Задача по квантовой механике

[IdaRubin]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, с решением задачи по квантовой механике. Нужно проквантовать бусинку на проволоке, которая имеет форму параболы $\frac{\alpha x^2}{2}$.
$T=\frac{m}{2} \dot{r}^2=\frac{m}{2}\dot{x}^2(1+(a x)^2)$.
$L=\frac{m}{2} \dot{x}^2(1+(a x)^2)-\frac{1}{2}(mgax^2)$.
$\omega=g a$.
$L=\frac{m \dot{x}^2}{2} (1+(ax)^2)-\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$.
$H=\frac{p^2}{2m(1+ax)^2}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}$.

Теперь надо проквантовать гамильтониан


$\hat{H}=\frac{\hat{ p}^2}{2m} \sum_{n}(a \hat{x})^{2n}+\frac{m\omega^2 \hat{x}^2}{2}$.

Правильно ли я делаю?

[amon]

У меня возникло несколько вопросов.
1. Кто Вас научил использовать крест в качестве знака умножения? Очень раздражает.
2. Откуда Вы эту задачу откопали? Она явно не для начинающих.
3. Понимаете ли Вы, что запись $H=\frac{p^2}{2m(1+ax)^2}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}$ неоднозначна, а "гамильтониан" $\hat{H}=\frac{\hat{ p}^2}{2m} \sum_{n}(a \hat{x})^{2n}+\frac{m\omega^2 \hat{x}^2}{2}$ не самосопряженный и даже не симметричный оператор?

[IdaRubin]

1) Исправила, теперь нет креста, 2) задали в институте, 3) я не уверена, что правильно решаю задачу, поэтому и спрашиваю

[amon]

IdaRubin в сообщении #1354369 писал(а):

задали в институте

Ваш преподаватель либо преисполнен верой в своих студентов, либо не ведает что творит. Если считать, что ось $x$ совпадает с направлением силы тяжести, то C классической частью вы вроде как справились. В квантовой части, однако, есть такая сложность. Пусть классический гамильтониан имеет вид $H=p^2q^2,$ какой квантовый гамильтониан ему соответствует? Явно не $\hat{H}=\hat{p}^2\hat{q}^2$ поскольку $\hat{H}^+=\hat{q}^2\hat{p}^2\ne \hat{p}^2\hat{q}^2.$ Честный ответ - любой эрмитовый, но таких много, и чем $\hat{p}\hat{q}^2\hat{p}$ хуже или лучше $\frac{1}{2}(\hat{p}^2\hat{q}^2+\hat{q}^2\hat{p}^2)$ не известно. По некоторым соображениям математики (да и физики) в этом случае любят писать операторы в форме Вейля (абсолютно симметричной форме). Прочитать про эту форму можно в книжке Фаддеева с Якубовским "Квантовая механика для математиков", но переписать в такой форме Ваше выражение - некоторое дело. Но можно этого и не делать, если преподавателя устроит любая самосопряженная форма.

[warlock66613]

А зачем вообще такие мучения с $x$? Не лучше ли оставить кинетическую энергию в её простой форме ($p^2/2m$)? Ну то есть не выражать $r$ через $x$, а наоборот?

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354373 писал(а):

Ну то есть не выражать $r$ через $x$, а наоборот?

Тогда надо квантовать систему со связью, что не проще и выдаст, как я понимаю, такую же неоднозначность.

[warlock66613]

amon, какая тут связь? Тут если и можно какую-то связь придумать, то чисто геометрическую, от которой можно тут же избавиться. Это же просто одномерная система с частицей в заданном потенциале $U(r)$.

-- 16.11.2018, 02:39 --

amon в сообщении #1354372 писал(а):

Если считать, что ось $x$ совпадает с направлением силы тяжести, то с классической частью вы вроде как справились.

Тут что-то не сходится. Может вы хотели написать "перпендикулярна направлению силы тяжести"?

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354376 писал(а):

Тут что-то не сходится. Может вы хотели написать "перпендикулярна направлению силы тяжести"?

В лагранжиане написано $L=\frac{m}{2} \dot{x}^2(1+(a x)^2)-\frac{1}{2}(mgax^2).$ значит направления силы тяжести и оси $x$ совпадают.Это я вру, сила тяжести вдоль $y$

warlock66613 в сообщении #1354376 писал(а):

Тут если и есть связь, то чисто геометрическая (интегрируемая).

Так ее и проинтегрировали и получили из $\frac{m}{2}( \dot{x}^2+ \dot{y}^2)$ то, что написано в лагранжиане, а дальше все однозначно, при переходе к гамильтониану получится то, что написала уважаемая IdaRubin и ничего другого тут не придумать.

[warlock66613]

amon в сообщении #1354377 писал(а):

значит направления силы тяжести и оси $x$ совпадают

Обычно если потенциальная энергия записана в виде $mgy$ (как тут), то это значит, что направление силы тяжести совпадает с осью $y$.

-- 16.11.2018, 02:59 --

amon в сообщении #1354377 писал(а):

Так ее и проинтегрировали

Да тут даже не надо ничего интегрировать. Надо просто взять в качестве единственной координаты $r$ и выразить через неё потенциальную энергию, вот и вся задача.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354378 писал(а):

Надо просто взять в качестве единственной координаты $r$

А кинетическая энергия при этом как будет выглядеть?

warlock66613 в сообщении #1354378 писал(а):

направление силы тяжести совпадает с осью $y$.

Да тут виноват, это я сослепу квадрата не заметил. Сила тяжести вдоль $y$.

[warlock66613]

amon в сообщении #1354380 писал(а):

А кинетическая энергия при этом как будет выглядеть?

$m \dot r^2/2$ в лагранжиане, что превратится в $p^2/2m$ с $p=m \dot r$ в гамильтониане.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354381 писал(а):

$m \dot r^2/2$ в лагранжиане, что превратится в $p^2/2m$ с $p=m \dot r$ в гамильтониане.

$r$ у вас число или двумерный вектор? Если вектор, то надо как-то учесть, что $y=\alpha x^2,$ а если число, то я вообще ничего не понял.

[warlock66613]

$r$ - число, то же самое, что и в стартовом сообщении (координата вдоль проволоки).

[amon]

warlock66613 в сообщении #1354384 писал(а):

$r$ - число, то же самое, что и в стартовом сообщении (координата вдоль проволоки).

В стартовом сообщении $\dot{r}^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2,$ т.е. это квадрат двумерного вектора. Подстановка туда $y=\alpha x^2$ приводит к выражению $T=\frac{m}{2} \dot{x}^2(1+(a x)^2)$ для кинетической энергии. Что Вы предлагаете вместо него написать?

[warlock66613]

amon в сообщении #1354385 писал(а):

стартовом сообщении $\dot{r}^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2,$ т.е. это квадрат двумерного вектора.

Если бы это был квадрат двумерного вектора, то было бы $r^2 = x^2 + y^2$, а квадрат производной $\dot r^2$ выглядел бы совсем иначе.

-- 16.11.2018, 03:56 --

Хотя если бы там было $\dot {\mathbf r}^2$, то вы были бы правы. В общем-то это не важно. В любом случае надо ввести координату вдоль кривой (не нравится $r$, пусть будет $s$) и записать кинетическую энергию как $m\dot s^2/2$.