Булева алгебра...

[tohaf]

В обычной алгебре умножение дистрибутивно относительно сложения:

$$A (B + C) = (A B) + (A C)$$

Кошки: М-коты, Ж-кошки, Ч-черный цвет, Б-белый цвет.
В булевой алгебре сложение дистрибутивно относительно умножения:

$$\text{Б} + (\text{Ч} х \text{Ж}) = (\text{Б} + \text{Ч}) х (\text{Б} + \text{Ж})$$

Вопрос, верно ли тогда, что:

$$\text{Б} х (\text{Ч} + \text{Ж}) = (\text{Б} х \text{Ч}) + (\text{Б} х \text{Ж})$$

Если верно, то получается, что в булевой алгебре и сложение дистрибутивно относительно умножения, и умножение дистрибутивно относительно сложения?

Сюда зашел https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1 ... 1%80%D0%B0
там такого примера нет.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Xaositect]

tohaf в сообщении #1349942 писал(а):

Если верно, то получается, что в булевой алгебре и сложение дистрибутивно относительно умножения, и умножение дистрибутивно относительно сложения?

Да, так и есть. Вообще, в булевой алгебре в любом тождестве можно заменить конъюнкции на дизъюнкции и наоборот, и тождество останется верным.

[Someone]

tohaf в сообщении #1349942 писал(а):

В обычной алгебре

Что подразумевается под "обычной алгеброй"? Поле действительных чисел?

tohaf в сообщении #1349942 писал(а):

В булевой алгебре

Давайте не будем путать поле действительных чисел и булеву алгебру. Как алгебраические структуры они имеют друг к другу отношение чуть меньше, чем никакое. Просто почему-то иногда операции в булевой алгебре называют так же, как арифметические операции. Это неудобно, поскольку свойства операций совсем другие, и служит источником всяких заблуждений.
Но действительно в булевой алгебре каждая из двух операций дистрибутивна относительно другой.

Наиболее естественная интерпретация булевой алгебры — на семействе (не обязательно всех) подмножеств какого-нибудь множества $\Omega$. То, что называют "сложением", для подмножеств является объединением, а "умножение" является пересечением. В булевой алгебре есть ещё одна (унарная) операция — дополнение (или отрицание, если иметь в виду интерпретацию в математической логике). Кроме того, должны существовать "ноль" и "единица", роль которых в такой интерпретации играют, соответственно, пустое множество и $\Omega$.

В булевой алгебре действует закон двойственности: если взять верное равенство и заменить в нём все элементы их дополнениями, объединения — пересечениями, а пересечения — объединениями, то получится опять верное равенство.

Понятие булевой алгебры можно также переформулировать на языке частично упорядоченных множеств. В такой интерпретации "сумма" интерпретируется как максимум, "произведение" — как минимум, "ноль" и "единица" — наименьший и наибольший элементы, а "дополнение" элемента $a$ — это такой элемент $\bar a$, что $a\wedge\bar a=0$ и $a\vee\bar a=1$. Но далеко не каждое частично упорядоченное множество годится на роль булевой алгебры.

[Munin]

tohaf в сообщении #1349942 писал(а):

Сюда зашел https://ru.wikipedia.org/wiki/Булева_алгебра
там такого примера нет.

А я зашёл, и там это сверху висит.

Цитата:

$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$       $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$       дистрибутивность

В нотации · + ¯
$\begin{aligned}&a+bc=(a+b)(a+c)&a(b+c)=ab+ac\end{aligned}$

[tohaf]

Xaositect, спасибо!
Someone, Петцольд "Код. Тайный язык информатики" на стр. 108, почему $+$ и $ \text{x} $, как объединение и пересечение, намного понятнее при нахождении итогового значения выражения, чем "непонятные" символы $\wedge $ и $\vee $.
Munin, да, и правда, плохо смотрел, спасибо.

[Munin]

tohaf в сообщении #1350046 писал(а):

Someone, Петцольд "Код. Тайный язык информатики" на стр. 108, почему $+$ и $ \text{x} $, как объединение и пересечение, намного понятнее при нахождении итогового значения выражения, чем "непонятные" символы $\wedge $ и $\vee $.

Кому-то понятнее, а кого-то сбивает с толку. Всё-таки общеприняты или $\wedge,\vee$ (к ним человек быстро привыкает с первого курса), или "программистские" &&, ||, или словесные and, or / и, или.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1350072 писал(а):

Кому-то понятнее

Это видится большей часть архаизмом (так-то ко всему можно привыкнуть), продерживающимся из-за неидеальности людей (кто-то такое пишет, в том числе думая, что делает хорошо, уберегая от неизвестных значков, просто закрыв глаза или я не знаю почему, а кто-то такое потом читает и не знает лучшего или не хочет меняться, узнав).

Для справки для ТС: можно булеву алгебру рассматривать и как кольцо (как раз такую вещь, которая похожа на $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$…) с умножением $\wedge$, но сложение там будет $\oplus$ (xor, исключающее или), а не $\vee$. Это один из сильных аргументов против обозначения операций $\wedge,\vee$ как $\cdot,+$: будет путаница между операциями б. а. и соответствующего кольца (и как раз $\oplus$ имеет смысл писать просто как $+$). С операцией $\wedge$ путаницы, конечно, не получится, но обозначать её так — это мнемоника двойственности её с $\vee$ (выше Xaositect упоминает одно из её проявлений).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1350131 писал(а):

а кто-то такое потом читает

и у него вытекают глаза...

[tohaf]

arseniiv,Munin я вас понял, прислушаюсь, спасибо.

[Munin]

Ещё $\wedge,\vee$ мнемонично напоминают $\cap,\cup,$ при том, что и свойства их крайне похожи (в частности, есть обе дистрибутивности).

[arseniiv]

Собственно, не просто похожи:

Someone в сообщении #1349965 писал(а):

Наиболее естественная интерпретация булевой алгебры — на семействе (не обязательно всех) подмножеств какого-нибудь множества $\Omega$.

и в принципе любая булева алгебра с носителем-множеством должна быть так реализуема. Если рассматривать множество всех классов ZFC и как минимум некоторых других теорий, оно тоже будет образовывать булеву алгебру по этим операциям (и дополнению, на этот раз абсолютному, а не до $\Omega$).