2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 22:01 
Аватара пользователя


13/03/11
139
Спб
ewert в сообщении #576360 писал(а):
Ну а в рамках -- это просто по определению.


по какому определению, можно чуточку поточнее?

Как предел решений для дельтаобразных последовательностей ?
Через перекидывание производных на пробную функцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 22:23 


15/01/09
549
Через перекидывание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 22:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
theambient в сообщении #576365 писал(а):
Через перекидывание производных на пробную функцию?

Именно так. Именно так формально и определяются всевозможные производные от обобщённых функций. Ну а что это определение согласуется (в практических задачках) с аналогичными действиями над приближающими последовательностями, или не согласуется -- вопрос уже следующий.

Вообще-то ни одна формальная теория не обязана (да и не в силах) охватывать все мыслимые области своей применимости. Охватывает -- хорошо; нет -- бум думать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 22:43 
Аватара пользователя


13/03/11
139
Спб
но тем не менее, не совсем понятно как искать эту функцию.

Возьмем упрощенный случай.

$$
   \frac{d}{dx} G = \delta(x)
$$

Как искать эту функцию? Она должна по определению удовлетворять следующему соотношению

$$
\int G \frac{d}{dx} f(x) dx = f(0).
$$

Дальше непонятно, или определение стоит использовать только для проверки? А функцию каким-то образом угадывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 23:24 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
theambient в сообщении #576381 писал(а):
но тем не менее, не совсем понятно как искать эту функцию.

Да никак. Функция Грина, вообще говоря, ровно никак не ищется (кроме очень специальных случаев). С теоретической точки зрения -- достаточно того, что она какая-никакая, но существует. С практической -- она расчётам никак не поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение26.05.2012, 02:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
theambient в сообщении #576359 писал(а):
откуда это взялось и что за закорючки там написаны мне известно, но не совсем укладывается в голове как это понимать формально

Формально можете считать, что $G$ и $\delta(x-x_0)$ - векторы в каком-то линейном пространстве, а $\Delta$ - оператор в нём же. Соответственно, нахождение $G$ подразумевает вычисление обратного $\Delta^{-1}$ (иногда прямо так напрямую и пишут $\tfrac{1}{\Delta}$). Чтобы его вычислить, надо перейти к базису, в котором он диагонален, в данном случае - совершить преобразование Фурье. Тогда будет всё просто: $\Delta\risingdotseq k^2,\quad\Delta^{-1}\risingdotseq \tfrac{1}{k^2}.$ Всё это получает строгий смысл в функане, но с огромным количеством плясок с бубном в довесок. $\delta(x-x_0)$ - не член векторных пространств обычных функций, но некоторых их расширений - член. $G$ при этом оказывается членом и некоторых векторных пространств обычных функций (правда, не для всех уравнений это справедливо, в ряде случаев функция Грина сама обобщённая, например, записывается через дельта-функции).

-- 26.05.2012 04:10:07 --

ewert в сообщении #576375 писал(а):
Вообще-то ни одна формальная теория не обязана (да и не в силах) охватывать все мыслимые области своей применимости. Охватывает -- хорошо; нет -- бум думать дальше.

Если теория что-то не охватывает, значит, оно не входит в её область применимости.

ewert в сообщении #576394 писал(а):
Функция Грина... С практической -- она расчётам никак не поможет.

В смысле? Как раз для расчётов функция Грина часто очень полезный объект.

ewert в сообщении #576394 писал(а):
Функция Грина, вообще говоря, ровно никак не ищется (кроме очень специальных случаев).

Есть же общая теория, как её искать, для разных дифоператоров и дифуравнений, и граничных задач. По сложности не уступающая другим способам решения этих уравнений, но всё же, не несуществующая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение03.11.2018, 19:16 


01/08/17
42
Munin в сообщении #576122 писал(а):
Это основное выражение с производной дельта-функции
$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$

а если границы интегрирования не $(-\infty;\infty)$, а например, [0,$\alpha$], то производная как будет выглядеть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение03.11.2018, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2762
Уфа
Если интервал интегрирования строго внутри себя содержит $x_0$ — результат будет тот же самый.
Если точка $x_0$ лежит строго вне интервала $[0, \alpha]$ — будет ноль.
Если точка $x_0$ лежит точно на границе ($x_0=0$ или $x_0=\alpha$), то тут я затрудняюсь сказать. С точки зрения математики это наиболее интересный случай, но с физической точки зрения едва ли у такого интеграла будет смысл. Возможно, будет что-то вроде $\pm \delta(x_0)f(x_0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение03.11.2018, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2492
СПб
Замечаем, что
$$\int\limits_{-\infty}^{0}\delta'(x-x_0)f(x)dx=-\frac{f'(x_0-0)}{2}б$$
$$\int\limits_{0}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=-\frac{f'(x_0+0)}{2}$$
и в свое удовольствие считаем по любому отрезку (используя аддитивность интеграла).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение04.11.2018, 23:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
worm2 в сообщении #1351478 писал(а):
Если точка $x_0$ лежит точно на границе ($x_0=0$ или $x_0=\alpha$), то тут я затрудняюсь сказать. С точки зрения математики это наиболее интересный случай, но с физической точки зрения едва ли у такого интеграла будет смысл

Вот как раз с физической смысл и есть: физики склонны располовинивать эту дельта-функцию, т.к. в их интуитивном понимании она есть просто бесконечный колокольчик, притом симметричный. А вот с формально-математической -- смысла ровно никакого: для математиков дельта-функция есть некая вестчь в себе, внутренней структуры не имеющая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение05.11.2018, 02:23 
Заслуженный участник


18/01/15
1976
alcoholist в сообщении #1351482 писал(а):
и в свое удовольствие считаем по любому отрезку (используя аддитивность интеграла)

Ох, сумлеваюся я... По моему скромному мнению (в пределах моих знаний), обобщенные функции --- это непрерывные функционалы на некоторых "пространствах основных функций", которые являются подпространствами в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на всей прямой. (Но, может быть, есть и какая-то теория обобщенных функций на сегменте, о которой я не в курсе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение05.11.2018, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2762
Уфа
ewert в сообщении #1351724 писал(а):
физики склонны располовинивать эту дельта-функцию
С обычной дельта-функцией — это я согласен. А вот как быть с её производной, не понятно. Если брать какие-нибудь канонические гладкие последовательные приближения $d_i(x)\to\delta'(x)$, то они все будут положительными слева и отрицательными справа.

Если взять, например, пробную функцию $f(x)=1-x$ и посчитать от $f(x)d_i(x)$ два интеграла: по $(-\infty, 0)$ и по $(0, +\infty)$, то первый интеграл будет (для достаточно близких приближений) всегда положительным, а второй — всегда отрицательным. Да, их сумма, разумеется, будет стремиться к единице ($-f'(0)$), но по отдельности "половинки" если и будут иметь какие-то пределы, то отличающиеся друг от друга (в то время, как у $f(x)$ производные слева от нуля и справа от нуля равны).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group