Многочлены

[arqady]

Обозначим $\alpha$ и $\beta$ два действительных корня уравнения $x^4-x-1=0.$
Выразите через $\alpha$ и $\beta$ действительные корни следующего уравнения.

$$x^6+x^4-x^3-x^2-1=0.$$

[maxal]

Если по-быстрому в мапле, то

factor(x^6+x^4-x^3-x^2-1,RootOf(x^4-x-1));

дает

$$x^6+x^4-x^3-x^2-1=(\alpha^2x^2+x^3+\alpha^2+x\alpha+x)(-\alpha^2x^2+\alpha^3+x^3-\alpha^2+x-1).$$

Остается решить парочку кубических уравнений по формуле Кардано.

[DeBill]

Чё то у меня проблемы: я нашел оба корня явно, но вот выразить их через те два....

(Оффтоп)

Уравнение немножко симметричное, так что:
Поделив на $x^3$, и полагая $t=x-\frac{1}{x}$, получим $t^3 +4t - 1=0$. Слава богу, корень - один, и метОда Кардана дает таки честный корень. Решив квадратное уравнение, получим ответ...

[arqady]

maxal Вы не оглашаете ответ поскольку он очень простой и хотите, чтобы другие сами догадались?

[ET]

maxal
Без мапла заменой $t=x-\frac1x$ (ах, д, забыл написать, предварительно его над на $x^3$ поделить) это, второе уравнение сводится к $t^3+4t-1=0$ Если я не ошибся. Но замена работает

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1348695 писал(а):

Обозначим $\alpha$ и $\beta$ два действительных корня уравнения $x^4-x-1=0.$
Выразите через $\alpha$ и $\beta$ действительные корни следующего уравнения.

$$x^6+x^4-x^3-x^2-1=0.$$

$$z=\dfrac {(\alpha+\beta)^2}{2} \ , \ t_{1, 2}=z(+-)\sqrt {1+z^2}$$

[arqady]

Sergic Primazon
Ответ правильный, только его можно записать гораздо проще.

[nnosipov]

arqady в сообщении #1349055 писал(а):

Ответ правильный, только его можно записать гораздо проще.

У меня есть два варианта, поэтому попробую угадать:

$$ \frac{1}{2}\left((\alpha+\beta)^2 \pm \frac{1}{\alpha+\beta}\right). $$

[arqady]

$\alpha\beta$ проще

[nnosipov]

arqady в сообщении #1388980 писал(а):

$\alpha\beta$ проще

Согласен :) Это тот, который у меня с минусом. А второй, очевидно, $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$.

[mihiv]

У меня получилось: $-\alpha \beta ,\dfrac {1}{\alpha \beta }$

[nnosipov]

mihiv в сообщении #1389007 писал(а):

У меня получилось: $-\alpha \beta ,\dfrac {1}{\alpha \beta }$

Кажется, у Вас минус не там: $\alpha\beta$ и $-\dfrac{1}{\alpha\beta}$.

[mihiv]

nnosipov в сообщении #1389019 писал(а):

Кажется, у Вас минус не там: $\alpha\beta$ и $-\dfrac{1}{\alpha\beta}$.

Да, точно, знаки у Вас правильные.