2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 01:21 
Можете мне объяснить, откуда взялось выражение для производно дельта-ыункции?

-- 25.05.2012, 02:29 --

Мои мысли на этот счет
Дельта-ыункция за бесконечно малый промежуток времени изменяется от нуля до бесконечности
НАйдет скороть в этой точке
За бесконечно малое время функция прошла бесконечно большое расстояние, следовательно ее скорость будет бесконечность в квадрате
Получается производная от дельта-функции должна быть равна квадрату дельта-функции

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 01:37 
Аватара пользователя
Да, "за бесконечно малое время функция прошла бесконечно большое расстояние". Но! Потом за другое такое же время функция прошла такое же расстояние в отрицательную сторону. Так что да, там должна быть "бесконечность в квадрате", но две штуки: плюс и минус. Следующая производная - уже три штуки, и так далее.

А вот "квадрат дельта-функции" - вещь, которой не даётся никакого определения, и посчитать его нельзя.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 01:40 
Цитата:
Так что да, там должна быть "бесконечность в квадрате", но две штуки: плюс и минус. Следующая производная - уже три штуки, и так далее.
а почему в определении производной дельта-функции ее нет
Цитата:
А вот "квадрат дельта-функции" - вещь, которой не даётся никакого определения, и посчитать его нельзя.
а дельта-функцию можно как-то посчитать? :-)

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 01:45 
oOOO в сообщении #575954 писал(а):
а дельта-функцию можно как-то посчитать?

Дельта-функция — ненастоящая функция. Это приправа под знак интеграла, в чистом виде ее (как и перец) никто не ест. Просто Дираку захотелось, чтобы вместо $f(0)$ можно было писать $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)\,dt$.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 01:51 
Аватара пользователя
oOOO в сообщении #575954 писал(а):
а почему в определении производной дельта-функции ее нет

А вы где это определение берёте-то? Цитируйте, приводите ссылку.

Joker_vD в сообщении #575958 писал(а):
Дельта-функция — ненастоящая функция.

Да, точнее, дельта-функция - это странный математический объект под названием "обобщённая функция" (в англоязычной терминологии distribution). С ней можно интегрировать, но много других действий, разрешённых для обычной функции, для неё делать нельзя.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 12:40 
Цитата:
А вы где это определение берёте-то? Цитируйте, приводите ссылку.
извиняюсь, его нету
Я имел ввиду вот это$$-я не знаю как писать интеграл и производную, но словами это-что интеграл по всей прямой от произведения производной дельта-функции на какую-то функцию равняется производной этой функции, взятойсо знаком минус
Это основное выражение с производной дельта-функции


Цитата:
Да, точнее, дельта-функция - это странный математический объект под названием "обобщённая функция" (в англоязычной терминологии distribution). С ней можно интегрировать, но много других действий, разрешённых для обычной функции, для неё делать нельзя.
а где обоснование
По-моему, ее можно не только возводить в квадрать, но и брать от нее логарифм :-)

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 12:43 
Аватара пользователя
Обоснование чего? Что некий объект из числа обобщённых функций подчиняется правилам теории обобщённых функций? Это её определение, а всё остальное - популярный звон.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 12:43 
Цитата:
Что некий объект из числа обобщённых функций подчиняется правилам теории обобщённых функций?
а что это за теория такая?

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 13:29 
Аватара пользователя
oOOO в сообщении #576104 писал(а):
Я имел ввиду вот это-я не знаю как писать интеграл и производную, но словами это-что интеграл по всей прямой от произведения производной дельта-функции на какую-то функцию равняется производной этой функции, взятойсо знаком минус
Это основное выражение с производной дельта-функции

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$
Пишется так:
$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$
Никакого минуса там быть не должно, если только, как в свёртке, не стоит $\delta'(x_0-x),$ ну тогда понятно, почему минус: взята нечётная функция от противоположного аргумента.

oOOO в сообщении #576104 писал(а):
а где обоснование

oOOO в сообщении #576108 писал(а):
а что это за теория такая?

Теория называется "функциональный анализ", теория обобщённых функций - его часть.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 14:33 
Munin в сообщении #576122 писал(а):
$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x-x_0)f(x)dx=f'(x_0)$
Никакого минуса там быть не должно

Ну прям-таки.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 19:21 
Аватара пользователя
А, точно, перепутал.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 21:38 
Аватара пользователя
Знатоки, проясните неучу, что понимают, когда пишут, скажем
$$
\Delta G = \delta(x-x_0)?
$$

то, что
$$
\int G(x,x_0) \Delta f(x) dx = \Delta f( x_0 )?
$$

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 21:47 
Аватара пользователя
Здесь дельта - это оператор Лапласа, с ним записано уравнение Пуассона, а для него - функция Грина, позволяющая его решить. Предмет называется "уравнения математической физики". К дельта-функции относится довольно косвенно.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 21:51 
Аватара пользователя
откуда это взялось и что за закорючки там написаны мне известно, но не совсем укладывается в голове как это понимать формально

а так - да, функция точечного влияния, она же функция Грина, но что она из себя тут представляет. Вроде как она обыкновенная функция, но в правой части стоит сингулярная обобщенная функция, поэтому и возникает диссонанс: регулярная из сингулярной.

 
 
 
 Re: Производная дельта-функции
Сообщение25.05.2012, 21:55 
theambient в сообщении #576350 писал(а):
что понимают, когда пишут, скажем

Вне рамок теории обобщённых функций -- это некоторый жаргон. Т.е. это некоторые эвристические соображения (к которым, в конце-то концов, со времён Дирака все уж давно привыкли), после которых те же результаты можно обосновать и на вполне классическом языке.

Ну а в рамках -- это просто по определению.

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group