Задача по квантовой механике

[Gickle]

warlock66613 в сообщении #1354387 писал(а):

Если бы это был квадрат двумерного вектора, то было бы $r^2 = x^2 + y^2$, а квадрат производной $\dot r^2$ выглядел бы совсем иначе.

Понятно же, что имелось в виду $\dot{\mathbf{r}}^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$.

Добавлю к ответу amon некоторое дополнение. Часто любят говорить, что существует некоторая процедура "квантования" -- переход от классического описания к квантовому. И это зачастую прививает мышление, что классическое описание первично, а квантовое получается лишь в результате какого-то "квантования". Но это принципиально неправильная логика. Грубо говоря, никакой биекции между классической механикой и квантовой нет! Логика должна быть обратной -- квантовая механика более фундаментальна, а классическое описание (если возможно!) получается лишь в некотором пределе. То, что у вас получилось, называется ordering ambiguity -- квантовый гамильтониан $\hat{H}(\hat{p},\hat{q})$ в данном случае не определяется однозначно классической функцией Гамильтона $H(p,q)$.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354387 писал(а):

а квадрат производной $\dot r^2$ выглядел бы совсем иначе.

Еще раз. В стартовом сообщении $\dot{r}^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2.$ Это следует из дальнейших преобразований, а также из того, что так принято писать. Написан $\left(\dot{\vec{r}}\right)^2$

[warlock66613]

Gickle в сообщении #1354388 писал(а):

Понятно же, что имелось в виду $\dot{\mathbf{r}}^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2$.

Понятно, что $r$ - скаляр, расстояние вдоль проволоки. Вектор вы с amon додумали. Это следует из дальнейших преобразований, а также из того, что так писать не принято.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354390 писал(а):

Это следует из дальнейших преобразований

Продемонстрируйте.

[Gickle]

warlock66613 в сообщении #1354387 писал(а):

В любом случае надо ввести координату вдоль кривой (не нравится $r$, пусть будет $s$) и записать кинетическую энергию как $m\dot s^2/2$.

То ли я дурак, то ли потенциальную энергию в этих координатах фиг так просто выразишь. Выражение для длины параболической дуги уж больно страшное получается. Ну и вообще я не очень верю, что таким вот макаром можно будет уйти от проблемы, озвученной amon. Всплывёт какая-нибудь другая тогда (типа $\sqrt{s}$ вылезет какой-нибудь, например).

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354390 писал(а):

Это следует из дальнейших преобразований

Сыграю за Вас.
\begin{align*} dl&=\sqrt{dx^2+dy^2}\\ dy&=2\alpha x dx\\ dl&=dx\sqrt{1+(2\alpha x)^2}\\ \frac{dl}{dt}&=\frac{dx}{dt}\sqrt{1+(2\alpha x)^2} \end{align*}
но это ни как не поможет. Кроме того, даю зуб, что ТС не так действовала.

[warlock66613]

amon, так, только без двойки: $dy = \alpha x dx$.

Gickle в сообщении #1354395 писал(а):

типа $\sqrt{s}$ вылезет какой-нибудь, например

Разве $\sqrt s$ или $s^{2/3}$ сделает оператор несимметричным?

[lel0lel]

Подход warlock66613 правильный. Можно записать классический гамильтониан в виде $H=\frac{p_s^2}{2m}+U(s)$, здесь обобщённая координата $s$ это длина дуги с учетом знака, $p_s$ соответствующий обобщенный импульс. Далее $[\hat{s},\hat{p}_s]=i \hbar$, откуда $\hat{p}_s=-i\hbar \frac{d}{ds}$. Справедливости ради замечу, что $U(s)$ в элементарных функциях не выражается. В связи с чем разумно поступить иначе: в силу симметрии задачи, гамильтониан будет выглядит наиболее просто в параболических координатах. Начнём с квантового гамильтониана для двумерного движения частицы массы $m$ в потенциале $U(x,y)$, т.е. $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})+U(x,y)$. В нашем случае, благодаря наличию связи $y=\alpha x^2/2$, функция $U(x,y)$ устроена следующим образом: всюду вне параболы она равна бесконечности, а для точек лежащих на параболе она принимает значение $mgy$. Вообще говоря, в таком подходе есть подвох: если рассматривать вышеописанный потенциал как предел все более локализованного потенциала в окрестности параболы, то получим, что энергия частицы будет бесконечная даже в основном состоянии. Но это дело легко поправить - нужно полностью исключить динамику в вырожденном направлении, так мы "перенормируем" энергетический спектр частицы. Делаем замену $\tilde{y}=y-1/(2\alpha)$, уравнение параболы принимает вид $\tilde{y}=\alpha x^2/2-1/(2\alpha)$, это нужно для того, чтобы одна из новых координат принимала постоянное значение. Действительно, смотрим Параболические координаты и видим, что для нашей параболы $\sigma=1/\sqrt{\alpha}$. По той же ссылке смотрим формулу для лапласиана и, учитывая отсутствие динамики по $\sigma$, записываем гамильтониан

$$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}+\frac{mg\tau^2}{2}.$$

[lel0lel]

Не покидает меня чувство, что я проврался постом выше. Так лихо с бесконечностями поступать нельзя (есть более аккуратная процедура, а не простое отбрасывание соответствующих производных). Поэтому просьба скептически относиться к выписанному гамильтониану.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354413 писал(а):

Разве $\sqrt s$ или $s^{2/3}$ сделает оператор несимметричным?

Не сделает, но, в отличии от классической механики, где эти подходы эквивалентны и дают один и тот же (с точностью до переобозначений) ответ, в квантовой механике ответы разные, и чем Ваш ответ лучше ответа ТС я и, боюсь, ни кто не знает.

lel0lel в сообщении #1354620 писал(а):

По той же ссылке смотрим формулу для лапласиана

А почему Вы уверены, что там будет тот же лапласиан? В Вашем подходе надо разбираться что там будет в качестве канонического импульса, и мне кажется, что результат совпадет с "результатом" (в смысле неоднозначности оператора гамильтона) ТС, если там опечатку исправить (должно быть $H=\frac{p^2}{2m(1+(ax)^2)}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}$).

[Pavia]

amon в сообщении #1354805 писал(а):

в квантовой механике ответы разные,

Что вы имеете в виду?

[amon]

Pavia в сообщении #1354999 писал(а):

Что вы имеете в виду?

В классической механике существует каноническое преобразование, переводящее функцию гамильтона, записанную в координатах $s$ в функцию, записанную в координатах $x$. Стало быть с точки зрения классической механики это разная запись уравнений для одной и той же физической системы.

В квантовой механике отсуствует унитарное преобразование, переводящее "$s$-гамильтониан" в "$x$-гамильтониан". Это понятно хотя бы потому, что "$x$-гамильтонианов" много, а "$s$-гамильтониан" один. Поэтому эти операторы Гамильтона соответствуют разным квантово-механическим объектам, имеющим один и тот же классический предел.

[IdaRubin]

amon, дело в том, что непонятно как вытаскивать зависимость от координаты $x$ в гамильтониане, вправо или влево, то есть будет на него действовать оператор импульса или нет. Здесь и нужно использовать то, что Вы сказали про симметричный и самосопряженный оператор.