2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 13  След.
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение09.11.2018, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4082
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1352922 писал(а):
Кроме направления перехода энергии - это выводится.
Не, не выводится. Постулируется, что энергия переходит от тела с более высокой внутренней энергией к телу с более низкой, что есть вранье в общем случае. Это верно для идеальных газов, для которых внутренняя энергия и температура это одно и тоже, либо тел из одного и того же материала. В этом случае это утверждение совпадает со 2-м началом (тепло идет от горячего к холодному). Этот постулат неявно используется в таких доказательствах (см. Базаров И.П. Заблуждения и ошибки в термодинамике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение09.11.2018, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
amon
Ну если вы не читаете Киттеля, а читаете только Базарова, я выхожу из разговора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5798
Итак, рассмотрим следующую динамическую систему: ряд из четырёх монет, каждая из которых может лежать на одной из двух сторон. Будем обозначать монету, лежащую аверсом вверх, нулём, а монету, лежащую вверх реверсом, единицей. Тогда пространство состояний ($\Gamma$-пространство) - это множество из шестнадцати элементов $| 0000 \rangle, | 0001 \rangle, \dots, | 1111 \rangle$. Для краткости будем обозначать каждое состояние его номером, совпадающим со значением его обозначения как двоичного числа: $| 0 \rangle, \dots, | 15 \rangle$.

Следующее, что нам понадобится - динамика. Время будет дискретным, а динамика, задаваемая унитарным оператором эволюции $\hat U$, очень простой: $$\hat U | n \rangle = | (n + 1) \bmod 16 \rangle.$$

Таким образом, наша система является эргодической и детерминистической, а время возвращения Пуанкаре равно $16$ шагам. Также имеется $t$-инвариантность: если определить оператор инверсии времени как $\hat T |n\rangle = | 15 - n \rangle$, то будем иметь $$\hat U^{-1} \hat T = \hat T \hat U$$.

Теперь перейдём к динамике ансамблей/распределений. Ансамбль мы определим как взвешенный набор состояний, то есть множество всех возможных ансамблей - это $\mathbb R^\Gamma$. Мы можем задавать ансамбли с помощью "чисел заполнения": $\rho = |n_0, n_1, \dots, n_{15} \rangle,\quad n_i \in \mathbb R$. Динамику ансамблей, индуцированную $\hat U$, можно записать в виде уравнения Лиувилля $$\rho_{t+1} = \hat L \rho_t,$$ где оператор Лиувилля $\hat L$ циклически сдвигает числа заполнения: $$\hat L |n_0, n_1, \dots, n_{15} \rangle = |n_{15}, n_0, \dots, n_{14} \rangle.$$ Поскольку динамика ансамблей согласована с динамикой микросостояний, последние можно рассматривать как частный случай ансамблей, а именно как ансамбли, состоящие из одной системы.

Определим энтропию ансамбля $S[\rho]$ традиционным образом как $$S[|n_0, n_1, \dots, n_{15} \rangle] = -\sum\limits_{i=0}^{15} n_i 
\log n_i.$$(Я буду брать логарифмы по основанию $\sqrt 2$ - так круглее.)

Отметим, что энтропия любого микросостояния равна нулю. Оператор Лиувилля не меняет значения чисел заполнения, лишь смещает их индексы, то есть выполняется теорема Лиувилля $$S[\rho] = S[\hat L \rho].$$
Значит ли это, что энтропия сохраняется? Вовсе нет! Это значит, что энтропия ансамбля не является физической энтропией.

Как же правильно определить (физическую) энтропию? Для этого прежде всего необходимо ввести понятие макросостояния. За макросостояние мы примем разность количества единичек и ноликов $N[|n \rangle]$. Так, для $| 13 \rangle$ макросостоянием будет $N[| 13 \rangle] = N[| 1011 \rangle] = 2$. Всего имеется пять различных макросостояний: $0, \pm 2, \pm 4$. Заметим, что макросостояния, так же как и микросостояния, могут быть представлены в виде распределений в $\Gamma$-пространстве: соответствующий макросостоянию ансамбль состоит из микросостояний, которыми данное макросостояние может быть осуществлено, и нормирован так, что сумма чисел заполнения равна $1$.

Энтропией макросостояния мы будем называть логарифм числа микросостояний, которыми можно осуществить данное макросостояние. Нетрудно подсчитать, что для $N = 0$ энтропия равна $\log 6 \approx 5$, для макросостояний $N = \pm 2$ энтропия будет $\log 4 = 4$, а для $N = \pm 4$ энтропия равна нулю. Это определение согласовано с определением энтропии ансамбля: энтропия макросостояния равна энтропии соответствующего ансамбля.

Так вот, физической энтропией системы, находящейся в некотором (микро)состоянии, мы будем называть именно энтропию макросостояния. И нетрудно заметить, что точная (без всякого трения) динамика системы не оставляет физическую энтропию постоянной! Так, если начать с состояния $|0\rangle$, то энтропия будет вести себя следующим образом: $$0\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 0.$$Может быть по этому ряду и не очевидно, что она растёт (а на самом деле это так - в том смысле, который имеет закон возрастания энтропии в статфизике), но что она не остаётся постоянной - точно очевидно.

Как же так получается, что уравнение Лиувилля говорит, что энтропия остаётся постоянной, в то время как очевидно, что на самом деле это не так? Да просто уравнение Лиувилля не является правильным уравнением эволюции макросостояний. Так, если подействовать оператором Лиувилля на $N=-4$, то вместо правильного макросостояния $N = -2$ мы получим $\hat L | 1, 0, \dots, 0 \rangle = | 0, 1, 0, \dots, 0 \rangle$, что вообще не похоже на на какое макросостояние.

Продолжение воспоследует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4082
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1352962 писал(а):
у если вы не читаете Киттеля
Ну почему, Киттеля тоже читаю
Киттель писал(а):
Для доказательства рассмотрим суммарное изменение энтропии $\delta \sigma$ в случае, когда мы отбираем положительное количество энергии $\delta U$ от тела 1 и добавляем такое же количество энергии телу 2 (рис. 4.5). Суммарное изменение энтропии равно
$\delta \sigma=\left(\frac{\partial \sigma_1}{\partial U_1}\right)_{N_1}(-\delta U)+\left(\frac{\partial \sigma_2}{\partial U_2}\right)_{N_2}\delta U\dots$
При $\tau_1 > \tau_2$ величина, заключенная в правой стороне равенства в скобки, положительна (см. (22)). Направление потока энергии согласуется с обычным представлением о высокой и низкой температуре: энергия переходит от тела с высокой температурой к телу с низкой температурой.
Теперь, что здесь написано с точки зрения меня, потомка крепостной крестьянки. Написано, что если есть два тела с разной температурой и мы отнимем кусок внутренней энергии от одного и запихнем в другое так, что вся энергия идет на изменение энтропии и больше ни на что, то энтропия увеличивается если я перепихиваю энергию от горячего тела к холодному, а значит естественный процесс пойдет в эту сторону.
Теперь что здесь меня не устраивает. Если я реально приложу горячее тело к холодному, то кроме изменения энтропии изменится еще давление, объем и прочее. Поэтому кроме члена $\frac{\partial \sigma_1}{\partial U_1}$ будет еще что-то вроде $\frac{\partial \sigma_1}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial U_1}$ и в этом месте все поплывет. Рассуждение искренне уважаемого мной ученого Киттеля годится в качестве иллюстрации согласованности статфизики и термодинамики в детском учебнике, но на доказательство того, что тепло всегда идет от горячего к холодному не тянет. Киттель, наверно, хороший учебник, просто я его поздно открыл и начал придираться.
warlock66613, то, что вы пишете напоминает мне какие-то упражнения Пуанкаре по поводу упражнений Людвига Больцмана. Я это на свежую голову почитаю и повспоминаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):
Да просто уравнение Лиувилля не является правильным уравнением эволюции макросостояний.

Yes-s-s!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 09:58 
Заслуженный участник


20/08/14
6913
Россия, Москва
Задам пару глупых вопросов.
warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):
Как же правильно определить (физическую) энтропию? Для этого прежде всего необходимо ввести понятие макросостояния. За макросостояние мы примем разность количества единичек и ноликов $N[|n \rangle]$. Так, для $| 13 \rangle$ макросостоянием будет $N[| 13 \rangle] = N[| 1011 \rangle] = 2$. Всего имеется пять различных макросостояний: $0, \pm 2, \pm 4$.

Энтропией макросостояния мы будем называть логарифм числа микросостояний, которыми можно осуществить данное макросостояние.
Я правильно понимаю что свойства энтропии макросостояния будут очень существенным образом зависеть от метода определения понятия макросостояния? По тексту выше это очевидно, но тогда непонятно почему правильно (см. начало цитаты) именно так? Или потом будет показано что для любого осмысленного (в каком-то смысле, например для вывода температуры) определения макросостояния результирующий вывод сохраняется? Или только такой/аналогичный способ определения макросостояния приводит к естественному (по своим свойствам) понятию температуры? Просто непонятно почему такой достаточно произвольный способ ввода макросостояния назван правильным - например введя макросостояние как сумму количества единиц и нулей сразу получим единственное макросостояние и постоянную энтропию и дальше всё порушится. С логарифмом всё ясно.
Если эти вопросы освещены в указанных выше учебниках (каюсь, не читал), то вопросы снимаю, так и скажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5798
Dmitriy40 в сообщении #1352998 писал(а):
Я правильно понимаю что свойства энтропии макросостояния будут очень существенным образом зависеть от метода определения понятия макросостояния?
Наоборот, не будут зависеть. Единственное, что требуется - чтобы макросостояния существенно различались по энтропии. Если энтропия у всех макросостояний одинакова - интересной макрофизики они не дадут.
Dmitriy40 в сообщении #1352998 писал(а):
естественному (по своим свойствам) понятию температуры?
Ну, если перейти от монет к молекулам, то надо сказать, что термометры измеряют более-менее определённую температуру. В остальном разницы нет. Почему для человека важны именно определённые макросостояния - это отдельный вопрос.
Dmitriy40 в сообщении #1352998 писал(а):
Если эти вопросы освещены в указанных выше учебниках
Эти вопросы освещены в книге "The physical basis of the direction of time" (на русском её нет). Но в учебнике Киттеля тоже кое-что есть.
Dmitriy40 в сообщении #1352998 писал(а):
например введя макросостояние как сумму количества единиц и нулей сразу получим единственное макросостояние и постоянную энтропию и дальше всё порушится
А что порушится? Закон неубывания энтропии будет выполняться. Но да, интересного в такой физике мало.
Dmitriy40 в сообщении #1352998 писал(а):
Просто непонятно почему такой достаточно произвольный способ ввода макросостояния назван правильным
Не, я не имел в виду, что только такой вариант "правильный". Я имел в виду, что чтобы получить "правильную" энтропию нужно ввести какие-нибудь макросостояния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 12:13 


31/07/14
524
Я понял, но не врубился.
warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):
Как же так получается, что уравнение Лиувилля говорит, что энтропия остаётся постоянной, в то время как очевидно, что на самом деле это не так? Да просто уравнение Лиувилля не является правильным уравнением эволюции макросостояний.

Может быть я не совсем понял ситуацию, но нужно ли это вообще в поте лица иллюстрировать? Ведь гамильтонову систему нельзя задать посредством макросостояния? А в доказательстве выше было сразу оговорено
amon в сообщении #1352945 писал(а):
Берем замкнутую лиувиллеву систему.

Другой вопрос - действительно ли энтропия не меняется при сохранении фазового объёма? Пенроуз сетовал, что фазовый объём при эволюции системы хоть и сохраняется, но приобретает амёбообразную (фрактальную?) форму что делает "исходную информацию практически бесполезной".

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 12:25 
Заслуженный участник


20/08/14
6913
Россия, Москва
warlock66613 в сообщении #1353005 писал(а):
А что порушится? Закон неубывания энтропии будет выполняться. Но да, интересного в такой физике мало.
Может я что не понимаю, но ведь энтропия вообще не сможет меняться, она ж постоянной получится. Постоянная, но разная для разных ансамблей (из разного количества частиц/монет/микросостояний - я вообще правильно тут употребил термин "ансамбль"? или надо всё же "телами"?) и притом никакого перетекания тепла (энтропии) между двумя телами (ансамблями) не будет, хоть у них и разная температура (энтропия) - энтропия ни одного из тел просто не может измениться. Вот это и порушится, законы термодинамики. :-) Т.е. не для любого определения макросостояния получим законы термодинамики.
Или я наткнулся на единственный вырожденный случай и во всех других, когда макросостояний больше одного и обязательно с разной энтропией, дальше всё будет работать, независимо от метода комбинации микросостояний в макросостояния? Похоже что так ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 12:26 


27/08/16
6757
warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):
Определим энтропию ансамбля $S[\rho]$ как логарифм (по основанию $\sqrt 2$ - так круглее) суммы чисел заполнения.
Почему это определение корректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5798
Dmitriy40 в сообщении #1353018 писал(а):
Или я наткнулся на единственный вырожденный случай
Кратко говоря - да.

-- 10.11.2018, 15:23 --

realeugene в сообщении #1353020 писал(а):
Почему это определение корректно?
А что там может вызывать сомнение в корректности? Определение абсолютно однозначное. Это обычное $-\int \rho \log \rho$ в чуть завуалированном виде. Возможно мне стоит переделать определение ансамбля на более традиционный вариант, чтобы явно использовать эту формулу?
UPDATE: переделал.

-- 10.11.2018, 15:32 --

chislo_avogadro в сообщении #1353016 писал(а):
А в доказательстве выше было сразу оговорено
Цитата:
Берем замкнутую лиувиллеву систему.
Что я и сделал - взял очень простую замкнутую лиувиллеву систему.
chislo_avogadro в сообщении #1353016 писал(а):
Другой вопрос - действительно ли энтропия не меняется при сохранении фазового объёма?
Нет, как я только что продемонстрировал.
chislo_avogadro в сообщении #1353016 писал(а):
Пенроуз сетовал, что фазовый объём при эволюции системы хоть и сохраняется, но приобретает амёбообразную (фрактальную?) форму что делает "исходную информацию практически бесполезной".
Да, в этом всё дело. Традиционная аналогия, которую можно встретить во многих учебниках, - капля чернил в стакане с водой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5798
amon в сообщении #1352978 писал(а):
но на доказательство того, что тепло всегда идет от горячего к холодному не тянет
Я думаю, это хорошее замечание. Действительно, указанные рассуждения, по-видимому, применимы только к конкретному рассматриваемому в учебнике случаю. Не думаю, что автор этого не понимал. То есть да, это не доказательство общей теоремы, а иллюстрация на конкретном примере. Но подправлять для общего случая придётся именно это доказательство, но не определение температуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3830
Москва
warlock66613, я правильно понимаю, что единственное важное для возрастания энтропии свойство в вашей модели - это эргодичность? (ну и простой общий факт, что при разбиении множества на неравные части большинство элементов попадают в большие части)

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5798
mihaild, абсолютно правильно.

-- 10.11.2018, 21:34 --

Если говорить точнее, то чтобы наблюдать возрастание энтропии требуется ещё кое-что, а именно немаксимальность начальной энтропии. А если говорить ещё точнее, то мы должны находиться в недалёком будущем относительно точки минимальной энтропии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энтропия и стрела времени
Сообщение10.11.2018, 20:35 


27/08/16
6757
warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):
если определить оператор инверсии времени как $\hat T |n\rangle = | 16 - n \rangle$, то будем иметь $$\hat U \hat T = \hat T \hat U$$
Нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 189 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 13  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group