Задача по геометрии по мотивам задачи 6 IMO-2018

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по-видимому, обсуждение окончательно ушло от варианта, когда автор темы точно знает решение задачи.

[Someone]

vvsss в сообщении #1348315 писал(а):

Известно, что произведения противоположных сторон четырёхугольника равны.

А зачем это условие? Вам же дружно пытаются объяснить, что в любой выпуклый четырёхугольник можно вписать бесконечное множество различных эллипсов. Без этого условия фокусы нельзя построить циркулем и линейкой? Это был бы интересный вопрос.

[wrest]

Попробовал я тут повписывать эллипсы.

Зеленый четырехугольник соответствует требованиям: стороны пропорциональны $1,5;2;4;3$

Точки - фокусы, цвет фокусов соответствует цвету эллипса.
Вписывал "на глазок", так что точность невысокая, все весьма примерно.

Однако, вроде бы прорезывается ГМТ фокусов (кривая пунктиром). Врядли это конечно окружность, может парабола например. Но если это ГМТ какое-то простое, что его точки можно построить циркулем и линейкой, то как-то задача наверное может быть решена. Насчет директрис не знаю.

[wrest]

Похоже, что найдутся фокусы, которые лежат на диагоналях. На моей картинке это будет похоже на розовый эллипс, но с "верхним" (по картинке) фокусом немного ниже и левее и "нижним" немного выше и правее.
Вопрос теперь как найти их циркулем и линейкой.

[DeBill]

wrest
Ну, дык, я ж писал: для нашего фокуса, сумма углов, под которыми из него видны противоположные стороны чет-ка, равна 180. И таких точек - до фига. Если искать такую на диагонали, то можно сделать так: отразить вершину $A$ относительно $BD$, провести прямую $CA'$, ее пересечение с $BD$ - искомая. Что характерно, условие про произведение сторон для этого не нужно: это всегда будет фокусом (единственная неприятность может случиться - точка пересечения выйдет за пределы чет-ка; возможно, то условие поможет...Однако, даже если выскочит за - все равно будет фокусом, только, видимо, гиперболы)

-- 23.10.2018, 02:01 --

А ГМТ (нижняя ветвь) на картинке таки больше смахивает на параболу, однако...Или - более вероятно - гиперболу

-- 23.10.2018, 02:16 --

Да наверняка - ветви гиперболы это - две линии фокусов. Это и естественно ожидать, типа, чем одна пара сторон лучше другой? Да ничем, разве что одна пара "более равна чем другая". Бум деформировать помаленьку, чтоб в процессе деформации чет-к перестроился в себя, но с переменой роли сторон. Гиперболы тож вывернутся наизнанку, и , в момент перестройки картинки, превратятся в прямые. Ой, дык такую картинку мы тож видели: у квадрата, (и, может, даже пар-мма) ГМТ состоит из пары прямых. Вобщем, сценарий вполне себе правдоподобный...

(Оффтоп)

Т.е., по крайней мере , качественно, ракеты таки летают

[wrest]

Ну, продолжим.

Что мы знаем об окружности вписанной в угол? А то, что её центр лежит на биссектрисе.
А что с эллипсом? Его фокусы лежат на равных от биссектрисы углах:

Тогда делаем следующее. Проводим диагонали в четырехугольнике.
Проводим биссектрисы из каких-то двух соседних углов и отражаем диагонали от биссектрис.
Так построим фокусы.
Ну ясно, что эллипс с этими фокусами впишется в два соседних угла, то есть коснется трех сторон.
Доказательство того, что он коснется и четвертой, при только тогда когда произведения противоположных сторон равны, оставляем ТС-у
Возможно, стоит порыться в свойствах симедианы.

Зеленый четырехугольник: стороны относятся так: $AB:BC:CD:DA=3:4:2:1,5$
Проводим диагонали $AC$ и $BD$.
Из угла $B$ проводим луч $BF1$ такой что $\angle ABD = \angle CBF1$
Из угла $C$ проводим луч $BF2$ такой что $\angle DCA = \angle BCF2$
Пересечения диагоналей и проведенных лучей обозначаем $F1$ и $F2$ -- это искомые фокусы эллипса, вписанного в углы $C$ и $B$ и счастливым образом оказывается, что этот эллипс также вписано в углы $D$ и $A$.

Собсно, осталось доказать, что: $\angle DAC= \angle BAF2$ а также $\angle CDF1= \angle ADB$ -- и тогда всё сойдется. Вот тут, как мне представляется, как раз и понадобится условие равенства произведения противоположных сторон.

Как построить директрисы пока не знаю.

Если начать не с диагоналей, метод вроде бы не работает (эллипс, конечно, вписывается в два угла $B$ и $C$, но тогда не вписывается в углы $D$ и $A$)

-- 23.10.2018, 11:09 --

DeBill в сообщении #1348453 писал(а):

Да наверняка - ветви гиперболы это - две линии фокусов. Это и естественно ожидать, типа, чем одна пара сторон лучше другой?

Да, я тоже про гиперболу думал, в связи с необходимостью превращаться в прямые когда четырехугольник станет равносторонним (ромб). Да и геогебра на гиперболу намекает.

DeBill в сообщении #1348453 писал(а):

Ой, дык такую картинку мы тож видели: у квадрата, (и, может, даже пар-мма)

Насчет параллелограмма это вряд ли.

[wrest]

DeBill в сообщении #1348453 писал(а):

Да наверняка - ветви гиперболы это - две линии фокусов.

А вот смотрите, берем теперь четырехугольник типа кайт (upd:выпуклый дельтоид по-русски) (у которого произведениия противоположных сторон, кстати, равны). У кайта ГМТ фокусов вписанных эллипсов будет: диагональ которая является линией симметрии (на рисунке ниже синяя, горизонтальная), а еще будет окружность, которая показана ниже на рисунке мелким пунктиром. Красным пунктиром показаны биссектрисы углов кайта -- в месте их пересечения фокусы "сходятся" и вписанный эллипс превращается во вписанную окружность (оранжевым).

[grizzly]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1348552 писал(а):

четырехугольник типа кайт

Дельтоид, что ли, по-русски?

[wrest]

Остается вопрос с директрисой. Поскольку при стремлении эллипса к окружности директрисы бесконечно удаляются, а фокусы бесконечно сближаются, то вероятно это как-то должно учитываться в построении. С другой стороны, поскольку построить директрисы к окружности никак невозможно, а построить фокусы таки можно, то вопрос к vvsss: ну и как вы собирались строить директрисы?

[grizzly]

wrest в сообщении #1348558 писал(а):

поскольку построить директрисы к окружности никак невозможно

Вы придираетесь :) Уже договорились ведь, что ТС решает задачу для какого-нибудь эллипса. Я не думаю, что можно построить директрисы, имея одни только фокусы произвольного эллипса и описанный четырёхугольник. Следовательно, имеем вполне себе законную задачу: попытаться доказать, что если четырёхугольник обладает указанным свойством, то существует такой вписанный эллипс, для которого можно построить фокусы и директрисы.

Ваше построение от диагоналей мне понравилось. Но как найти хоть одну точку на эллипсе, я пока не вижу.

[wrest]

grizzly в сообщении #1348574 писал(а):

Следовательно, имеем вполне себе законную задачу: попытаться доказать, что если четырёхугольник обладает указанным свойством, то существует такой вписанный эллипс, для которого можно построить фокусы и директрисы.

Фокусы, считайте, вопрос закрытый -- их строим как я описал, через диагонали. Доказательство построения для диагоналей я проделал прогуглил. Там, правда, доказывается, что если диагонали проходят через фокусы вписанного в четырехугольник какого-то эллипса, то произведения противоположных сторон этого четырехугольника равны, но помойму оно действует и в обратную сторону тоже. По крайней мере построение в геогебре на нескольких вариантах четырехугольников уверенно показывает, что всё именно так.

grizzly в сообщении #1348574 писал(а):

Но как найти хоть одну точку на эллипсе, я пока не вижу.

Я тоже не вижу И пока не вижу закономерности ни по вершинам эллипса ни по точкам касания (а только их, по всей видимости, и можно было бы построить).
Я опять подозреваю, что нужен могучий аффинный подход, который сделает из эллипса окружность, которую уже вписывать в четырехугольник вроде можно и циркулем с линейкой.

[iou]

wrest в сообщении #1348402 писал(а):

Однако, вроде бы прорезывается ГМТ фокусов (кривая пунктиром).

(Оффтоп)

Было бы ещё интересно понять, что происходит в случае, когда мы разрешаем эллипсам быть вписанными снаружи, то есть касаться продолжений сторон. В таком случае кривая будет содержать ещё дополнительные 2 точки (пересечения продолжений), а тогда будет уже порядка хотя бы 3..

[vvsss]

Уважаемые математики.
Каждая директриса построена по двум точкам. Точка касания построена по пересечению двух прямых.

Желаю успеха.

[wrest]

Хм... а фокусы-то не на диагоналях, однако.

-- 23.10.2018, 20:05 --

Хорошо, пока суть да дело -- вот вариант построения ТС в его цветах и обозначениях.

А черным цветом -- фокусы построенные "по диагоналям" и соответствующий им эллипс - зеленым.
Ну и еще пунктирной линией -- части окружностей (все-таки) на которых лежат фокусы.

[vvsss]

Спасибо Xaositect, теперь я могу показывать картинки.
Уважаемый wrest, Вы правы, фокусы находятся не на диагонали.
Я не могу найти вопрос о преобразовании, но ответ показываю

Мое решение использует только прямые, окружности и точки их пересечения

-- Вт окт 23, 2018 21:06:34 --

Уважаемый wrest. Вы работаете очень быстро. Я, к сожалению, гораздо медленнее и уже третий день довожу задачу о Братце Кролике, который купается в круглом озере и имеет скорость в 4.7 раз меньше,чем братец Лис. Надеюсь вывесить её в ближайшее время.