СК совпадает с центром Земли, $Oxy$ - орбитальная плоскость, причем $Oy$ совпадает с линией центров Солнца и Земли. Уравнение Земли и Солнца в этих координатах имеет вид:

$$\[\begin{gathered} {x^2} + {y^2} + {z^2} = R_{\text{З}}^2 \hfill \\ {x^2} + {(y - r)^2} + {z^2} = R_{\text{Сол}}^2 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

, где $r$ - расстояние между центрами Солнца и Земли.
Найдем теперь уравнение плоскости $\pi$, в которой движется спутник $C$. Она образует с орбитальной плоскостью двухгранный угол $\[\alpha \approx 23,44^\circ \]$. $\pi$ проходит через центр координат $O_{\text{З}}(0;0;0)$ и через две точки экватора $\[E(0;{R_{\text{З}}}\cos \alpha ;{R_{\text{З}}}\sin \alpha )\]$ и $\[E'({-R_{\text{З}}};0;0)\]$ (русскую букву "Э" в LaTeX выразить не удалось).
Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки, выразим через определитель:

$$ \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 0}&{y - 0}&{z - 0} \\ {0 - 0}&{{R_{\text{З}}}\cos \alpha }&{{R_{\text{З}}}\sin \alpha - 0} \\ { - {R_{\text{З}}} - 0}&{0 - 0}&{0 - 0} \end{array}} \right| = 0\] $$

Что равносильно

$$\[y\tan \alpha = z\]$$

Запишем координаты спутника $\[{O_{\text{С}}}({x_0};{y_0};{y_0}\tan \alpha )\]$.
Из

$$\[x_0^2 + y_0^2 + y_0^2{\tan ^2}\alpha = R_{\text{З}}^2\]$$

получим две возможные координаты спутника в зависимости от знака:

$$\[{O_{\text{С}}}\left( {{x_0};\sqrt {R_{\text{З}}^2 - {x_0}} \cos \alpha ;\sqrt {R_{\text{З}}^2 - {x_0}} \sin \alpha } \right)\]$$

$$\[{O_{\text{С}}}\left( {{x_0};-\sqrt {R_{\text{З}}^2 - {x_0}} \cos \alpha ;-\sqrt {R_{\text{З}}^2 - {x_0}} \sin \alpha } \right)\]$$

С этого момента я в тупике.
Я решил взять координаты со знаком $+$, записать координаты спутника Солнца и Земли

$$\[\begin{gathered} x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = R_{\text{З}}^2 \hfill \\ x_2^2 + (y_2 - r)^2 + z_2^2 = R_{\text{З}}^2 \hfill \\ {O_{\text{С}}}\left( {{x_0};\sqrt {R_{\text{З}}^2 - {x_0}} \cos \alpha ;\sqrt {R_{\text{З}}^2 - {x_0}} \sin \alpha } \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

По идее, нужно записать уравнение, проходящее через $(x_0;y_0;z_0)$, $(x_1;y_1;z_1)$ и $(x_2;y_2;z_2)$, а зачем прописать условие касания окружностей. Проблема в том, что в, во-первых, я не знаю, как прописать в общем случае условия касания, во-вторых, даже если бы знал, что этот подход был бы весьма громоздким. Может кто-нибудь что-нибудь посоветует?

[Pphantom]

Для начала стоит уточнить условие задачи. На картинке нарисовано зимнее солнцестояние (для верхнего полушария Земли), однако из условия никак не следует, что нужно рассматривать именно этот случай.

Затем полезно сделать некоторые оценки (или просто вспомнить факты). Например, известно, что существует такое явление, как полные лунные затмения. Это означает, что Луна может полностью попасть в тень Земли, а она находится от Земли на порядок дальше, чем ГСС. Поскольку Земля примерно в 100 раз меньше Солнца, то и тень Земли закончится на расстоянии примерно $1/100$ а.е. от нее, а это полтора миллиона км (т.е. еще раза в четыре дальше, чем Луна). Отсюда вывод: с той точностью, с которой эту задачу имеет смысл решать, если пренебрегать рефракцией в атмосфере Земли, эллиптичностью ее орбиты и т.п., можно считать, что тень Земли - цилиндр с диаметром, равным земному.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Астрономия»
Причина переноса: тематика.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1356161 писал(а):

На картинке нарисовано зимнее солнцестояние (для верхнего полушария Земли), однако из условия никак не следует, что нужно рассматривать именно этот случай.

Насколько я себе представляю геометрию, возле солнцестояний спутник в тень попадать не будет. Максимальное время в тени он будет проводить при равноденствиях.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1356167 писал(а):

Насколько я себе представляю геометрию, возле солнцестояний спутник в тень попадать не будет. Максимальное время в тени он будет проводить при равноденствиях.

Совершенно верно.

[Dmitriy40]

Pphantom в сообщении #1356161 писал(а):

можно считать, что тень Земли - цилиндр с диаметром, равным земному.

О, вот про это я не подумал, предложил товарищу считать тень конусом, а ведь действительно, считанными процентами погрешности можно пренебречь.

Rusit8800
А с цилиндром тогда вообще просто: взять проекцию орбиты спутника на плоскость, перпендикулярную орбите Земли и направлению на Солнце. Проекция орбиты спутника будет эллипсом с разным наклоном или просто отрезком (в зависимости от времени года). Ну и искать его пересечения с кругом Земли. Т.е. после проекции орбиты спутника, где собственно и нужен угол между плоскостью орбиты (ну перпендикуляром) и направлением на Солнце, задача становится плоской. А проекцию можно описать коэффициентом сжатия эллипса (из окружности) и углом наклона, которые кажется получаются через синус/косинус/тангенс каких-то углов.

[Rusit8800]

Pphantom в сообщении #1356161 писал(а):

Затем полезно сделать некоторые оценки (или просто вспомнить факты). Например, известно, что существует такое явление, как полные лунные затмения. Это означает, что Луна может полностью попасть в тень Земли, а она находится от Земли на порядок дальше, чем ГСС. Поскольку Земля примерно в 100 раз меньше Солнца, то и тень Земли закончится на расстоянии примерно $1/100$ а.е. от нее, а это полтора миллиона км (т.е. еще раза в четыре дальше, чем Луна). Отсюда вывод: с той точностью, с которой эту задачу имеет смысл решать, если пренебрегать рефракцией в атмосфере Земли, эллиптичностью ее орбиты и т.п., можно считать, что тень Земли - цилиндр с диаметром, равным земному.

DimaM в сообщении #1356167 писал(а):

Насколько я себе представляю геометрию, возле солнцестояний спутник в тень попадать не будет. Максимальное время в тени он будет проводить при равноденствиях.

Слишком углубляетесь. Это, можно сказать, чисто геометрическая задача по стереометрии. Угол наклона Земли задан, он здесь нужен только для того, чтобы определить положение спутника, слова "зимнее солнцестояние" и "равноденствие" я слышу впервые. Так что мне нужна только помочь в вычислениях.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1356198 писал(а):

Слишком углубляетесь. Это, можно сказать, чисто геометрическая задача по стереометрии. Угол наклона Земли задан, он здесь нужен только для того, чтобы определить положение спутника, слова "зимнее солнцестояние" и "равноденствие" я слышу впервые. Так что мне нужна только помочь в вычислениях.

В той конфигурации, что нарисована на вашей первой картинке, спутник в тень Земли попадать не будет вообще. То есть можно даже не вычислять

[Rusit8800]

Послушал советы DimaM, напряг сегодня мозги и решил задачу так:
Рассмотрим цилиндр касающийся Земли и имеющий ось $l$, лежащую в орбитальной плоскости и проходящей через центр Земли. Пусть он пересекает Землю по окружности $\[\omega \]$, а в прямых $l_1,l_2$ касается проекции Земли на орбитальную плоскость в точках $K_1, K_2$. Обозначим положительный угол между $Ox$ и $l$ за $\[\gamma \]$. Ясно, что прямая $l$ задается так(смотри рис.2 - проекция всей трехмерной картины на $Oxy$):

$$\[l{\text{ : }}y = x\tan \gamma \]$$

Прямые $l_1,l_2$ в ДСК выражаются так:

$$\[\begin{gathered} {l_1}{\text{ : }}y = x\tan \gamma + \Delta l \hfill \\ {l_2}{\text{ : }}y = x\tan \gamma - \Delta l \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Поскольку $\[\Delta l = \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }}\]$, то имеем окончательно:

$$\[\begin{gathered} Это система {l_1}{\text{ : }}y = x\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \\ {l_2}{\text{ : }}y = x\tan \gamma - \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }}\\ \end{gathered} \]$$

Чтобы спутник $C$ был в тени, необходимо, но не достаточно, чтобы он лежал внутри цилиндра, что равносильно тому, что проекция спутника на плоскость $\[\omega \]$ лежала внутри $\[\omega \]$ и что проекция спутника на орбитальную плоскость лежала внутри параллельных прямых $l_1,l_2$. Не достаточно потому, что тень существует только с одной стороны - за Землей, создающей тень. Условие расположения проекции $C$ внутри $l_1,l_2$ имеет вид:

$$\[\left\{ \begin{gathered} {y_0} \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }}\\ {y_0} \geqslant {x_0}\tan \gamma - \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \\ \end{gathered} \right.\]$$

С учетом того, что $\[{y_0} = \pm \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \]$ (до этого была опечатка -$R_{\text{З}$ вместо $R_{\text{Спут}$), получим совокупность из систем:

$$\[\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \geqslant {x_0}\tan \gamma - \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} - {x_0}\tan \gamma \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Допишем теперь условие, что проекция $C$ лежит внутри $\[\omega \]$. Уравнение этой окружности имеет вид:

$$\[{x^2}{\sin ^2}\gamma + {y^2}{\cos ^2}\gamma + {z^2} = R_{\text{З}}^2\]$$

.
На рисунках 3 и 4 представлены частные случаи этой окружности при $\[\gamma \]=0$ и $\[\gamma = \frac{\pi }{2}\]$ что соответствует случаям, когда окружность вовсе не поворачивали и она расположилась на $Ozy$ и когда окружность повернули на $90$ градусов и она попала на $Ozx$. Подставляя в общее уравнение координаты спутника и записывая нестрогое неравенство, получим:

$$\[x_0^2{\sin ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\cos ^2}\alpha {\cos ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\sin ^2}\alpha \leqslant R_{\text{З}}^2\]$$

Окончательно, критерий расположения спутника внутри цилиндра имеет вид:

$$ \[\left\{ \begin{gathered} x_0^2{\sin ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\cos ^2}\alpha {\cos ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\sin ^2}\alpha \leqslant R_{\text{З}}^2 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \geqslant {x_0}\tan \gamma - \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} - {x_0}\tan \gamma \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $$

Это система с переменной $x_0$ и параметром $\[\gamma \]$. Все остальные величины заданы: $R_{\text{Спут}}=35786$ км, $R_{\text{СЗ}}=6380$ км, $\[\alpha = 23,44^\circ \]$.
В изначальной задаче требуется найти максимальную длительность освещения и, наоборот, нахождения в тени спутника за период(1 сутки). Длительность эта зависит от угла $\[\gamma \]$. Найдя промежуток значений $x_0$ из системы,мы найдем участок орбиты на которых спутник находится внутри цилиндра.Тогда сможем понять, сколько времени спутник тратит на прохождение этого участка, ведь мы знаем, что спутник проходит всю орбиту за сутки и движется с постоянной скоростью, следовательно отношение длины участка к длине орбиты, умноженное на сутки есть время, за сутки, когда спутник находится внутри цилиндра.
Здесь есть 2 проблемы. Во-первых, систему решить аналитически мне не удалось. Во-вторых, как я уже говорил, из того, что спутник лежит внутри цилиндра не следует, что он в тени, так что часть полученного из системы промежутка нужно будет отбросить. Дальше я рассуждал как физик:
1) Рассмотрю случай $\[\gamma = \frac{\pi }{2}\]$, рис. 4.
Докажу, что в этом случае спутник будет всегда будет освещен. Уравнение

$$\[x_0^2{\sin ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\cos ^2}\alpha {\cos ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\sin ^2}\alpha \leqslant R_{\text{З}}^2\]$$

в этом случае можно записать так:

$$\[x_0^2 + z_0^2 \leqslant R_{\text{З}}^2\]$$

Из него следует, что

$$\[{x_0} \in \left[ { - {R_{\text{З}}};{R_{\text{З}}}} \right]\]$$

.
Из этого следует, что модуль минимального значения $\[\left| {{z_{0\min }}} \right|\]$ третьей координаты спутника можно оценить так
$\[\left| {{z_{0\min }}} \right| \geqslant \sqrt {R_{\text{З}}^2 - x_0^2} \cos \alpha = \sqrt {{{35786}^2} - {{6380}^2}} \cos 23,44^\circ \approx 32570 > 6380\]$
так что спутник заведомо не проецируется в плоскости $\[\omega \]$ внутрь окружности $\[\omega \]$, значит спутник всегда будет снаружи цилиндра. Поэтому максимальная длительность освещения спутника за сутки равна суткам.
2) Рассмотрю случай $\[\gamma \]=0$. Как мне показалось, в этом случае достигается максимум длительности пребывания спутника в тени. Доказать я это не смог, но я отталкивался от того, что в данном случае цилиндр направлен на орбиту спутника "в лоб", то есть плоскость спутника перпендикулярная плоскости основания цилиндра. В данном случае картина происходящего весьма симметрична, и я посчитал, что в этом случае будет максимум. Обосновать строго не могу, надеюсь форумчане помогут.
Итак, если $\[\gamma \]=0$, то система

$$ \[\left\{ \begin{gathered} x_0^2{\sin ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\cos ^2}\alpha {\cos ^2}\gamma + \left( {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \right){\sin ^2}\alpha \leqslant R_{\text{З}}^2 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \geqslant {x_0}\tan \gamma - \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant {x_0}\tan \gamma + \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} \hfill \\ \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - x_0^2} \cos \alpha \leqslant \frac{{{R_{\text{З}}}}}{{\cos \gamma }} - {x_0}\tan \gamma \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $$

равносильна

$$\[{x_0} \in \left[ { - {R_{\text{Спут}}}; - \sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - R_{\text{З}}^2} } \right] \cup \left[ {\sqrt {R_{\text{Спут}}^2 - R_{\text{З}}^2} ;{R_{\text{Спут}}}} \right]\]$$

Графически это решение показано на рисунке 5 - это вид на орбиту спутника сверху. А теперь замечаем, что дуга $ABC$ соответствует случаю, когда спутник расположен внутри цилиндра и освещен, так что этот промежуток выкидывает и рассматриваем дугу $A_1B_1C_1$. Ее длина $l_{A_1B_1C_1}$ равна:

$$\[{l_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = 2\alpha {R_{\text{Спут}}} = 2\arcsin \left( {1 - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{R_{\text{З}}}}}{{{R_{\text{Спут}}}}}} \right)}^2}} } \right){R_{\text{Спут}}}\]$$

, значит искомое время $t_{max}$ равно

$$\[{t_{max}} = \frac{{{l_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{2\pi R}}{T_{\text{Сут}}} = \frac{1}{\pi }\arcsin \left( {1 - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{R_{\text{З}}}}}{{{R_{\text{Спут}}}}}} \right)}^2}} } \right){T_{\text{Сут}}} \approx 0,12 \text{ суток}$$

-- 25.11.2018, 21:40 --

Вот такие вот дела.

[Dmitriy40]

$0{,}12$ как-то многовато, по моей прикидке чисто из планиметрии время должно быть порядка $0{,}057$ суток. И оно равно просто отношению арксинуса отношения радиусов Земли и орбиты спутника к $\pi$. И от наклона орбиты спутника к плоскости эклиптики не зависит (максимальное, в течении года разумеется меняется). Может Вы где удвоили зря?

-- 25.11.2018, 22:01 --

И кстати, может я чего не понял, но

$$\dfrac{1}{\pi}\arcsin\left(1-\sqrt{1-\left(\dfrac{6380}{35786}\right)^2}\right)\approx0{,}0051$$

-- 25.11.2018, 22:07 --

И собственно 35786 км неправильное число, брать надо расстояние от центра Земли, которое 42164 км. И тогда мой вариант уменьшается до $0{,}0483$ суток, а Ваш арксинус до $0{,}00366$.

[Pphantom]

Dmitriy40 в сообщении #1356821 писал(а):

И оно равно просто отношению арксинуса отношения радиусов Земли и орбиты спутника к $\pi$.

Да, именно так и есть. При этом решение - это одна тривиальная картинка и одна очевидно следующая из картинки формула, так что зачем нужно было городить все вышеизложенные ужасы, понять трудно.

[Rusit8800]

Dmitriy40 в сообщении #1356821 писал(а):

Ваш арксинус до $0{,}00366$.

Хм, а у меня все выражение до этого числа уменьшается, а арксинус в $\pi$ раз больше. Уже 4 раз пересчитываю.

[Dmitriy40]

Rusit8800
Вольфрам

-- 25.11.2018, 22:26 --

Pphantom
Там интересно доказать что это решение - именно решение задачи о максимуме. Ну и ТС изначально хотел не просто максимум, это как раз просто о чём я ему сразу сказал, а и фактически функцию от двух углов, чтоб выдавала все координаты точек входа/выхода в/из тени (или продолжительность пребывания в тени). Во всяком случае я начальное сообщение понял так.

[Pphantom]

Dmitriy40 в сообщении #1356831 писал(а):

Там интересно доказать что это решение - именно решение задачи о максимуме. Ну и ТС изначально хотел не просто максимум, это как раз просто о чём я ему сразу сказал, а и фактически функцию от двух углов, чтоб выдавала все координаты точек входа/выхода в/из тени (или продолжительность пребывания в тени). Во всяком случае я начальное сообщение понял так.

На мой взгляд, это совершенно очевидно, но даже если зачем-то задаться подобной задачей, ее тоже лучше бы решать более разумными методами. В данном же случае решение застряло на середине, а последующие "рассуждения как физика" в общем-то означают, что это все надо выкинуть и начать сначала.

[Dmitriy40]

Pphantom
Согласен.

(Оффтоп)

Но вдруг товарищ тренируется в алгебраических методах решений ... Я вообще предложил ему (в ЛС) матрицу преобразований координат задействовать для поворота плоскости орбиты спутника к перпендикулярной орбите Земли и направлению на Солнце, если вдруг ему так понятнее ...