Система уравнений в кольце вычетов по модулю

[SpiderHulk]

Требуется решить систему уравнений в кольце вычетов по модулю 3

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+2\cdot z=1 \\ y+2\cdot z=2 \\ 2\cdot x+z=1 \\ \end{array} \right.$$

Корни системы в рациональных числах:

$x=\frac{1}{3}, y=\frac{4}{3}, z=\frac{1}{3}$

Единственный метод для такого случая, который мне на данный момент известен это одновременно прибавлять к целым числам правых частей уравнений или вычитать из них число 3, пока не получится система с целыми корнями

Например одна из возможных систем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+2\cdot z=4 \\ y+2\cdot z=5 \\ 2\cdot x+z=4 \\ \end{array} \right.$$

Но ни в одной из таких систем не существует целого $z$

В процессе решения таких систем возникает ситуация:
$-3\cdot z=-1+n,$ где $n$ - кратно числу $3$

Это ставит меня в тупик

[Sender]

А что мешает применить старый добрый метод Гаусса?

[SpiderHulk]

Sender в сообщении #1354291 писал(а):

А что мешает применить старый добрый метод Гаусса?

Именно методом Гаусса я и решаю
Но для систем вида:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+2\cdot z=1+n \\ y+2\cdot z=2+n \\ 2\cdot x+z=1+n \\ \end{array} \right.$$

где $n\bmod 3=0$ целого $z$ не существует

[JohnDou]

Deleted

[kotenok gav]

SpiderHulk в сообщении #1354293 писал(а):

где $n\bmod 3=0$ целого $z$ не существует

Ну вы решили задачу - доказали, что решение не существует.

-- 16 ноя 2018, 01:56 --

Да, кстати, у вас опечатка в условии - так система имеет бесконечно много решений.

[arseniiv]

kotenok gav в сообщении #1354296 писал(а):

так система имеет бесконечно много решений

Над конечным кольцом такого точно не может быть.

Кстати, решение в рациональных намекает на результат, ибо 3, оно же 0, очевидно необратимо в $\mathbb Z_3$ — так что там нет элементов $n/3$ для $n\notin3\mathbb Z$, в том смысле что нет таких $x$, чтобы $x\cdot3 = n$. Хотя с этим надо аккуратно.

[Nemiroff]

У вас первое и третье уравнения в сумме откровенно намекают на ответ.

[vpb]

Nemiroff в сообщении #1354366 писал(а):

первое и третье уравнения в сумме откровенно намекают на ответ

Это верно. Однако, проблема ТС, кажется, в том, что он вообще не очень понимает что такое кольцо/поле вычетов.

SpiderHulk
вот вопрос. (а) Знаете ли Вы, что кольцо вычетов по модулю простого числа является полем, и почему ?
(б) Рассмотрим поле вычетов по модулю $7$. Найдите $x+y$, $x-y$, $xy$, $x/y$ и $y/x$, где $x=\overline 3$, $y=\overline 5$.

[kotenok gav]

arseniiv в сообщении #1354364 писал(а):

Над конечным кольцом такого точно не может быть.

Ну я говорил про рациональные.

[SpiderHulk]

kotenok gav в сообщении #1354296 писал(а):

Да, кстати, у вас опечатка в условии - так система имеет бесконечно много решений

Какая система?

Nemiroff в сообщении #1354366 писал(а):

У вас первое и третье уравнения в сумме откровенно намекают на ответ.

$3\cdot x + 3\cdot z = 2$ Это уравнение намекает на отсутствие целых корней в кольце вычетов по модулю три?

vpb в сообщении #1354401 писал(а):

Знаете ли Вы, что кольцо вычетов по модулю простого числа является полем, и почему ?

Да, потому что кольцо ассоциативное, коммутативное, с ненулевой единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный

vpb в сообщении #1354401 писал(а):

Рассмотрим поле вычетов по модулю $7$. Найдите $x+y$, $x-y$, $xy$, , где $x=\overline 3$, $y=\overline 5$

Я не знаю что значат вот такие обозначения:

Цитата:

$x=\overline 3$, $y=\overline 5$

Если это обыкновенные числа три и пять, то:
$x+y=1$
$x-y=5$
$xy=1$
$x/y$ и $y/x$ не знаю, нет решений?

[Sender]

SpiderHulk в сообщении #1354501 писал(а):

Да, потому что кольцо ассоциативное, коммутативное, с ненулевой единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный

Каковы обратные элементы для $3$ и $5$?

-- Пт ноя 16, 2018 16:58:45 --

SpiderHulk в сообщении #1354501 писал(а):

$3\cdot x + 3\cdot z = 2$

И, кстати сказать, в кольце вычетов по модулю $3$ нет элемента $3$.

[SpiderHulk]

Sender в сообщении #1354507 писал(а):

Каковы обратные элементы для $3$ и $5$?

Таких нет

Sender в сообщении #1354507 писал(а):

И, кстати сказать, в кольце вычетов по модулю $3$ нет элемента $3$

Я знаю

[Sender]

SpiderHulk в сообщении #1354501 писал(а):

всякий ненулевой элемент имеет обратный

SpiderHulk в сообщении #1354522 писал(а):

Sender в сообщении #1354507 писал(а):

Каковы обратные элементы для $3$ и $5$?

Таких нет

Вы не усматриваете тут некоего, эмм, противоречия?

[SpiderHulk]

Sender в сообщении #1354529 писал(а):

Вы не усматриваете тут некоего, эмм, противоречия?

$5$ и $3$ ?

$(3 \cdot 5) \bmod 7 = 1$

$(5 \cdot 3) \bmod 7 = 1$

vpb в сообщении #1354401 писал(а):

поле вычетов по модулю $7$. Найдите $x+y$, $x-y$, $xy$, $x/y$ и $y/x$, где $x=\overline 3$, $y=\overline 5$

$x/y=1$ и $y/x=1$ ?

[Sender]

SpiderHulk в сообщении #1354534 писал(а):

$5$ и $3$ ?

Да.

SpiderHulk в сообщении #1354534 писал(а):

$1$ и $1$ ?

Нет.