2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многочлены
Сообщение24.10.2018, 09:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
Обозначим $\alpha$ и $\beta$ два действительных корня уравнения $x^4-x-1=0.$
Выразите через $\alpha$ и $\beta$ действительные корни следующего уравнения.
$$x^6+x^4-x^3-x^2-1=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение24.10.2018, 16:29 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5419
Если по-быстрому в мапле, то
Код:
factor(x^6+x^4-x^3-x^2-1,RootOf(x^4-x-1));

дает
$$x^6+x^4-x^3-x^2-1=(\alpha^2x^2+x^3+\alpha^2+x\alpha+x)(-\alpha^2x^2+\alpha^3+x^3-\alpha^2+x-1).$$
Остается решить парочку кубических уравнений по формуле Кардано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение24.10.2018, 18:17 
Заслуженный участник


10/01/16
1972
Чё то у меня проблемы: я нашел оба корня явно, но вот выразить их через те два....

(Оффтоп)

Уравнение немножко симметричное, так что:
Поделив на $x^3$, и полагая $t=x-\frac{1}{x}$, получим $t^3 +4t - 1=0$. Слава богу, корень - один, и метОда Кардана дает таки честный корень. Решив квадратное уравнение, получим ответ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение24.10.2018, 21:22 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
maxal Вы не оглашаете ответ поскольку он очень простой и хотите, чтобы другие сами догадались?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение25.10.2018, 08:48 


08/05/08
519
maxal
Без мапла заменой $t=x-\frac1x$ (ах, д, забыл написать, предварительно его над на $x^3$ поделить) это, второе уравнение сводится к $t^3+4t-1=0$ Если я не ошибся. Но замена работает

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение25.10.2018, 14:00 


30/03/08
193
St.Peterburg
arqady в сообщении #1348695 писал(а):
Обозначим $\alpha$ и $\beta$ два действительных корня уравнения $x^4-x-1=0.$
Выразите через $\alpha$ и $\beta$ действительные корни следующего уравнения.
$$x^6+x^4-x^3-x^2-1=0.$$


$$z=\dfrac {(\alpha+\beta)^2}{2} \ , \ t_{1, 2}=z(+-)\sqrt {1+z^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение25.10.2018, 15:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
Sergic Primazon
Ответ правильный, только его можно записать гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение20.04.2019, 21:38 
Заслуженный участник


20/12/10
6058
arqady в сообщении #1349055 писал(а):
Ответ правильный, только его можно записать гораздо проще.
У меня есть два варианта, поэтому попробую угадать:
$$
\frac{1}{2}\left((\alpha+\beta)^2 \pm \frac{1}{\alpha+\beta}\right).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение22.04.2019, 23:22 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
$\alpha\beta$ проще

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение23.04.2019, 06:43 
Заслуженный участник


20/12/10
6058
arqady в сообщении #1388980 писал(а):
$\alpha\beta$ проще
Согласен :) Это тот, который у меня с минусом. А второй, очевидно, $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение23.04.2019, 11:58 
Заслуженный участник


03/01/09
1340
москва
У меня получилось: $-\alpha \beta ,\dfrac {1}{\alpha \beta }$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение23.04.2019, 15:00 
Заслуженный участник


20/12/10
6058
mihiv в сообщении #1389007 писал(а):
У меня получилось: $-\alpha \beta ,\dfrac {1}{\alpha \beta }$
Кажется, у Вас минус не там: $\alpha\beta$ и $-\dfrac{1}{\alpha\beta}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлены
Сообщение23.04.2019, 15:27 
Заслуженный участник


03/01/09
1340
москва
nnosipov в сообщении #1389019 писал(а):
Кажется, у Вас минус не там: $\alpha\beta$ и $-\dfrac{1}{\alpha\beta}$.

Да, точно, знаки у Вас правильные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group