ЛинАл: найти подпространство ядра оператора

logunov · 21/08/18 8

Доброго времени суток, большое спасибо за проявленный интерес к заголовку. Придерживаясь своего клише: проблема, рассуждения (попытка решения), вопросы.

Дано:
Пусть $F$ - линейный оператор, переводящий многочлен степени не выше $2$ в его коэффициент при $x^2$
Какое из следующих подпространств является ядром оператора $F$ .
1) Множество многочленов вида $ax+b$ , где $a,b \in R$
2) Множество многочленов вида $ax$ , где $a \in R$
3) Множество многочленов вида $x^2 + ax + b$ , где $a,b \in R$

Решение:
Хочу сделать ремарку, кажется, что задача рассчитана на подстановку ответа и проверку его правильности, это выглядит быстрее, чем решать её по-честному, но я всё-таки постарался делать так, как мне кажется правильным, и решить задачу целиком, а потом выбрать верный ответ. Мне так кажется.

По определению ядро оператора - это множество векторов пространства-операнда $L$ (под операндом я подразумеваю множество, к которому применяется оператор, уточняю во избежании недопонимая моей скупой терминологии), дающих нулевые векторы в переходном (полученном множестве).
Другими словами, это те векторы, которые при применении к ним оператора, превратятся в нуль-векторы.

В моей задаче за базисные векторы я приму: $(1,0,0)$ , $(0,x,0)$ , $(0,0,x^2)$ , тогда всякий многочлен степени не выше второй представим в них. Пусть они обозначены соответственно $a$ , $b$ , $c$ . Тогда всякий многочлен представим через $k\cdot a + l \cdot b + u \cdot c$ и $k,l,u \in R$
Тогда, линейныq оператор $F$ даёт мне представление:
$F(k \cdot a, l \cdot b, u \cdot c) = F(ka)+F(lb)+F(uc) = 0+0+u$
Здесь, я думаю, нужно попытаться найти вид линейного оператора, я не смог найти, как это делается, только правило: $Ax=0$ , где $A$ - линейный оператор, поэтому попробовал сделать следующее (не уверен в верности происходящего):

$\begin{pmatrix} k \cdot a \\ l \cdot b \\ u \cdot c \end{pmatrix}$
И умножить эту матрицу на $F$ (оператор слева), тогда, по правилу умножения матриц, новая матрица получится следующего вида (учтём, что матрица-оператор должна быть размерности nx3, для удобства я возьму размерность 1x3, но, возможно, это не так, однако, я получаю в конечном случае один элемент, равный коэффициенту при $x^2$ , поэтому меня устроит размерность оператора 1x3, тогда результирующая матрица будет размером 1x1 - один элемент):
$\begin{pmatrix} ka \cdot f_1+ lb \cdot f_2 + uc \cdot f_3 \\ \end{pmatrix}$

Откуда следует, что $f_1 = 0$ , $f_2 = 0$ , $f_3=\frac{1}{c}$ , т.е элемент, обратный $c$ , но не коэффициенту u, т.е в конкретном случае: $f_3=\frac{1}{x^2}$
Тогда, оператор выглядит, как горизонтальный вектор $(0,0, \frac{1}{x^2})$

И вот здесь возникают вопросы:
1) Если я правильно нашёл линейный оператор $F$ , то как найти $kerF$ ? Я, конечно, могу проверить линейным оператором каждый из предложенных вариантов и узнать, какой из них он обращает в нуль, но в этом случае получается, что подходят варианты ответа (1) и (2), если я применю к ним этот оператор, то получу нуль-вектор, т.к коэффициент при $x^2$ равен 0, но вариант ответа по условию задачи - один, следовательно, я нашёл не тот линейный оператор, но, кажется он выполняет исходные условия? Или я что-то упускаю? Если упускаю, подскажите, пожалуйста, на что стоит обратить внимания.
2) Как можно найти ядро оператора в данном случае? Кажется, что ядро оператора должно выполнять условие, при котором только те векторы исходного пространства $L$ , которые при применение к оператору дадут нуль, но и в этом случае получается, что применение как вектора из ответа (1), так и вектора из ответа (2) дают нули, а значит они оба - члены ядра-оператора. Кажется, я опять что-то упускаю.

Большое спасибо за уделённое время и прочтение, моя большая благодарность и уважение. Буду признателен за подсказки, возможно, я забыл какую-то теорему (или вовсе её не знал) или указание на ошибки.

Eule_A · 30/09/17 1237