Что Вас потрясло в математике?

[arseniiv]

SpiderHulk в сообщении #1343304 писал(а):

То есть вот такая ситуация, $x+y=z$ в более сложных случаях это всё менее очевидно

А вы проецируйте наоборот — векторы треугольника на направление красненького — симметричность скалярного произведения вы ведь наверно уже показали.

alcoholist в сообщении #1343317 писал(а):

Не знаю... я на экзамене так и подписывал два вектора: вот вектор $e_1=1$, вот $e_2=\cos t$, они ортогональны.

Просто вряд ли SpiderHulk будет проще находить скалярные произведения в таких пространствах, зная, что собой представляет ортогональность в них, чем в обратную сторону — определять ортогональность, зная вид скалярного произведения.

[Ktina]

Оказывается, существуют шизофренические числа. Потрясло.

[wrest]

Ktina
Среди нецелых чисел существуют числа с какими угодно последвательностями цифр в десятичной записи их как целой так и дробной части. Это следует просто из того, что мы можем взять и записать их , ручкой.

[arseniiv]

Гораздо интереснее признаки, не зависящие от основания системы счисления. Например, можете посмотреть на числа $q^{a_1} + q^{a_2} + q^{a_3} + \ldots$, где $q\in(-1;1)_{\mathbb Q}$, а $(a_n)$ быстрорастущая (факториал, например). (Подобное очень старо, это просто пример.)

[Duelist]

Мне очень понравился вывод основной теоремы алгебры из теории Галуа. Очень красивой показалась связь силовских подгрупп и радикальных расширений поля.
Доказательство через гомотопии куда менее интересно - из того, что я видел (видел, например, в Хатчере).
А первое доказательство есть в Ленге (ч. 2 - "теория полей", глава VIII "Теория Галуа", параграф 2) и есть в Винберге (в 10 главе - "группы", в 7 параграфе).

[Slav-27]

По-моему, топологическое доказательство всё-таки более естественно.

Теорема. Любой непостоянный многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень.

Доказательство. Пусть степень нашего могочлена $p$ равна $n$; многочлен непостоянный, поэтому $n>0$. Правило $z \mapsto p(z)$ задаёт отображение $p:\mathbb CP^1\to \mathbb CP^1$, переводящее $\infty$ в $\infty$. $\mathbb CP^1=S^2$, поэтому это отображение задаёт некоторый элемент $\pi_2(S^2)=\mathbb Z$, то есть некоторое целое число; это число называется степенью отображения $p$. Отображение $p$ гомотопно отображению $z\mapsto z^n$, поэтому у них одинаковые степени. Но степень отображения $z\mapsto z^n$ равна $n$ (это не совсем очевидно, но и не очень сложно). Поэтому степень отображения $p$ тоже равна $n$, в частности, оно сюръективно (несюръективное отображение гомотопно отображению в точку, степень которого, очевидно, $0$). $\qed$

Выше можно вместо $\pi_2$ говорить про $H_2$: отображение $p:S^2\to S^2$ индуцирует гомоморфизм $p_*:H_2(S^2)\to H_2(S^2)$, а так как $H_2(S^2)=\mathbb Z$, то это умножение на какое-то целое число; оно равно степени отображения $p$ (можно это использовать как определение степени).

Есть статья В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Десять доказательств основной теоремы алгебры.

[пианист]

А мне больше всего понравилось доказательство Гаусса, сущностей по минимуму, и при этом совершенно прозрачное.

[Slav-27]

пианист
Какое именно?
C. F. Gauss's proofs of the fundamental theorem of algebra

[пианист]

Первое.

[kotenok gav]

Я видел только доказательство через теорему Руше, оно очень краткое.

[Duelist]

Slav-27
Спасибо за хороший пример.
А 10 доказательств на будущее сохранил, сейчас нет времени на такое. Но это круто, конечно.

[ragnarek]

Всегда поражали парадоксы, связанные с бесконечностями. Например, если разрезать пирог сначала попополам, потом половину опять пополам и так далее, то мы получим пирог с бесконечной площадью поверхности, но с ограниченным объемом. Для такого пирога нужно взять, условно, килограмм теста, но бесконечное количество глазури, чтобы покрыть его.
Также впечатлила задача про муравья, ползущего по резиновой ленте длиной 1 метр. Каждую секунду муравей проползает 1 см, а лента равномерно растягивается на 1 м. В итоге муравей проползет полный круг.
Был впечатлен задачей про стопку кирпичей на краю стола, которую можно сложить так, что стопка будет торчать от края стола на неограниченную величину и при этом общий центр тяжести не выйдет за край стола (в этой и предыдущей задаче участвуют расходящиеся ряды).
Также был поражен, когда узнал, что увеличение периметра Земли по экватору на 6 метров даст прирост к радиусу на 1 метр.
и еще много чего!

[arseniiv]

ragnarek в сообщении #1372623 писал(а):

Для такого пирога нужно взять, условно, килограмм теста, но бесконечное количество глазури, чтобы покрыть его.

Тут в основном проблема в том, что мы берём объёмное тесто, но почему-то при этом плоскую глазурь. Если брать объёмную глазурь и мазать её с определённой толщиной, её внезапно понадобится лишь конечное количество, как вы там половинки ни располагайте, если только пирог останется ограниченным (а если не останется, то неудивительно, что понадобится бесконечное количество глазури).

ragnarek в сообщении #1372623 писал(а):

Также был поражен, когда узнал, что увеличение периметра Земли по экватору на 6 метров даст прирост к радиусу на 1 метр.

Так это-то вообще очевидно. Длина окружности зависит от её радиуса линейно с коэффициентом собственно ${}\approx6{,}28$. Не перепутали с задачей про опоясывавшую плотно сферу верёвку, к которой добавили немного длины и оттянули?

[ragnarek]

arseniiv

Цитата:

Не перепутали с задачей про опоясывавшую плотно сферу верёвку, к которой добавили немного длины и оттянули?

Ну да, о ней и речь. Ответ выглядит удивительно для обывателя. Потом уже выясняешь, что в расчетах вообще не участвует изначальный радиус шара.

[VAL]

ragnarek в сообщении #1372808 писал(а):

arseniiv

Цитата:

Не перепутали с задачей про опоясывавшую плотно сферу верёвку, к которой добавили немного длины и оттянули?

Ну да, о ней и речь. Ответ выглядит удивительно для обывателя. Потом уже выясняешь, что в расчетах вообще не участвует изначальный радиус шара.

Как раз наоборот. В той, где нерастяжимую веревку оттянули, как-раз таки, участвует радиус.