Определение предела функции.

[grizzly]

VitalyaTaylor в сообщении #1356271 писал(а):

Не глупо ли

Похоже, что корневая причина Вашего неприятия лежит в определении понятия функция. Но в математике существует несколько традиций относительно того, как давать это определение. Посмотрите (или оставьте себе на будущее в закладках) эту ссылку обсуждения данного вопроса на международном форуме профессиональных математиков (MO). Обратите внимание, сколько участников там поддерживают определение, по которому функции с разными областями определения считаются разными. Там же можете найти, где и почему это бывает важно (кое-что из того упомянуто и у Зорича).

У нас это тоже пару раз обсуждалось в том же духе, но я не смог найти.

[gevaraweb]

Otta в сообщении #1356296 писал(а):

В котороем смысле они пропадают, можно на примере?

Из за слова ЕСЛИ.

Цитата:

Если $E=E^+_a = \{x \in R | x>a \}$ ... то говорят о пределе справа

Значит, если функция определена и слева, и справа от а, то нельзя, вот так сразу, говорить о пределе справа! Условие в ЕСЛИ - не выполнено.

[g______d]

gevaraweb в сообщении #1356286 писал(а):

Ведь в определении на скрине пропадают случаи, когда функция определена и слева, и справа от точки а.

Не пропадают. Во всех этих определениях предполагается, что $f$ определена на $E$. Это означает, что $E\subset \mathrm{dom}{f}$. Предполагать, что эти слова означают "определена только на $E$" ($E=\mathrm{dom}(f)$) абсолютно противоестественно. В конце концов, употребительное выражение "определена и непрерывна в точке $a$", которое во второй интерпретации бессмысленно (функция, определённая в одной точке, автоматически в ней непрерывна).

[Otta]

gevaraweb в сообщении #1356303 писал(а):

Из за слова ЕСЛИ.

Это слово надо правильно прочитать.

gevaraweb в сообщении #1356303 писал(а):

Значит, если функция определена и слева, и справа от а, то нельзя, вот так сразу, говорить о пределе справа! Условие в ЕСЛИ - не выполнено.

Предел в любом случае локальное понятие. И в данном случае слово "Если" - это выбор базы предельного перехода. При таком выборе база состоит из правых (левых) окрестностей точки $a$. И это, собственно, все, как его ни записывай.
На вторую половину окрестности функции наплевать, вне зависимости, может ли она там быть задана или нет.

-- 24.11.2018, 01:50 --

(Опять буквоедство одно. Ну.)

[grizzly]

g______d в сообщении #1356305 писал(а):

Предполагать, что эти слова означают "определена только на $E$" ($E=\mathrm{dom}(f)$) абсолютно противоестественно.

Я продолжаю настаивать, что в формализме Зорича (в данном месте) предполагается именно это. А вопрос gevaraweb решается следующим абзацем (3 строки), которые он, конечно же не дочитал. В Вашей же интерпретации следующий абзац выглядит нелепо избыточным, имхо.

[Otta]

grizzly в сообщении #1356317 писал(а):

А вопрос gevaraweb решается следующим абзацем (3 строки), которые он, конечно же не дочитал.

Да нет, он не об этом.
Он вот о чем: как же я буду считать $\lim\limits_{x\to 0+0} \operatorname{sgn} x$, если перед этим мне сказали, что

$$\operatorname{sgn} x=\begin{cases} 1,&\text{если $x>0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ -1,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

gevaraweb, я Вас правильно понимаю?

[gevaraweb]

grizzly в сообщении #1356317 писал(а):

А вопрос gevaraweb решается следующим абзацем (3 строки)

Хм, отчасти да. Но теперь складывается впечатление, что это определение для $E \neq R$. Для $E = R$ надо смотреть предыдущий абзац.

Otta в сообщении #1356318 писал(а):

gevaraweb, я Вас правильно понимаю?

Да, мы не можем считать такой предел. Сигнум должен быть определен только справа от нуля.

[grizzly]

Otta
Вот те 3 строки, о которых я говорю:

$E$ в этом случае всё $\mathbb R$ и никаких проблем с определением односторонних пределов я не вижу. Напомню на всякий случай ещё раз, что во фразе "стремится по множеству" под множеством Зорич понимает область определения функции (см. выражение "стремится по множеству" в пояснении к определению предела функции в точке).

Или я правда потерял нить обсуждения?

[arseniiv]

gevaraweb в сообщении #1356321 писал(а):

Да, мы не можем считать такой предел. Сигнум должен быть определен только справа от нуля.

А ограничить функцию — почему-то большой грех.

[Otta]

grizzly в сообщении #1356322 писал(а):

Вот те 3 строки, о которых я говорю:

Да я-то понимаю Вас. Я Вам обозначила проблему ТС, раз уж он не смог ее вычленить.

gevaraweb в сообщении #1356321 писал(а):

Хм, отчасти да. Но теперь складывается впечатление, что это определение для $E \neq R$. Для $E = R$ надо смотреть предыдущий абзац.

Посмотрите на тот же.

[grizzly]

gevaraweb в сообщении #1356321 писал(а):

Но теперь складывается впечатление

Не смог понять. Может, это просто излишняя впечатлительность?

[g______d]

grizzly в сообщении #1356317 писал(а):

Я продолжаю настаивать, что в формализме Зорича (в данном месте) предполагается именно это.

Похоже, что мне стоило открыть Зорича, прежде чем комментировать :(.

Но теперь мне кажется, что у него не очень хорошо написано. В частности, либо он не может писать

$$ \lim\limits_{x\to -1+0}\sqrt{1-x^2}=0, $$

либо таблицу с базами нужно уточнить: например, называть базой правосторонних окрестностей точки $a$ любую совокупность вида $\{(a,b)\colon a<b<b_0\}$.

В текущий формулировке $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)=b$ означает, что база всех правосторонних окрестностей точки $a$ является базой в $\mathrm{dom}(f)$, что мне кажется излишним (зачем нам требовать, чтобы $(a,+\infty)\subset \mathrm{dom}(f)$?).

Да, я смотрел 6 издание, стр. 149 -- 150.

[Otta]

grizzly
Проблема в том, что в двух соседних абзацах буквой $E$ обозначены разные объекты.

[grizzly]

g______d в сообщении #1356326 писал(а):

либо таблицу с базами нужно уточнить

В моём (весьма старом втором издании) та таблица называется примерно так: "Примеры некоторых часто используемых в анализе баз".

Otta в сообщении #1356328 писал(а):

Проблема в том, что в двух соседних абзацах буквой $E$ обозначены разные объекты.

Да в том то и дело, что я этой проблемы не могу увидеть. Для меня и там, и там этой буквой обозначается просто термин "область определения", а не конкретный объект (подмножество прямой).

[g______d]

grizzly в сообщении #1356329 писал(а):

В моём (весьма старом втором издании) та таблица называется примерно так: "Примеры некоторых часто используемых в анализе баз".

Во втором точно так же. Страница 125, -5 строчка: "Если $E=E_a^+=\{x\in \mathbb R\mid x>a\}$ ... то вместо $x\to a$, $a\in E$ пишут $x\to a+0$". Это не очень хорошо, потому что запрещает писать

$$ \lim\limits_{x\to -1+0}\sqrt{1-x^2}=0 $$

и заставляет везде тащить "$x\in \mathrm{dom}(f)$".

И, по-моему, в дальнейших примерах он этому не следует.