задали в институте
Ваш преподаватель либо преисполнен верой в своих студентов, либо не ведает что творит.
Если считать, что ось
совпадает с направлением силы тяжести, то C классической частью вы вроде как справились. В квантовой части, однако, есть такая сложность. Пусть классический гамильтониан имеет вид

какой квантовый гамильтониан ему соответствует? Явно не

поскольку

Честный ответ - любой эрмитовый, но таких много, и чем

хуже или лучше

не известно. По некоторым соображениям математики (да и физики) в этом случае любят писать операторы в форме Вейля (абсолютно симметричной форме). Прочитать про эту форму можно в книжке Фаддеева с Якубовским "Квантовая механика для математиков", но переписать в такой форме Ваше выражение - некоторое дело. Но можно этого и не делать, если преподавателя устроит любая
самосопряженная форма.