Задача по геометрии по мотивам задачи 6 IMO-2018

[grizzly]

vvsss в сообщении #1348628 писал(а):

но ответ показываю

Пока не вижу ответа. Вы говорили, что точка $K$ получена пересечением двух прямых. На рисунке они не показаны. Вообще, я не смог понять ни одного приведенного построения (вижу только вписанную окружность, но не вижу, как она связана с решением). Но давайте сконцентрируемся на точке касания. Объясните, пожалуйста, как она получена.

[wrest]

Новости из мира эллипсов.

Похоже на то, что (это гипотезы):
1. "Диагональный" эллипс -- наибольший по площади, который можно вписать в наш разноносторонний четырехугольник.
2. ГМТ центров эллипсов - отрезок прямой между серединами диагоналей четырехугольника.

[grizzly]

wrest в сообщении #1348659 писал(а):

Новости из мира эллипсов.

Звучит слишком красиво, чтобы это было и правильным, и неизвестным одновременно

[iou]

grizzly в сообщении #1348670 писал(а):

Звучит слишком красиво, чтобы это было и правильным, и неизвестным одновременно :D

Поэтому оно известно: https://arxiv.org/abs/math/0312403

[wrest]

А... так оказывается, что ещё Ньютон об этом (ГМТ центров эллипсов) знал. Вот ведь Человечище всё-таки.
И что это справедливо для всех выпуклых четырёхугольникиков.
Рад что и про максимальную площадь известно, это как-то выделяет «диагональный» эллипс из прочих.

[vvsss]

Восхищен умением молодежи искать информацию в интернете.
Большое спасибо, iou.
Я упустил то, что знал ещё Ньютон. Эта информация позволит несколько упростить
моё доказательство, хотя и не повлияет на построение.

[wrest]

Да, хороший дядька этот Alan Horwitz, изучает вписанные эллипсы.

Так вот, из жизни эллипсов в выпуклых четырехугольниках мы теперь узнаём, что через точки выпуклого четырёхугольника:
-- через вершины и пересечение диагоналей не проходит ни одного вписанного эллипса
-- через диагонали и стороны, кроме пяти точек их пересечения, проходит ровно один вписанный эллипс
-- через все остальные точки внутри четырехугольника проходит ровно два вписанных эллипса

Таким образом, точка на стороне или диагонали однозначно определяет какой-то вписанный эллипс.

Пока не нашел ничего про ГМТ фокусов и вершин, но мне кажется, что ГМТ фокусов может быть по крайней мере трёх типов: окружность, гипербола, прямая. Хотя, прямую можно заменить на окружность бесконечного радиуса.

[grizzly]

vvsss в сообщении #1348694 писал(а):

Восхищен умением молодежи искать информацию в интернете.

К нам тут раз в месяц забегают гении, знающие, как решать квадратуры круга и трисекции угла (трисекции почему-то чаще). И один из самых стандартных способов поведения -- бессмысленные намёки и паясничанье. Они так и уходят отсюда -- убедившись в том, насколько их гениальность превосходит умение всех математиков мира. А все их гениальные открытия в лучшем случае остаются засекречены.

[DeBill]

grizzly в сообщении #1348574 писал(а):

Но как найти хоть одну точку на эллипсе, я пока не вижу.

Да легко!
Первое: напомню, что фокус любого вписанного эллипса можно построить так: это - точка, из которой пара противоположных cторон видна под углами с суммой 180 (т.е., строим пару нужных окружностей, точка $P$ их пересечения - фокус; второй фокус
$Q$ строится так: отражаем первый относительно сторон - получим 4 точки $P_i$, $Q$ есть центр окр-ти, описанной около чет-ка с вершинами $P_1$ (забавно: $P$ по $Q$ строится также, для $Q$ сумма тоже 180). Точки пересечения отрезков $QP_i$ со сторонами исходного чет-ка и есть точки касания эллипса со сторонами (а длины $QP_i$ равны большой оси; знание её позволяет - чисто циркулем и линейкой - находить точки на любом луче из $P$)

[wrest]

DeBill в сообщении #1348720 писал(а):

Да легко!

Да, всё работает в части нахождения точек касания!
Только поясните пож-ста для тупых вот это:

DeBill в сообщении #1348720 писал(а):

это - точка, из которой пара противоположных cторон видна под углами с суммой 180 (т.е., строим пару нужных окружностей,

Как строим нужные окружности?


Ну и, осталось научиться строить директрисы.

[kotenok gav]

vvsss в сообщении #1348628 писал(а):

и уже третий день довожу задачу о Братце Кролике, который купается в круглом озере и имеет скорость в 4.7 раз меньше,чем братец Лис.

«Лиса, Утка и озеро.»

[DeBill]

wrest в сообщении #1348734 писал(а):

Как строим нужные окружности

Почему сумма такая - я где то раньше написал.
Как строить точку: ГМТ точек, из которых данный отрезок виден под фиксированным углом - окружность.
Для одной стороны - строим такую окружность для некого угла $\alpha$,
для другой - для угла $\pi -\alpha$ . Пересечение окр-тей дает искомые точки (одна из них, кстати, будет - для дельтоида -на диагонали).
В частности, для Вашего дельтоида, получается забавная задача: для любой точки $E$ на (горизонтальной ) диагонали $AC$ окружности, описанные около $ABE$ и $ECD$ пересекаются в точке на Вашей фиолетовой окружности (которая есть окружность Аполлония для $A,C$ : для её точек $M$ отношение $MA:MC$ постоянно (и равно $AB:BC$) )

[wrest]

DeBill в сообщении #1348781 писал(а):

Как строить точку: ГМТ точек, из которых данный отрезок виден под фиксированным углом - окружность.
Для одной стороны - строим такую окружность для некого угла $\alpha$,

Ага, это ясно. Но еще надо попасть.

DeBill в сообщении #1348781 писал(а):

для другой - для угла $\pi -\alpha$ .

Ого! Это не хухры-мухры...
Это конечно можно. У меня даже получилось. Тут нужен конкурс на тему "кто это сделает за меньшее количество построений"
Вот построения с нескрытыми промежуточными...

И это конечно с инструментами геогебры типа построения параллельной прямой, построения окружности по данному центру и радиусу где-то в стороне и т.п., то есть "чистых" циркуля и линейки тут будет намного больше.

Ну ясно что собсно эллипс циркулем не строится, так что дан для красоты.

Собсно построения.
Дан четырехугольник $DGEF$ с тремя оранжевыми и одной зеленой стороной.
Произвольно (но надо попасть!) выбираем точку $H$ и проводим прямые к вершинам. Угол $\angle DHF$ -- это "какой-то угол $\alpha$"
Серым обозначен соответственно угол $\pi - \alpha$
И вот вся остальная кутерьма чтобы построить вторую окружность (с надеждой что она пересечется с первой).
Сначала поворачиваем сторону $GE$ вокруг $H$ так чтобы $G$ попало на красную линию ($G$ переходит в $I$, $E$ переходит в $J$, затем $IJ$ параллельно переносим вдоль красной линии, получаем $LK$, проводим окружность через $L,K,H$, строим её центр $O$ и переносим это окружность обратно на сторону $GE$, и так находим первый фокус $Q$

Второй фокус $R$ и точки касания (я построил только одну - $S$) находим по описанной ранее процедуре $Q_i'$ - отражения, проводим через них окружность и т.п. -- там не сложно.

-- 24.10.2018, 18:04 --

Ну и вот без вспомогательных построений.

Ещё показаны диагонали (серым), ГМТ фокусов (гиперболы около сторон) и ГМТ центров (прямая между серединами диагоналей).

[wrest]

Ну и напоследок еще красоты.
Красным -- ГМТ "тупых" вершин, зеленым ГМТ "острых" вершин:


DeBill -- вам отдельное спасибо!

[vvsss]

grizzly подметил, что "К нам тут раз в месяц забегают гении, знающие, как решать квадратуры круга и трисекции угла (трисекции почему-то чаще). И один из самых стандартных способов поведения -- бессмысленные намёки и паясничанье. Они так и уходят отсюда -- убедившись в том, насколько их гениальность превосходит умение всех математиков мира. А все их гениальные открытия в лучшем случае остаются засекречены."

Моя ошибка, связанная с неединственностью решения вызвала на мой взгляд очень интересную дискуссию, участники которой нашли много интересного.
Информация о построении, которую участники форума поняли, выкладывается оперативно и не засекречивается.
Директрисы покажутся как только возникнет идея у кого-то из исследователей.
Мнение grizzly о моих умственных способностях вынужден принять во внимание, спасибо за откровенность.

-- Ср окт 24, 2018 18:55:03 --



grizzly подметил, что "К нам тут раз в месяц забегают гении, знающие, как решать квадратуры круга и трисекции угла (трисекции почему-то чаще). И один из самых стандартных способов поведения -- бессмысленные намёки и паясничанье. Они так и уходят отсюда -- убедившись в том, насколько их гениальность превосходит умение всех математиков мира. А все их гениальные открытия в лучшем случае остаются засекречены."

Моя ошибка, связанная с неединственностью решения вызвала на мой взгляд очень интересную дискуссию, участники которой нашли много интересного.
Информация о построении, которую участники форума поняли, выкладывается оперативно и не засекречивается.
Директрисы покажутся как только возникнет идея у кого-то из исследователей.
Мнение grizzly о моих умственных способностях вынужден принять во внимание, спасибо за откровенность.
Работа wrest меня просто восхищает. Был бы очень рад с ним познакомиться, если это позволят правила форума.