Отображение двумерного диска в тор

[gogoshik]

Прошу, плиз, помочь. Необходимо построить отображение двумерного диска (допустим выпуклый многоугольник) в двумерный тор (бублик). На самом деле признаюсь, не понимаю с чего начать. В задаче дополнительно ничего не сказано.

Под построением отображения я понимаю запись в виде уравнения от нескольких параметров. Пусть диск $D^2$ -- это $[0, 1] \times [0, 1]$ и тор $T^2 \subset \mathbb{R}^3$ определяется уравнением $Q(\varphi, \psi) = ((a+b ~\cos \varphi) \cos \psi, (a+b ~\cos \varphi) \sin \psi, a ~\sin \varphi) $, где $0 < b < a$ и $\varphi, \psi \in [0, 2\pi]$. Нам необходимо построить такое инъективное отображение $f: D^2 \to T^2$, чтобы точки диска перешли в тор таким образом, чтобы можно было диск вырезать из тора.

Я знаю, что после построения этого отображения идет другая задача -- построение отображения диска с двумя перекрещивающимися ленточками (про подобную конструкцию я раньше сообщал на форуме) на тор. Думаю, что используется одна и та же техника. Это все делается для того, чтобы доказать (как один из вариантов) возможность вложимости без самопересечений диска с перекрещивающимися ленточками в поверхность, в данном случае в тор. Т.е. сущестование отображения равносильно существованию такого вложения.

Это пока все, что я могу написать существенное по этой теме. Остальное пока ограничено моими знаниями.

[arseniiv]

Кажется, из формулировки неясно, должно ли отображение быть сюръективным, и если да, должно ли быть инъективным, плюс замкнутый диск или открытый, плюс в чём всё-таки конкретнее проблема. Непрерывность сочтём очевидно требующейся.

На всякий случай, соответствующим склеиванием сторон квадрата можно получить тор, если вдруг проблема где-то тут.

[gogoshik]

Диск замкнутый. Суть в том, что мне нужно построением отображения доказать, что диск может быть вложен в тор. Проблема в том, что это нужно показать аналитически, т.е. записать несколько параметрических уравнений, как понимаю. Мне вообще эта техника (аналитического построения отображения) кажется слишком причудливой. В алгебраической топологии она вроде и не используется. Это ближе к динамическим системам.

[arseniiv]

А вы знаете параметрические уравнения тора? (Если не знаете, получите их, рассматривая его как тело вращения.) Тогда отображать должно быть просто.

[gogoshik]

Знаю. Ну допустим, есть параметрическое уравнение диска и тора. Что нужно делать потом, может есть простой пример?

[alcoholist]

любая параметризация -- это отображение области плоскости в $\mathbb{R}^3$... Выбираете диск в этой области и готово.

[gogoshik]

Конечно спасибо. Но я плохо понимаю Вас. Диск в $\mathbb{R}^3$ --- этой мой диск, который мне нужно отобразить в $T^2 \subset \mathbb{R}^3$. Интересно, есть какой то книжный пример, где показано параметрическое задание отображения диска (например, круга или квадрата) в сферу? Как это вообще выглядит?

[arseniiv]

Диск пусть будет в $\mathbb R^2$, то есть мы уже ввели координаты на содержащей его плоскости. Выберем их даже так, чтобы весь диск вмещался в $[0; 1]^2$. А теперь…

[gogoshik]

Я откорректировал постановку задачи в первом сообщении. Спасибо за уточнения. Посмотрите, плиз.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и). Все еще отсутствуют.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Modest]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: Вернул. Но обратите внимание на то, что в новой постановке задача абсолютно тривиальна.

[alcoholist]

gogoshik в сообщении #1350879 писал(а):

определяется уравнением

Это не уравнение, а собственно параметризация.
Уравнение вида $F(x,y,z)=0$ можно получить исключив из трех равенств углы.

[gogoshik]

Т.е. Вы имеете в виду какую-то такую запись?

$F(x,y,z)=$\begin{cases} x=\cos\varphi \cos\psi,\\ y=\cos\varphi \sin\psi,\\ z=\sin\varphi. \end{cases}$$

А если просто так? Пусть диск определяется как: $[0,1]\times[0,1] \subset \mathbb{R}^2$. Известно, что тор $T^2$ можно представить как квадрат $[0,2\pi]\times[0,2\pi] \subset \mathbb{R}^2$ с отождеcтвленными противоположными сторонами. Тогда отображение $g: \mathbb{R}^2 \to T^2$ определим формулой: $g(x, y) = (x \mod 2\pi, ~y \mod 2\pi)$.

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1353376 писал(а):

Тогда отображение $g: \mathbb{R}^2 \to T^2$ определим формулой: $g(x, y) = (x \mod 2\pi, ~y \mod 2\pi)$.

Только тут ${}\bmod{2\pi}$ не нужно, ведь $x\mapsto x\bmod{2\pi}$ — это тождественное отображение на $[0; 1]\subset[0; 2\pi)$.

Но такое не обязательно посчитают соответствующим: могут захотеть нормального вложения тора в пространство — тогда этот квадрат с отождествлёнными сторонами надо отображать в $\mathbb R^3$, ну или кстати даже $\mathbb R^4$, где это красивее, но почему-то не было упомянуто.

[gogoshik]

Ну, я к тому, что по определению $T^2 = S^1 \times S^1$. Тогда $(x \mod 2\pi, ~y \mod 2\pi) \in S^1 \times S^1$. Хотя я, если честно уже ничего не понимаю, запутался.