Задача на целые числа

[bitcoin]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Найдите наибольшее простое число $b$, для которого существует такое целое число $a$, что дробь $\dfrac{a^4+16a^2+7}{a^3+15a}$ можно сократить на $b$.

Первая мысль: для $a=7$ найдется простое число $b=7$. Но, не факт, что наибольшее. Так как дробь можно сократить на $b$, то и числитель, и знаменатель кратен $b$. То есть $a^4+16a^2+7=kb$ и $a^3+15a=nb$. Пока что это мало что дает. Числитель не получится разложить на произведение двух целых чисел (если не считать случай $1$ и $a^4+16a^2+7$), так как корень из дискриминанта биквадратного уравнения будет иррационален. Знаменатель можно разложить на множители $a(a^2+15)$, но это ничего не дает, вроде как. Можно выделить целую часть дроби $\dfrac{a^4+16a^2+7}{a^3+15a}=a+\dfrac{a^2+7}{a(a^2+15)}$.

Других идей нет, подскажите, пожалуйста

[mihaild]

Выделение целой части - это шаг в нужную сторону, но не до конца. Лучше думать так: вам нужно, чтобы $b$ делило и числитель, и знаменатель. Тогда оно делит и их наибольший общий делитель. Конечно по многочленам в общем случае нельзя найти наибольший общий делитель их значений (в разных точках он может быть разный), но пару шагов алгоритма Евклида (считая что многочлены имеют целые коэффициенты) провести можно. В итоге у вас должно получиться, что $b$ должно делить одновременно значений некоторого многочлена первой и некоторого многочлена второй степени от $a$. Найдите эти многочлены - и посмотрите, какие из них можно получить оценки на $b$.

[bitcoin]

Спасибо! Попробую так:
Если $\dfrac{a^2+7}{a(a^2+15)}$ сокращается на $b$, с учетом того, что $b$ простое число, возможно две ситуации: $a$ делится на $b$ или $a^2+15$ делится на $b$
1) Рассмотрим вариает, когда $a^2+15$ делится на $b$:

$$\text{НОД}(a^2+15;a^2+7)=\text{НОД}(a^2+15-(a^2+7);a^2+7)=\text{НОД}(8;a^2+7)=\text{НОД}(8;a^2+7)$$

Таким образом, если у $a^2+15$ и $a^2+7$ есть НОД, то он должен быть делителем $8$ Можно взять $a=1$, тогда $\text{НОД}(8;a^2+7)=8$, а $b=2$
2) Рассмотрим вариант, когда $a$ делится на $b$
$\text{НОД}(a;a^2+7)=d$ Но тут как-то не прокатывает алгоритм Евклида, потому попробую без него:

$a^2+7=nb$, $a=kb$

$k^2b^2+7=nb$, тогда $k^2b^2-nb+7=0$, но и это ничего не дает, вроде как...

[DeBill]

bitcoin в сообщении #1349840 писал(а):

но и это ничего не дает, вроде как...

А разве это не дает, что 7 делится на $b$?

-- 29.10.2018, 00:58 --

bitcoin в сообщении #1349840 писал(а):

Можно взять $a=1$,

А можно и другое $a$...

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1349840 писал(а):

Но тут как-то не прокатывает алгоритм Евклида, потому попробую без него

Почему не прокатывает? $a$ - тоже целое число.

[bitcoin]

DeBill в сообщении #1349842 писал(а):

А разве это не дает, что 7 делится на $b$?

Действительно, понял, значит $b=7$ или $b=2$, осталось подобрать соотвествующие $a$. Например, $a=7$ и $a=1$ соотвественно. Правильно. Значит ответ $b=7$?

DeBill в сообщении #1349842 писал(а):

А можно и другое $a$...

Согласен, да, Вы правы.

mihaild в сообщении #1349844 писал(а):

Почему не прокатывает? $a$ - тоже целое число.

mihaild в сообщении #1349844 писал(а):

Почему не прокатывает? $a$ - тоже целое число.

Не очень понимаю, как его применить-таки во втором случае(

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1349846 писал(а):

Не очень понимаю, как его применить-таки во втором случае(

$gcd(a; a^2 + 7) = gcd(a; a^2 + 7 - ka)$ для любого целого $k$

[bitcoin]

mihaild в сообщении #1349847 писал(а):

$gcd(a; a^2 + 7) = gcd(a; a^2 + 7 - ka)$ для любого целого $k$

А, точно, но вот только это разве помогает, кстати? Ведь если $a$ делится на $b$ и дробь сокращается на $b$, то и $a^2+7$ делится на $b$, а значит $7$ делится на $b$, ну да ладно, понял.
Только я одного не понял. Вот мы рассмотрели сократимость на $b$ дроби $\dfrac{a^2+7}{a(a^2+15)}$, но что мы можем сказать о сократимости на $b$ исходной $\dfrac{a^4+16a^2+7}{a^3+15a}$? Вот это не пойму, да $\dfrac{a^4+16a^2+7}{a^3+15a}=a+\dfrac{a^2+7}{a(a^2+15)}$, но разве это как-то помогает?

-- 29.10.2018, 01:31 --

А все, уже понял)

[mihaild]

bitcoin в сообщении #1349872 писал(а):

А, точно, но вот только это разве помогает, кстати?

Подставьте $k = a$.

bitcoin в сообщении #1349872 писал(а):

но разве это как-то помогает?

Тут есть два варианта: доказать, что вынесение целой части не изменяет сократимость дроби, или сразу анализировать общие делители числителя и знаменателя.

[Andrey A]

mihaild в сообщении #1349875 писал(а):

... или сразу анализировать общие делители числителя и знаменателя.

И тут полезно помнить, что если остаток деления $Q$ на $b\ =0$, а $P$ на $b\ \neq 0$, то дробь $P/Q$ несократима.