Что Вас потрясло в математике?

[SpiderHulk]

Например ортогональная проекция вектора a на направление вектор b умноженная на какой-либо скаляр $\lambda$

==========

Я только сегодня понял, что скалярное произведение двух векторов это взятая со знаком длина проекции одного из этих векторов на направление другого и всего лишь, так просто. После этого линейность становится очевидной, вытекает из свойств арифметических операций над числами

[Munin]

"Достаточно всего лишь из чертежа увидеть, что (проекция (суммы (произведений векторов на скаляры)) равна (сумме (произведений (проекций векторов) на скаляры)) и на этом всё, всё становится кристально ясно."

-- 02.10.2018 17:36:59 --

SpiderHulk в сообщении #1343261 писал(а):

Я только сегодня понял, что скалярное произведение двух векторов это длина проекции одного из этих векторов на другой (взятая со знаком) и всего лишь, так просто.

Здесь потерялась зависимость от модуля второго вектора.

[SpiderHulk]

Munin в сообщении #1343266 писал(а):

Здесь потерялась зависимость от модуля второго вектора

Да, действительно. Взятая со знаком проекция короткого вектора на направление длинного

===

Чего то от меня опять начинает ускользать понимание, мне надо остановится и дополнительно немного всё обдумать

[arseniiv]

SpiderHulk
Вообще серьёзно скалярное произведение определяют как раз как некоторую билинейную функцию двух векторных аргументов — там даже доказывать не придётся. А с проекциями работает только в «наглядных» пространствах, где ортогональность нам дана откуда-то свыше, а не из самого скалярного произведения.

Munin в сообщении #1343266 писал(а):

Здесь потерялась зависимость от модуля второго вектора.

В принципе, если подумать, наивно-геометрическое определение можно дать такое: скалярное произведение векторов — это билинейная функция двух векторов такая, что для пары единичных она даёт косинус угла между ними (ну или ту самую проекцию, но определять её знак отдельно дольше, чем воспользоваться уже определённым косинусом). Заодно можно будет компаньона ввести — функцию, дающую синус.

[Munin]

SpiderHulk в сообщении #1343255 писал(а):

То что можно объяснить семикласснику за 5 минут нарисовав чертёж

Семиклассники не понимают, что такое линейность, это для них слишком абстрактное понятие. Проверено на живых семиклассниках.

[Mikhail_K]

SpiderHulk в сообщении #1343267 писал(а):

Взятая со знаком проекция короткого вектора на направление длинного

Неее, это уже что-то совсем не то.
Скалярное произведение любого вектора на вектор единичной длины - это и впрямь, проекция первого на второй.
А вот скалярное произведение двух произвольных векторов - это проекция любого из них на другой вектор, умноженная на модуль другого вектора.

[arseniiv]

(Речи демона-искусителя)

SpiderHulk в сообщении #1343267 писал(а):

Чего то от меня опять начинает ускользать понимание

И правильно, потому что исходить из синтетической геометрии муторнее, хотя она из-за долгой истории знакомства обычному читателю кажется ему ясной. Пока не перестанет. Приходится переворачивать определения вверх ногами и определять евклидово пространство как аффинное над линейным пространством со скалярным произведением, и углы, и тригонометрию, и длины выводить из последнего. И вот тогда выведется, что любой ортогональный данному вектор — это к тому же и некоторое кратное некоторого его поворота на $\pi/2$, что мы в наивной постановке брали почти за определение.

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #1343269 писал(а):

А с проекциями работает только в «наглядных» пространствах

если вектора только два (как и принято в скалярном произведении), то они span плоскость))

[SpiderHulk]

Mikhail_K в сообщении #1343273 писал(а):

Скалярное произведение любого вектора на вектор единичной длины

Да, вот именно это я и упустил. Притом в моём воображении этот вектор хоть и единичной длины, но тем не менее огромен, по сравнению с векторами, проекции которых на него меня интересуют
То есть моё озарение касается частного случая, подобного такому:
$(\alpha\cdot a+\beta\cdot b+\gamma\cdot c, d)=\alpha\cdot(a, d)+\beta\cdot(b, d)+\gamma\cdot(c, d)$
Где вектор $\alpha\cdot a+\beta\cdot b+\gamma\cdot c$ заведомо короче, чем вектор единичной длины $d$, и его проекция на вектор $d$ положительна
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - числа

Коварна математика, я решил что понял всё, а оказалось лишь небольшую часть

[arseniiv]

alcoholist в сообщении #1343282 писал(а):

если вектора только два (как и принято в скалярном произведении), то они span плоскость))

Ну возьмём в качестве этих векторов элементы $L_2$ какого-нибудь — всяко школьная интуиция не сработает.

-- Вт окт 02, 2018 20:25:32 --

SpiderHulk в сообщении #1343286 писал(а):

Притом в моём воображении этот вектор хоть и единичной длины, но тем не менее огромен, по сравнению с векторами, проекции которых на него меня интересуют

Проекций на вектор не существует, потому его длина не обязана быть такой, чтобы на его изображении поместились все проекции (особенно как вы собрались умещать отрицательные?). Проецируется же на направленную прямую. Потому, собственно, длина вектора внезапно и вылезает, потому что скалярное произведение-то не от направленных прямых берётся, а от векторов.

[wrest]

SpiderHulk
Ну то есть теперь у вас потрясение в том, что все оказалось не так просто, как вы думали, когда потряслись простотой

[Munin]

SpiderHulk в сообщении #1343286 писал(а):

Притом в моём воображении этот вектор хоть и единичной длины, но тем не менее огромен, по сравнению с векторами, проекции которых на него меня интересуют

Этот эффект я заметил тоже: в школе обычно "живёшь" в больших числах, единица - маленькая. А в вузе - напротив, скорее в интервале $[0,1].$ Интуиция разная, например, возведение в квадрат не увеличивает число, а уменьшает его.

[arseniiv]

А потом числа внезапно перестают сравниваться, а дальше оказывается, что это и вовсе не числа, умножение некоммутативно, метрика не евклидова, её вообще нет, первая аксиома отделимости не выполняется, а большие кардиналы смотрят откуда-то с недостижимой выси и усмехаются.

[SpiderHulk]

wrest в сообщении #1343293 писал(а):

Ну то есть теперь у вас потрясение в том, что все оказалось не так просто, как вы думали, когда потряслись простотой

На самом деле я заподозрил неладное, поэтому сюда и написал
Одно предположение оказалось верным:

Цитата:

(проекция [на направление "другого" вектора] (суммы (произведений векторов на скаляры)) равна (сумме (произведений (проекций [на направление "другого" вектора] векторов) на скаляры))

А вот второе справедливым лишь для единичного вектора:

Цитата:

скалярное произведение двух векторов это взятая со знаком длина проекции одного из этих векторов на направление другого

Но наиболее комфортная для моей интуиции ситуация, это когда (проекция (суммы (произведений векторов на скаляры)) положительна и меньше длины единичного вектора
И наиболее некомфортная, это когда я пытаюсь представить проекции "другого" вектора на направления нескольких векторов входящих в сумму. В таком случае мне уже совсем не очевидно, что такая суммарная проекция равна проекции "другого" вектора на направление вектора суммы. Да и чертёж простым для меня в таком случае не будет

(Оффтоп)

То есть вот такая ситуация, $x+y=z$ в более сложных случаях это всё менее очевидно

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #1343292 писал(а):

Ну возьмём в качестве этих векторов элементы $L_2$ какого-нибудь — всяко школьная интуиция не сработает.

Не знаю... я на экзамене так и подписывал два вектора: вот вектор $e_1=1$, вот $e_2=\cos t$, они ортогональны.

-- Вт окт 02, 2018 19:39:26 --

arseniiv в сообщении #1343292 писал(а):

Проецируется же на направленную прямую.

кажется, лучше говорить "на направление вектора", впрочем и то, и другое ранее не определялось)