2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 07:57 
Аватара пользователя


21/08/18
8
Доброго времени суток, большое спасибо за проявленный интерес к заголовку. Придерживаясь своего клише: проблема, рассуждения (попытка решения), вопросы.

Дано:
Пусть $F$ - линейный оператор, переводящий многочлен степени не выше $2$ в его коэффициент при $x^2$
Какое из следующих подпространств является ядром оператора $F$ .
1) Множество многочленов вида $ax+b$, где $a,b \in R$
2) Множество многочленов вида $ax$, где $a \in R$
3) Множество многочленов вида $x^2 + ax + b$, где $a,b \in R$

Решение:
Хочу сделать ремарку, кажется, что задача рассчитана на подстановку ответа и проверку его правильности, это выглядит быстрее, чем решать её по-честному, но я всё-таки постарался делать так, как мне кажется правильным, и решить задачу целиком, а потом выбрать верный ответ. Мне так кажется.

По определению ядро оператора - это множество векторов пространства-операнда $L$ (под операндом я подразумеваю множество, к которому применяется оператор, уточняю во избежании недопонимая моей скупой терминологии), дающих нулевые векторы в переходном (полученном множестве).
Другими словами, это те векторы, которые при применении к ним оператора, превратятся в нуль-векторы.

В моей задаче за базисные векторы я приму: $(1,0,0)$, $(0,x,0)$, $(0,0,x^2)$, тогда всякий многочлен степени не выше второй представим в них. Пусть они обозначены соответственно $a$, $b$, $c$. Тогда всякий многочлен представим через $k\cdot a + l \cdot b + u \cdot c$ и $k,l,u \in R$
Тогда, линейныq оператор $F$ даёт мне представление:
$F(k \cdot a, l \cdot b, u \cdot c) = F(ka)+F(lb)+F(uc) = 0+0+u$
Здесь, я думаю, нужно попытаться найти вид линейного оператора, я не смог найти, как это делается, только правило: $Ax=0$, где $A$ - линейный оператор, поэтому попробовал сделать следующее (не уверен в верности происходящего):

$$\begin{pmatrix}
 k \cdot a \\
 l \cdot b \\
 u \cdot c
\end{pmatrix}$$
И умножить эту матрицу на $F$ (оператор слева), тогда, по правилу умножения матриц, новая матрица получится следующего вида (учтём, что матрица-оператор должна быть размерности nx3, для удобства я возьму размерность 1x3, но, возможно, это не так, однако, я получаю в конечном случае один элемент, равный коэффициенту при $x^2$, поэтому меня устроит размерность оператора 1x3, тогда результирующая матрица будет размером 1x1 - один элемент):
$$\begin{pmatrix}
  ka \cdot f_1+ lb \cdot f_2 + uc \cdot f_3 \\
\end{pmatrix}$$

Откуда следует, что $f_1 = 0$, $f_2 = 0$, $f_3=\frac{1}{c}$, т.е элемент, обратный $c$, но не коэффициенту u, т.е в конкретном случае: $f_3=\frac{1}{x^2}$
Тогда, оператор выглядит, как горизонтальный вектор $(0,0, \frac{1}{x^2})$

И вот здесь возникают вопросы:
1) Если я правильно нашёл линейный оператор $F$, то как найти $kerF$ ? Я, конечно, могу проверить линейным оператором каждый из предложенных вариантов и узнать, какой из них он обращает в нуль, но в этом случае получается, что подходят варианты ответа (1) и (2), если я применю к ним этот оператор, то получу нуль-вектор, т.к коэффициент при $x^2$ равен 0, но вариант ответа по условию задачи - один, следовательно, я нашёл не тот линейный оператор, но, кажется он выполняет исходные условия? Или я что-то упускаю? Если упускаю, подскажите, пожалуйста, на что стоит обратить внимания.
2) Как можно найти ядро оператора в данном случае? Кажется, что ядро оператора должно выполнять условие, при котором только те векторы исходного пространства $L$, которые при применение к оператору дадут нуль, но и в этом случае получается, что применение как вектора из ответа (1), так и вектора из ответа (2) дают нули, а значит они оба - члены ядра-оператора. Кажется, я опять что-то упускаю.


Большое спасибо за уделённое время и прочтение, моя большая благодарность и уважение. Буду признателен за подсказки, возможно, я забыл какую-то теорему (или вовсе её не знал) или указание на ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 08:22 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
В моей задаче за базисные векторы я приму: $(1,0,0)$, $(0,x,0)$, $(0,0,x^2)$
Видимо, отсюда началась проблема. Вы спутали базисные векторы с их координатной записью. И отсюда произошёл вот этот ужас:
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
т.е в конкретном случае: $f_3=\frac{1}{x^2}$

А ответ просто "светится" уже здесь:
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
Тогда, линейныq оператор $F$ даёт мне представление:
$F(k \cdot a, l \cdot b, u \cdot c) = F(ka)+F(lb)+F(uc) = 0+0+u$
непосредственно из определения ядра оператора. Перемудрили одним словом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
В моей задаче за базисные векторы я приму: $(1,0,0)$, $(0,x,0)$, $(0,0,x^2)$

Базисные вектора -- это элементы линейного пространства $L$. По условию $L$ -- пространство многочленов, а у вас какие-то тройки $(*,*,*)$. Вы уж определитесь.

-- Сб ноя 03, 2018 08:44:32 --

logunov в сообщении #1351305 писал(а):
учтём, что матрица-оператор должна быть размерности nx3, для удобства я возьму размерность 1x3, но, возможно, это не так, однако, я получаю в конечном случае один элемент, равный коэффициенту при $x^2$, поэтому меня устроит размерность оператора 1x3, тогда результирующая матрица будет размером 1x1 - один элемент

Если $A\colon V\to W$ -- линейный оператор, то как и чем определяется матрица этого оператора? Как ее размеры связаны с размерностями пространств?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
под операндом я подразумеваю множество, к которому применяется оператор, уточняю во избежании недопонимая моей скупой терминологии
Э-э-э… Что-то совершенно невнятное. Если имеется в виду линейное пространство, к векторам которого применяется оператор, то это линейное пространство можно назвать областью определения оператора. Вы не могли бы применять не свою выдуманную терминологию, а ту, которая имеется в учебнике?

logunov в сообщении #1351305 писал(а):
Здесь, я думаю, нужно попытаться найти вид линейного оператора, я не смог найти, как это делается, только правило: $Ax=0$, где $A$ - линейный оператор, поэтому попробовал сделать следующее (не уверен в верности происходящего):
Вид матрицы линейного оператора в заданном базисе наверняка есть в учебнике.

logunov в сообщении #1351305 писал(а):
Откуда следует, что $f_1 = 0$, $f_2 = 0$, $f_3=\frac{1}{c}$, т.е элемент, обратный $c$, но не коэффициенту u, т.е в конкретном случае: $f_3=\frac{1}{x^2}$
Тогда, оператор выглядит, как горизонтальный вектор $(0,0, \frac{1}{x^2})$
Извините, это нечто жутко неграмотное. У Вас $a,b,c$ — векторы. Операция деления числа на вектор не определена.

logunov в сообщении #1351305 писал(а):
как найти $kerF$ ?
По определению ядра.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
большое спасибо за проявленный интерес к заголовку

Хм... "Пространство ядра" -- действительно, привлекает внимание..

А в целом непонятно, зачем на такую задачу тратить так много слов? Ответ же практически очевиден. И даже "по-честному", без вариантов ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
provincialka, ТС хочет
logunov в сообщении #1351305 писал(а):
решать её по-честному

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл: найти подпространство ядра оператора
Сообщение03.11.2018, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
alcoholist
Только непонятно, что ему мешает? Кажется, у нас с ним разные представления о честности...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Brizon


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group