2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 19:09 


11/12/16
403
сБп
Прошу, плиз, помочь. Необходимо построить отображение двумерного диска (допустим выпуклый многоугольник) в двумерный тор (бублик). На самом деле признаюсь, не понимаю с чего начать. В задаче дополнительно ничего не сказано.

Под построением отображения я понимаю запись в виде уравнения от нескольких параметров. Пусть диск $D^2$ -- это $[0, 1] \times [0, 1]$ и тор $T^2 \subset \mathbb{R}^3$ определяется уравнением $Q(\varphi, \psi) = ((a+b ~\cos \varphi) \cos \psi, (a+b ~\cos \varphi) \sin \psi, a ~\sin \varphi) $, где $0 < b < a$ и $\varphi, \psi \in [0, 2\pi]$. Нам необходимо построить такое инъективное отображение $f: D^2 \to T^2$, чтобы точки диска перешли в тор таким образом, чтобы можно было диск вырезать из тора.

Я знаю, что после построения этого отображения идет другая задача -- построение отображения диска с двумя перекрещивающимися ленточками (про подобную конструкцию я раньше сообщал на форуме) на тор. Думаю, что используется одна и та же техника. Это все делается для того, чтобы доказать (как один из вариантов) возможность вложимости без самопересечений диска с перекрещивающимися ленточками в поверхность, в данном случае в тор. Т.е. сущестование отображения равносильно существованию такого вложения.

Это пока все, что я могу написать существенное по этой теме. Остальное пока ограничено моими знаниями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 19:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Кажется, из формулировки неясно, должно ли отображение быть сюръективным, и если да, должно ли быть инъективным, плюс замкнутый диск или открытый, плюс в чём всё-таки конкретнее проблема. Непрерывность сочтём очевидно требующейся.

На всякий случай, соответствующим склеиванием сторон квадрата можно получить тор, если вдруг проблема где-то тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 19:42 


11/12/16
403
сБп
Диск замкнутый. Суть в том, что мне нужно построением отображения доказать, что диск может быть вложен в тор. Проблема в том, что это нужно показать аналитически, т.е. записать несколько параметрических уравнений, как понимаю. Мне вообще эта техника (аналитического построения отображения) кажется слишком причудливой. В алгебраической топологии она вроде и не используется. Это ближе к динамическим системам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 19:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А вы знаете параметрические уравнения тора? (Если не знаете, получите их, рассматривая его как тело вращения.) Тогда отображать должно быть просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 19:51 


11/12/16
403
сБп
Знаю. Ну допустим, есть параметрическое уравнение диска и тора. Что нужно делать потом, может есть простой пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
любая параметризация -- это отображение области плоскости в $\mathbb{R}^3$... Выбираете диск в этой области и готово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 20:09 


11/12/16
403
сБп
Конечно спасибо. Но я плохо понимаю Вас. Диск в $\mathbb{R}^3$ --- этой мой диск, который мне нужно отобразить в $T^2 \subset \mathbb{R}^3$. Интересно, есть какой то книжный пример, где показано параметрическое задание отображения диска (например, круга или квадрата) в сферу? Как это вообще выглядит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 20:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Диск пусть будет в $\mathbb R^2$, то есть мы уже ввели координаты на содержащей его плоскости. Выберем их даже так, чтобы весь диск вмещался в $[0; 1]^2$. А теперь…

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение01.11.2018, 20:21 


11/12/16
403
сБп
Я откорректировал постановку задачи в первом сообщении. Спасибо за уточнения. Посмотрите, плиз.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.11.2018, 20:28 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и). Все еще отсутствуют.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.11.2018, 20:05 
Модератор


13/07/17
166
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: Вернул. Но обратите внимание на то, что в новой постановке задача абсолютно тривиальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение09.11.2018, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
gogoshik в сообщении #1350879 писал(а):
определяется уравнением

Это не уравнение, а собственно параметризация.
Уравнение вида $F(x,y,z)=0$ можно получить исключив из трех равенств углы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение11.11.2018, 20:04 


11/12/16
403
сБп
Т.е. Вы имеете в виду какую-то такую запись?
$F(x,y,z)=$\begin{cases}
x=\cos\varphi \cos\psi,\\
y=\cos\varphi \sin\psi,\\
z=\sin\varphi.
\end{cases}$$


А если просто так? Пусть диск определяется как: $[0,1]\times[0,1] \subset \mathbb{R}^2$. Известно, что тор $T^2$ можно представить как квадрат $[0,2\pi]\times[0,2\pi] \subset \mathbb{R}^2$ с отождеcтвленными противоположными сторонами. Тогда отображение $g: \mathbb{R}^2 \to T^2$ определим формулой: $g(x, y) = (x \mod 2\pi, ~y \mod 2\pi)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение11.11.2018, 20:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
gogoshik в сообщении #1353376 писал(а):
Тогда отображение $g: \mathbb{R}^2 \to T^2$ определим формулой: $g(x, y) = (x \mod 2\pi, ~y \mod 2\pi)$.
Только тут ${}\bmod{2\pi}$ не нужно, ведь $x\mapsto x\bmod{2\pi}$ — это тождественное отображение на $[0; 1]\subset[0; 2\pi)$.

Но такое не обязательно посчитают соответствующим: могут захотеть нормального вложения тора в пространство — тогда этот квадрат с отождествлёнными сторонами надо отображать в $\mathbb R^3$, ну или кстати даже $\mathbb R^4$, где это красивее, но почему-то не было упомянуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение двумерного диска в тор
Сообщение11.11.2018, 20:19 


11/12/16
403
сБп
Ну, я к тому, что по определению $T^2 = S^1 \times S^1$. Тогда $(x \mod 2\pi, ~y \mod 2\pi) \in S^1 \times S^1$. Хотя я, если честно уже ничего не понимаю, запутался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group