Задача Больца

[artey]

Здравствуйте, возникла проблема в решении задачи Больца.
$\[B(x( \cdot )) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\dot x}^2} - {x^2})dt + {x^2}(0) - {x^2}(} \frac{\pi }{2}) + 4x(\frac{\pi }{2}) \to extr\]$
Уравнение Эйлера: $\[\ddot x + x = 0\]$
Условия трансверсальности: $\[\dot x(0) = x(0),\dot x(\frac{\pi }{2}) = x(\frac{\pi }{2}) - 2\]$
Общее решение уравнения Эйлера: $\[x = {C_1}\sin t + {C_2}\cos t\]$
Из условий трансверсальности : $\[{C_1} = {C_2} = 1\]$
Единственная допустимая экстремаль: $\[\hat x = \sin t + \cos t\]$
Проблема вот здесь :$\[B(\hat x + h) - B(\hat x) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\dot h}^2}dt - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{h^2}dt - {h^2}(} \frac{\pi }{2}) = ... \geqslant 0( \leqslant 0)?\]$

В ответе сказано: $\[\sin t + \cos t \notin locextr\]$. Почему так я не понимаю.
Потом, также из ответов: $ \[{S_{\min }} = - \infty ({x_n} \equiv n),{S_{\max }} = + \infty \]$. $\[{S_{\min }},{S_{\max}}\]$- минимальное и максимальное значение функционала. Непонятно, откуда взялось $\[{x_n} \equiv n\]$ и как с помощью этого доказывается $\[{S_{\min }} = - \infty \]$. А также почему $\[{S_{\max }} = + \infty \]$?

[DeBill]

artey в сообщении #1348710 писал(а):

Непонятно, откуда взялось $\[{x_n} \equiv n\]$ и как с помощью этого доказывается $\[{S_{\min }} = - \infty \]$.

Логика, видимо, такая: Вы уже обнаружили единственный экстремум. Разнознаковость слагаемых в функционале наводит на мысль о седловатости его. Попробуем какие-нибудь хорошие точки, и посмотрим на значение функционала в них. Самые простые функции - константы (напр., $x=n$...). посчитав функционал на них, видим (и что же мы видим?). Чуть посложнее - "линейные", напр., равные 0 в правом конце. И что мы увидим на таких?

[thething]

Вам надо показать, что не выполняется определение слабого экстремума, т.е. $\forall \varepsilon>0$ $\exists h: $ $\left\lVert h\right\rVert<\varepsilon $ и $B(x^*+h)-B(x^*)$ не сохраняет постоянный знак. Можно попробовать для начала взять $h=\varepsilon\sin nt$ (для начала, строгость с нормами потом наведёте) и за счет возможности выбирать, к примеру, большое $n$ при малом $\varepsilon$ попытаться показать, что не сохраняется некий определенный знак. Какой именно, я не смотрел, просчитаете -- поймёте. Потом останется подобрать нечто в таком же роде, чтобы не сохранялся уже другой знак.

[artey]

DeBill в сообщении #1348724 писал(а):

Логика, видимо, такая: Вы уже обнаружили единственный экстремум. Разнознаковость слагаемых в функционале наводит на мысль о седловатости его. Попробуем какие-нибудь хорошие точки, и посмотрим на значение функционала в них. Самые простые функции - константы (напр., $x=n$...). посчитав функционал на них, видим (и что же мы видим?). Чуть посложнее - "линейные", напр., равные 0 в правом конце. И что мы увидим на таких?

При $\[{x_n} = n\]$ $\[B({x_n}) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} { - {n^2}dt} + {n^2} - {n^2} + 4n = - {n^2}\frac{\pi }{2} + 4n\xrightarrow[{n \to \infty }]{} - \infty \] $

thething в сообщении #1348726 писал(а):

Вам надо показать, что не выполняется определение слабого экстремума, т.е. $\forall \varepsilon>0$ $\exists h: $ $\left\lVert h\right\rVert<\varepsilon $ и $B(x^*+h)-B(x^*)$ не сохраняет постоянный знак. Можно попробовать для начала взять $h=\varepsilon\sin nt$ (для начала, строгость с нормами потом наведёте) и за счет возможности выбирать, к примеру, большое $n$ при малом $\varepsilon$ попытаться показать, что не сохраняется некий определенный знак. Какой именно, я не смотрел, просчитаете -- поймёте. Потом останется подобрать нечто в таком же роде, чтобы не сохранялся уже другой знак.

Мне не ясно, какой будет знак у этой разности
$\[B(\hat x + h) - B(\hat x) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\dot h}^2}dt - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{h^2}dt - {h^2}(} \frac{\pi }{2}) = ... \geqslant 0( \leqslant 0)?\]$

[thething]

Вы подставили предложенную $h$? Что получилось в результате?

[artey]

thething в сообщении #1348787 писал(а):

Вы подставили предложенную $h$? Что получилось в результате?

$\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\varepsilon n\cos nt)}^2}dt - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\varepsilon \sin nt)}^2}dt - } {\varepsilon ^2}{\sin ^2}\frac{{\pi n}}{2} = \frac{{{{(\varepsilon n)}^2}}}{2}(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt + } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2ntdt) - \frac{{{\varepsilon ^2}}}{2}} (\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2ntdt) - } {\varepsilon ^2}{\sin ^2}\frac{{\pi n}}{2} = \frac{{{\varepsilon ^2}}}{2}(({n^2} - 1)\frac{\pi }{2} + \frac{{({n^2} + 1)}}{{2n}}\sin \pi n) - {\varepsilon ^2}{\sin ^2}\frac{{\pi n}}{2} = {\varepsilon ^2}(({n^2} - 1)\frac{\pi }{4} - {\sin ^2}\frac{{\pi n}}{2})\]$

[thething]

Последний синус превращается в единицу, но это не суть. Пусть теперь, например, $\varepsilon=0,1$. Можно ли подобрать такое $n$, чтобы сказать про знак получившегося выражения что-то определённое?

-- 24.10.2018, 18:33 --

Хотя, если всё вычислено правильно (технику не проверял), то получается, что $n$ вообще не зависит от выбора эпсилон. А иногда, при другом подборе $h$ -- может. Но суть дела от этого не меняется.

-- 24.10.2018, 18:36 --

После того, как определитесь со знаком останутся два вопроса:
1. Подобрать какое-то $h$ так, чтобы получить выражение противоположного знака

2. Выполнить требование $\left\lVert h\right\rVert<\varepsilon$. Тут смотря в какой норме Вы определяли понятие локального экстремума на занятиях, либо как это понятие вводится в Вашем задачнике.

[artey]

thething в сообщении #1348803 писал(а):

Последний синус превращается в единицу, но это не суть. Пусть теперь, например, $\varepsilon=0,1$. Можно ли подобрать такое $n$, чтобы сказать про знак получившегося выражения что-то определённое?
-- 24.10.2018, 18:33 --

Хотя, если всё вычислено правильно (технику не проверял), то получается, что $n$ вообще не зависит от выбора эпсилон. А иногда, при другом подборе $h$ -- может. Но суть дела от этого не меняется.

-- 24.10.2018, 18:36 --

При $\[n \geqslant \sqrt {\frac{4}{\pi } + 1} \]$ выражение $\[{\varepsilon ^2}(({n^2} - 1)\frac{\pi }{4} - 1) \geqslant 0\]$

thething в сообщении #1348803 писал(а):

После того, как определитесь со знаком останутся два вопроса:
1. Подобрать какое-то $h$ так, чтобы получить выражение противоположного знака

2. Выполнить требование $\left\lVert h\right\rVert<\varepsilon$. Тут смотря в какой норме Вы определяли понятие локального экстремума на занятиях, либо как это понятие вводится в Вашем задачнике.

1. Каким образом вообще подбирается $\[h\]$. Вот почему вы взяли именно $\[h = \varepsilon \sin nt\]$ ?Есть какой-то метод подбора?
2. В задачнике сказано так : Функция $\[\hat x \in {C^1}[{t_0},{t_1}]\]$ доставляет слабый локальный минимум в задаче Больца ($\[\hat x \in wloc\min \]$), если существует $\[\delta > 0\]$ такое, что $\[B(x( \cdot )) \geqslant B(\hat x( \cdot ))\]$ для любой функции $\[x \in {C^1}[{t_0},{t_1}]\]$, для которой $\[{\left\| {x( \cdot ) - \hat x( \cdot )} \right\|_1} < \delta \]$.

[thething]

artey в сообщении #1348868 писал(а):

При $\[n \geqslant \sqrt {\frac{4}{\pi } + 1} \]$ выражение $\[{\varepsilon ^2}(({n^2} - 1)\frac{\pi }{4} - 1) \geqslant 0\]$

Угу (правда, не стОит это решать прям точно, достаточно какой-нибудь грубой оценки). Проблема в том, что при таких $n$ как раз нарушается условие на норму $\left\lVert h\right\rVert_1<\varepsilon$. Поэтому тут необходимо получить неравенство противоположного знака.

artey в сообщении #1348868 писал(а):

Каким образом вообще подбирается $\[h\]$. Вот почему вы взяли именно $\[h = \varepsilon \sin nt\]$ ?Есть какой-то метод подбора?

Нет метода. Я исходил из того, что надеялся, что первый интеграл перевесит второй, или наоборот. Ну и чтоб при этом норму было легко оценить.

Думаю, что сейчас Вы уже сможете выбрать нужное $n$, чтобы получить неравенство $...<0$, причём оно даст нужную оценку и для нормы.

А вот в обратную сторону надо думать уже так, чтобы первый интеграл перевесил всё остальное, что стоит со знаком минус. Могу дать подсказку, что пример получается из предыдущего. И тут в первую очередь надо добиться, чтобы выполнилась оценка на норму. Из-за производной, участвующей в определении нормы, функция $\varepsilon\sin nt$ нам не подходит. Поэтому подправьте её так, чтобы производная не росла с ростом $n$.

[artey]

thething
Пока ждал вашего ответа, я начал разбираться со следующим заданием ( к предыдущему обязательно вернусь): найти допустимые экстремали задачи Больца
$\[B(x( \cdot )) = \int\limits_1^e {2\dot x(t\dot x} + x)dt + 3{x^2}(1) - {x^2}(e) - 4x(e) \to extr\]$.
Здесь возникли сомнения в решении. Прошу вас проверить.
$\[\begin{gathered} L = 2\dot x(t\dot x + x) = 2{{\dot x}^2}t + 2\dot xx,{L_x} = 2\dot x,{L_{\dot x}} = 4\dot xt + 2x,\frac{d}{{dt}}{L_{\dot x}} = 4\ddot xt + 6\dot x \hfill \\ l = 3{x^2}(1) - {x^2}(e) - 4x(e) \hfill \\ \end{gathered} \]$
Уравнение Эйлера: $\[ - \frac{d}{{dt}}{L_{\dot x}} + {L_x} = 0 \Rightarrow \ddot xt + \dot x = 0\]$
$\[\frac{{d\dot x}}{{dt}}t + \dot x = 0 \Rightarrow \frac{{d\dot x}}{{\dot x}} = - \frac{{dt}}{t} \Rightarrow \dot x = \frac{{{C_1}}}{t} \Rightarrow x = {C_1}\ln t + {C_2}\]$
Условия трансверсальности :
$\[{{\hat L}_{\dot x}}(1) = {{\hat l}_{x(1)}} \Rightarrow 4\dot x(1) + 2x(1) = 6x(1) \Rightarrow \dot x(1) = x(1)\]$
$\[{{\hat L}_{_{\dot x}}}(e) = - {{\hat l}_{x(e)}} \Rightarrow 4\dot x(e)e + 2x(e) = 2x(e) + 4 \Rightarrow \dot x(e) = \frac{1}{e}\]$
$\[{C_1} = {C_2} = 1 \Rightarrow \hat x = \ln t + 1\]$
Если задание: "найти допустимые экстремали задачи Больца" ,то это означает, что надо найти только $\[{\hat x}\]$, без исследования знака разности $\[B(\hat x + h) - B(\hat x)\]$?

[thething]

artey в сообщении #1348979 писал(а):

Если задание: "найти допустимые экстремали задачи Больца" ,то это означает, что надо найти только $\[{\hat x}\]$, без исследования знака разности $\[B(\hat x + h) - B(\hat x)\]$?

Да, найти только $\hat{x}$.

-- 25.10.2018, 11:39 --

artey в сообщении #1348979 писал(а):

Прошу вас проверить.

Уравнение решено правильно, условия трансверсальности -- тоже записаны правильно. Константы проверять лень)

[artey]

Возвращаюсь к предыдущей задаче.

artey в сообщении #1348710 писал(а):

Проблема вот здесь :$\[B(\hat x + h) - B(\hat x) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\dot h}^2}dt - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{h^2}dt - {h^2}(} \frac{\pi }{2}) = ... \geqslant 0( \leqslant 0)?\]$

Здесь на самом деле слагаемое одно пропустил. Должно быть так:$\[B(\hat x + h) - B(\hat x) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\dot h}^2}dt - } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{h^2}dt + {h^2}(0) - {h^2}(} \frac{\pi }{2})\]$

[thething]

artey в сообщении #1349083 писал(а):

Здесь на самом деле слагаемое одно пропустил.

Это некритично, и ни на что не влияет, ибо синус нуля -- ноль.

[artey]

artey в сообщении #1348710 писал(а):

$\[B(x( \cdot )) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\dot x}^2} - {x^2})dt + {x^2}(0) - {x^2}(} \frac{\pi }{2}) + 4x(\frac{\pi }{2}) \to extr\]$

Снова здравствуйте. Нашел в задачнике похожий пример, только не все ясно в его решении.


Если сопоставить с моей задачей, то у меня $\[\alpha = 1,\beta = - 1\]$, а чему равно $\[\gamma \]$ ?
Далее неясно, как получилась квадратичная форма $\[P + Q\]$. В задачнике приведена информация об ней.

Отсюда я вроде как понял, как получилась матрица $Q$ (дважды продифференцировали терминант $l$), но запись для матрицы $P$ мне не ясна. Ясно одно, что если эта форма не является неотрицательно неопределенной, то как раз получится требуемый ответ $\[\sin t + \cos t \notin locextr\]$
Как записать эту квадратичную форму для моего случая?

[thething]

artey в сообщении #1349749 писал(а):

Как записать эту квадратичную форму для моего случая?

По-моему, разобраться с этим гораздо сложнее подбора примера, лежащего на поверхности, особенно, учитывая, что не все обозначения прояснены (например, эль-со-звёздочкой -- это что?).

-- 28.10.2018, 18:10 --

Но если хотите этот способ, то скажите конкретно, что непонятно (за исключением необъяснённых обозначений).

-- 28.10.2018, 18:13 --

Видимо, звёздочка -- это операция сопряжения, тогда её можно выкинуть, т.к. случай одномерный.